范佳靜,曹 敏

單元構(gòu)建(cellular formation,CF)是根據(jù)零件操作的路徑、操作順序、需求量等相關(guān)條件將不同的零件劃分為零件族,同時(shí)把若干個(gè)需要的機(jī)器設(shè)備劃分為機(jī)器單元,從而使得零件能夠在機(jī)器單元內(nèi)進(jìn)行操作,以減少生產(chǎn)的準(zhǔn)備時(shí)間,提高生產(chǎn)效率,同時(shí)降低生產(chǎn)過(guò)程中的搬運(yùn)成本、工具使用成本、設(shè)備成本及員工聘用成本。單元構(gòu)建問(wèn)題從20世紀(jì)80年代開(kāi)始一直受到學(xué)術(shù)界和企業(yè)人士的關(guān)注,在最近的十年里,根據(jù)企業(yè)實(shí)際情況,研究者對(duì)單元構(gòu)建問(wèn)題的考慮因素越來(lái)越全面,采用的求解方法也越來(lái)越多。

數(shù)學(xué)規(guī)劃法是解決單元構(gòu)建問(wèn)題的主要方法之一。在過(guò)去的30年里,很多學(xué)者已經(jīng)構(gòu)建了一系列數(shù)學(xué)規(guī)劃模型來(lái)解決單元構(gòu)建問(wèn)題。考慮到實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性,可以根據(jù)問(wèn)題的周期性分為靜態(tài)單元構(gòu)建問(wèn)題和動(dòng)態(tài)單元構(gòu)建問(wèn)題,根據(jù)問(wèn)題所描述參數(shù)的特性分為確定性單元構(gòu)建問(wèn)題和模糊單元構(gòu)建問(wèn)題,同時(shí)還可有集成單元構(gòu)建問(wèn)題及雙資源單元構(gòu)建問(wèn)題。具體可見(jiàn)圖1所示。

圖1 單元構(gòu)建問(wèn)題的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型分類(lèi)Fig.1 Mathematical programming model classification of cellular formation problem

基于單元構(gòu)建問(wèn)題研究的廣泛性,目前已經(jīng)有學(xué)者對(duì)20世紀(jì)的研究進(jìn)行了綜述,因此本文主要對(duì)2000年以后國(guó)內(nèi)外期刊的相關(guān)研究進(jìn)行歸納總結(jié)。

1 靜態(tài)單元構(gòu)建問(wèn)題研究

靜態(tài)單元構(gòu)建問(wèn)題主要考慮的是在一個(gè)時(shí)期內(nèi),根據(jù)產(chǎn)品需求批量、機(jī)器生產(chǎn)能力、機(jī)器購(gòu)買(mǎi)價(jià)格等各種因素進(jìn)行機(jī)器單元和零件族的劃分。

對(duì)于這一問(wèn)題所構(gòu)建的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù),主要是希望獲得最低的單元間移動(dòng)成本、單元內(nèi)移動(dòng)成本、機(jī)器購(gòu)買(mǎi)成本、外包成本等。在約束條件方面,除了考慮單元尺寸要求外,還考慮了產(chǎn)品可以采用不同的路徑進(jìn)行操作,以滿足最低的總成本。如馬玉敏[1]提出了僅考慮單元間搬運(yùn)以及單元內(nèi)機(jī)床利用率最大為目標(biāo)的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型,而在其約束中考慮產(chǎn)品操作的多路徑性。Jayaswal等[2]提出的模型考慮了生產(chǎn)量、操作順序、路徑的可選擇性、單元尺寸和機(jī)器的多臺(tái)性等約束,其目標(biāo)函數(shù)是希望獲得單元間移動(dòng)成本、機(jī)器操作成本和機(jī)器投資成本為最低,并運(yùn)用模擬退火法和局部搜索法求解。Diaby等[3]對(duì)零件操作路徑問(wèn)題提出了一般性的整數(shù)規(guī)劃模型,問(wèn)題考慮產(chǎn)品具有多條操作路徑可被選擇,并可以以不同成本在不同的設(shè)備上操作。雖然以上作者都提到了采用不同的路徑進(jìn)行產(chǎn)品的加工,但是其規(guī)定每種產(chǎn)品只能選擇一種路徑進(jìn)行操作,而不是在同一時(shí)期可以采用不同的路徑進(jìn)行操作;然而王志亮等[4]所提出的多路徑概念與以往有所不同,作者提出的多路徑操作概念是可以采用不同的路線共同來(lái)加工零件。

