陳廣生

1 引 言

設(shè)L2(0,∞)為實空間,f(x),g(x)∈ L2(0,∞),且則有如下著名的Hilbert積分不等式[1]:

這里,常數(shù)因子π是最佳值。

1925年,Hardy[2]引入一對共軛指數(shù)(p,q),即1/p+1/q=1,將式(1)推廣為

Hardy[1]還建立了式(2)的如下等價式:

適當(dāng)變化式(3)的核及積分區(qū)間,Hardy[3]建立了如下具有最佳常數(shù)因子的Hardy積分不等式:

式(1)～(5)在分析學(xué)中有重要的應(yīng)用[4]。文獻[5]和文獻[6]引入單參量及2對共軛指數(shù)(p,q),(r,s),將不等式(2)推廣為如下形式:

文獻[7]利用參量化思想,將式(4)和式(5)進行推廣,給出了如下的Hardy型積分不等式。

設(shè)p＞1,1/p+1/q=1,r＞0,(r≠1),1/r+1/s=1,λ＞0,f(x)≥0,g(x)≥0,使0＜,則有如下等價式:

這里,常數(shù)因子r/λ,[r/λ]p和[r/λ]q均為最佳值。

本研究的目的是通過引入2個獨立參數(shù)λ1,λ2,利用權(quán)函數(shù)方法和實分析技巧,建立式(8)、(9)和(10)的推廣式,證明其常數(shù)因子為最佳值,并給出一些特殊結(jié)果。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè) λ1,λ2＞0,p ＞1,r＞0(r≠1),1/p+1/q=1,1/r+1/s=1,f(x),g(x)為(0,∞)上的非負(fù)可測函數(shù),且則有如下積分不等式:

下面證明式(14)中間取嚴(yán)格不等號,若不然,必存在不全為0的常數(shù)A和B,使得:Afp(x)yλ2/s-1x(p-1)(1-λ1/r)=Bgq(y)xλ1/r-1y(q-1)(1-λ2/s)a.e 于(0,∞)×(0,∞)。即有 Axp(1-λ1/r)fp(x)=Byq(1-λ2/s)gq(y)a.e于(0,∞)×(0,∞)。于是有常數(shù)C,使 Axp(1-λ1/r)-1fp(x)=Cx-1a.e于(0,∞)。不妨設(shè)A ≠0,則可得 xp(1-λ1/r)-1fp(x)=,無論C是否為0,積分的結(jié)果必與相矛盾。于是 ,式(11)成立。

定理2 設(shè)λ1,λ2＞0,p＞1,r＞0(r≠1),1/p+1/q=1,1/r+1/s=1,f(x),g(x)為(0,∞)上的非負(fù)可測函數(shù),且則有如下積分不等式:

1)當(dāng)r=p時,有如下與式(12)等價的不等式:

2)當(dāng)r=q時,有如下與式(13)等價的不等式:

由式(11),當(dāng) x?[1/n,n],gn(x)=[f(x)]n=0,因此有

反之,設(shè)式(16)成立,由 Holder不等式,有

再由式(16)得式(11),因此式(16)和式(11)等價。

若式(11)的常數(shù)因子不是最佳值,則由式(25)易知式(11)的常數(shù)因子也不是最佳的,矛盾。

若在定理1、定理2的證明中,取r=1,并默認(rèn)1/s=0,則有

推論1 設(shè) λ1,λ2＞0,p＞1,1/p+1/q=1,f(x),g(x)為(0,∞)上的非負(fù)可測函數(shù),且0＜則有如下積分不等式:

若在定理 1 、定理 2 的證明中 ,設(shè) k(xλ1,yλ2)=1/yλ2,xλ1/λ2 ≥y;k(xλ1,yλ2)=0,xλ1/λ2 ＜ y 及r ＜0,則有如下定理:

定理3 設(shè)λ1,λ2＞0,p＞1,r＜0,1/p+1/q=1,1/r+1/s=1,f(x),g(x)為(0,∞)上的非負(fù)可測函數(shù),且則有如下積分不等式:

注 :1)當(dāng)λ1=λ2=λ時,式(11)、(16)和(17)分別變?yōu)槭?8)、(9)和(10);

2)當(dāng)λ1=λ2=1時,式(20)和(21)分別變?yōu)槭?4)和(5);式(18)和(19)分別變?yōu)槿缦碌葍r不等式:

[1] HARDY G H,LITTLEWOOD JE,POLYA G.Inequalities[M].Cambridge:Cambridge University Press,1952.

[2] HARDT G H.Note on a theorem of hilbert concerning series of positive terms[J].Proc London Math Soc,1925,23(2):45-46.

[3] HARDY G H.Note on a theorem of Hilbert[J].Math Zeitschr,1920,6:314-317.

[4] MITRINOVIC D S,PECARIC J E,FINK A M.Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives[M].Boston:Kluwer Academic Publishers,1991.

[5] YANG B C,BRNETI I,KRNI M,et al.Generalization of