在靜態(tài)單元構(gòu)建問(wèn)題中,除了以上的一般因素外,有些作者還考慮其他的一些因素,如搬運(yùn)工具的限制、機(jī)械改良等。Logendran等[5]對(duì)于2個(gè)不同的單元構(gòu)建問(wèn)題提出了非線性整數(shù)規(guī)劃模型:可選擇位置有效性的單元構(gòu)建問(wèn)題及物料搬運(yùn)工具能力受到限制的單元構(gòu)建問(wèn)題。值得注意的是在該單元構(gòu)建系統(tǒng)中還考慮了搬運(yùn)工具的限制。另外一些因素如機(jī)器能力限制,零件需求批量,零件的非連續(xù)性操作,機(jī)器安排到單元的最大數(shù)量等也均被考慮。Foulds等[6]提出了混合整數(shù)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型,在模型中機(jī)械改良成為了重要約束。通過(guò)機(jī)器改良,使零件可以到另外機(jī)器進(jìn)行加工,從而獲得更好的單元結(jié)構(gòu),避免購(gòu)買(mǎi)多臺(tái)昂貴機(jī)器。通過(guò)機(jī)器改良使得零件在同一單元內(nèi)被加工,從而減少單元間的移動(dòng),而機(jī)器的改良成本可以由持續(xù)的單元間搬運(yùn)成本的減少來(lái)抵消。所構(gòu)建的模型的目標(biāo)函數(shù)是使得機(jī)器的改良成本及單元間移動(dòng)成本為最小,這個(gè)問(wèn)題被稱為可持續(xù)單元構(gòu)建問(wèn)題。

2 動(dòng)態(tài)單元構(gòu)建問(wèn)題研究

隨著市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的日益激勵(lì),以及產(chǎn)品需求個(gè)性化、差異化、多樣化的日益突出,企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品的品種及需求量不斷發(fā)生波動(dòng),從而使得靜態(tài)單元構(gòu)建模型不能適應(yīng)企業(yè)發(fā)展的實(shí)際需求,許多學(xué)者開(kāi)始進(jìn)一步研究在動(dòng)態(tài)環(huán)境下的單元構(gòu)建問(wèn)題。動(dòng)態(tài)單元構(gòu)建問(wèn)題是指在不同時(shí)期,產(chǎn)品的品種和需求量都不同時(shí),如何進(jìn)行各個(gè)時(shí)期的機(jī)器單元構(gòu)建和零件族的劃分,從而獲得各種成本或者例外元素?cái)?shù)為最小。與靜態(tài)單元構(gòu)建模型不同的是,由于要滿足不同時(shí)期的產(chǎn)品需求,需要對(duì)單元進(jìn)行重構(gòu),因此自動(dòng)態(tài)單元模型在目標(biāo)函數(shù)中增加了重構(gòu)成本。而其他的約束條件則與靜態(tài)單元構(gòu)建模型相類(lèi)似。如Saidi-Mehrabad等[7]和Tavakkoli-Moghaddam等[8]提出的動(dòng)態(tài)CF問(wèn)題的非線性整數(shù)規(guī)劃模型,主要考慮操作多路徑多樣性及操作順序,作者對(duì)模型進(jìn)行線性化,然后應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法來(lái)求解該模型。馬玉敏等[9]運(yùn)用大量的圖表描述了單元體系結(jié)構(gòu)的建立,同時(shí)基于需求已知及需求隨機(jī)這兩種情況分別提出了動(dòng)態(tài)單元構(gòu)建模型。模型希望獲得設(shè)備分?jǐn)偝杀?、加工成本、單元間的運(yùn)輸成本及機(jī)床重新布置成本為最低。Fan等[10]提出的非線性整數(shù)規(guī)劃模型希望獲得單元間的搬運(yùn)成本、機(jī)器購(gòu)買(mǎi)成本及重構(gòu)成本為最低。在約束中除了考慮一般的要求,如單元尺寸、生產(chǎn)能力限制等,主要提出了基于多路徑操作約束,也就是在任何時(shí)期零件均可在利用2條或2條以上的路徑進(jìn)行操作。

由于生產(chǎn)環(huán)境的日趨復(fù)雜化,一些作者也提出了動(dòng)態(tài)單元構(gòu)建問(wèn)題中的其他因素。如Defersha等[11]除了考慮動(dòng)態(tài)性、多路徑性、操作順序、轉(zhuǎn)包、單元重構(gòu)、機(jī)器的負(fù)荷等問(wèn)題外,還考慮了機(jī)器分離或合并性及產(chǎn)品加工過(guò)程中的批量分割(同一零件最多能夠在幾個(gè)單元內(nèi)進(jìn)行操作)。目標(biāo)函數(shù)中也增加考慮工具使用成本、生產(chǎn)準(zhǔn)備成本等因素。該作者于2008年還提出了生產(chǎn)批量對(duì)質(zhì)量的影響分析[12]。白俊杰等[13]研究模型中的目標(biāo)函數(shù),主要希望獲得連續(xù)加工產(chǎn)品間的相似系數(shù)之和為最大、加班時(shí)間為最小、單元間物流量為最小、重構(gòu)成本為最小及設(shè)備均衡性為最大。模型同時(shí)還考慮不能按期完成所需的拖期懲罰函數(shù)。王曉晴[14]提出了多目標(biāo)動(dòng)態(tài)單元構(gòu)建。其目標(biāo)函數(shù)考慮了重構(gòu)費(fèi)用、設(shè)備利用率及零件在單元間的移動(dòng),同時(shí)還提出了設(shè)備冗余情況下動(dòng)態(tài)單元構(gòu)建問(wèn)題的多目標(biāo)模型。Ahkioon等[15]提出了一個(gè)基本的單元制造模型,集中考慮了制造過(guò)程的要求如:多周期計(jì)劃,動(dòng)態(tài)系統(tǒng)重構(gòu),生產(chǎn)計(jì)劃及多路徑約束。

3 模糊單元構(gòu)建問(wèn)題研究

確定性單元構(gòu)建問(wèn)題主要是各個(gè)時(shí)期產(chǎn)品需求量、機(jī)器生產(chǎn)能力、機(jī)器購(gòu)買(mǎi)價(jià)格等各種因素都是確定的;模糊單元問(wèn)題則剛好相反,一些重要的參數(shù)如產(chǎn)品品種、需求量等都是不確定的。由于企業(yè)生產(chǎn)環(huán)境不確定因素的加劇,研究者在后期開(kāi)始逐步關(guān)注各種參數(shù)的模糊性來(lái)構(gòu)建機(jī)器單元和劃分零件族,其模糊概念主要是產(chǎn)品需求、生產(chǎn)能力、操作成本、機(jī)器購(gòu)買(mǎi)價(jià)格等參數(shù)用一個(gè)概率或者函數(shù)來(lái)代替以往的確定數(shù)值,從而滿足企業(yè)的實(shí)際情況。

如Cao等[16]對(duì)需求變動(dòng)的處理主要是設(shè)定有q種需求情況,每種情況以一定概率的形式出現(xiàn)。Arikan等[17]在介紹模糊模型時(shí),不只考慮了產(chǎn)品需求的模糊性,還考慮了其他參數(shù)的模糊性,如機(jī)器的購(gòu)買(mǎi)價(jià)格,機(jī)器的能力,零件單元間的移動(dòng)成本,零件外包成本,等等?？紤]的數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)主要包括例外元素有關(guān)的模糊成本(瓶頸機(jī)器的購(gòu)買(mǎi)成本、單元間的移動(dòng)成本及外包)為最低、系統(tǒng)能力利用率為最大及外部單元操作為最小。Ghezavati等[18]基于隨機(jī)參數(shù)(連續(xù)分布)提出了一種新的隨機(jī)混合整數(shù)規(guī)劃模型來(lái)設(shè)計(jì)單元制造系統(tǒng)。文章假設(shè)零件在機(jī)器上的操作時(shí)間及零件到達(dá)單元的間隔時(shí)間是隨機(jī)的,并描述為連續(xù)分布,從而獲得更為柔性的制造單元框架。同時(shí),文章采用排隊(duì)論方式來(lái)獲得最優(yōu)的單元制造。根據(jù)機(jī)器忙碌概率的最大化來(lái)優(yōu)化零件族和單元。以上3位學(xué)者主要是在靜態(tài)環(huán)境下對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了模糊化的處理。

動(dòng)態(tài)單元構(gòu)建問(wèn)題日益受到人們的重視,相關(guān)的學(xué)者也進(jìn)行了參數(shù)模糊化分析。Tavakkoli-Moghaddam等[8]提出了設(shè)計(jì)單元制造系統(tǒng)的模糊線性混合整數(shù)規(guī)劃模型,考慮在多周期下零件需求的模糊性以及混合產(chǎn)品的變化情況。Safaei等[19]對(duì)通過(guò)模糊規(guī)劃方法來(lái)解決擴(kuò)展混合整數(shù)規(guī)劃模型。文章將每一時(shí)期零件的需求和制造設(shè)備的可利用率描述為分段模糊成員,在前面一段中對(duì)于決策者來(lái)說(shuō)是沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)的,但是對(duì)于后面一段則是有風(fēng)險(xiǎn)的。其主要目標(biāo)是獲得每一時(shí)期的最優(yōu)單元構(gòu)成,在考慮給定約束條件下,模糊目標(biāo)滿意度最大。同時(shí)在上述模型的基礎(chǔ)上又考慮了持有庫(kù)存成本、外包成本、延期交貨及動(dòng)態(tài)生產(chǎn)計(jì)劃系統(tǒng)等。

4 集成單元構(gòu)建問(wèn)題研究

單元制造不僅包括單元構(gòu)建,還包括單元內(nèi)機(jī)器布局及單元布局問(wèn)題,而這三個(gè)問(wèn)題是相互聯(lián)系的,因此有很多研究者著重研究考慮所有單元制造問(wèn)題的集成單元構(gòu)建問(wèn)題,構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型。如吳曉丹等[20]提出了集成單元構(gòu)建、設(shè)備布置和成組排產(chǎn)的非線性規(guī)劃模型,其目標(biāo)是零件完工時(shí)間、工件平均流程時(shí)間、延誤時(shí)間為最短。Chianga等[21]考慮了單元構(gòu)建和單元布局問(wèn)題,采用模擬退火和動(dòng)態(tài)規(guī)劃相結(jié)合的方法進(jìn)行求解,同時(shí)確定了單元內(nèi)的機(jī)器及單元的定位問(wèn)題。Tavakkoli-Moghaddam[22]考慮了機(jī)器分配、單元內(nèi)布局及單元布局問(wèn)題。其目標(biāo)函數(shù)是單元內(nèi)和單元間的移動(dòng)量為最小,并采用期望值和方差的方式表示目標(biāo)函數(shù)。鄭永前等[23]首先構(gòu)建了一個(gè)考慮單元構(gòu)建和單元布局的數(shù)學(xué)模型,其目標(biāo)函數(shù)是搬運(yùn)費(fèi)用及單元間負(fù)荷不均衡性為最小。Fan等[24]基于線性布置提出了單元構(gòu)建、機(jī)器單元布局及單元布局的集成非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃模型,其目標(biāo)函數(shù)主要考慮單元內(nèi)和單元間的運(yùn)輸成本及機(jī)器設(shè)備的維修保養(yǎng)成本為最低。

以上作者提出的集成單元構(gòu)建問(wèn)題主要是單元構(gòu)建與單元布局的集成。在研究過(guò)程中主要考慮了不同的研究目標(biāo)從而分別構(gòu)建了不同的數(shù)學(xué)模型。

5 雙資源單元構(gòu)建問(wèn)題

單元構(gòu)建問(wèn)題主要考慮的是機(jī)器單元的構(gòu)建及零件族的劃分,但是在整個(gè)制造系統(tǒng)中還有一個(gè)非常重要的因素,那就是操作者。因此為了更合理地安排工人的操作來(lái)配合產(chǎn)品的生產(chǎn)以獲得更少的單元間物料搬運(yùn),以及相應(yīng)的機(jī)器、人員成本,必須集合考慮機(jī)器、工人共同組成的雙資源制造系統(tǒng)。Norman等[25]提出了一個(gè)混合整數(shù)規(guī)劃模型來(lái)安排工人至制造單元,從而獲得最大利潤(rùn)。Slomp等[26]提出了虛擬制造單元的數(shù)學(xué)模型,在模型中考慮了工人任務(wù)的分配。孟志雷等[27]提出了不同技能工人分配到具體工作崗位的模型,并且在模型中考慮了技能工的培訓(xùn)時(shí)間、成本及質(zhì)量要求等因素。工人的技能等級(jí)包括人際技能和技術(shù)技能兩種。Solimanpur等[28]提出了模糊目標(biāo)規(guī)劃模型來(lái)解決在虛擬單元構(gòu)建系統(tǒng),考慮工人柔性的情況下,單元構(gòu)建問(wèn)題的多目標(biāo)數(shù)學(xué)模型及生產(chǎn)計(jì)劃。Mahdavi等[29]也在模型中考慮了工人的解雇和聘用問(wèn)題。而Aryanezhad等[30]在前人的基礎(chǔ)上對(duì)人的因素分析得更為全面,提出了在動(dòng)態(tài)環(huán)境下結(jié)合考慮工人的任務(wù)分配問(wèn)題,并將員工和機(jī)器都進(jìn)行了分級(jí)。模型中的目標(biāo)函數(shù)主要包括兩方面:一是關(guān)于機(jī)器方面的成本,如購(gòu)買(mǎi)成本、運(yùn)作成本、單元間移動(dòng)成本、重構(gòu)成本;二是關(guān)于工人的成本,如雇傭成本、培訓(xùn)成本、解雇成本、工資。論文最后通過(guò)數(shù)學(xué)算例分析員工因素對(duì)于單元構(gòu)建問(wèn)題的重要性,不僅可以獲得更好的單元構(gòu)建,還有助于總成本的降低。并提出假設(shè)總成本等于機(jī)器成本加上θ乘以員工成本,θ越大,員工對(duì)整個(gè)單元構(gòu)建的影響就越大,可節(jié)約的成本就越大。

6 總結(jié)與展望

近十年國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了各種數(shù)學(xué)規(guī)劃模型,雖然不同研究者考慮的因素各有不同,但是總的來(lái)說(shuō)可以歸納為以下21條,具體如表1所示。

從表1可以看出,研究者考慮的單元構(gòu)建問(wèn)題已經(jīng)相當(dāng)全面,考慮了在實(shí)際生產(chǎn)環(huán)境中的各種因素與要求,基本能夠適應(yīng)企業(yè)的現(xiàn)實(shí)需求,但是在后續(xù)的研究中,還可以考慮以下幾方面問(wèn)題:

表1 數(shù)學(xué)模型考慮的主要因素Table 1 Main factors considered about mathematic model

1)目前研究者提出的主要是多目標(biāo)非線性整數(shù)規(guī)劃模型,通過(guò)求解所有目標(biāo)的權(quán)重和最大或最小來(lái)獲得最優(yōu)解,而權(quán)重的確定帶有很強(qiáng)的主觀性,不同的目標(biāo)函數(shù)權(quán)重將獲得不同的最優(yōu)解,這將直接影響最終的結(jié)果,因此在后續(xù)研究中可以將問(wèn)題描述為多目標(biāo)規(guī)劃法,從而獲得接近實(shí)際的滿意解。

2)目前主要考慮的還是零件族和機(jī)器單元的劃分,有效的單元制造必須考慮工人和工具作為第三和第四尺度來(lái)滿足工業(yè)要求,因此后面應(yīng)更全面地考慮工人和工具的利用。

3)研究者提出的數(shù)學(xué)模型雖然在論文中通過(guò)算例分析來(lái)證明其有效性,但是真正應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)踐的卻非常少,因此在后續(xù)的研究中應(yīng)該將所描述的問(wèn)題模型和實(shí)際企業(yè)聯(lián)系起來(lái),做到真正為企業(yè)服務(wù)。

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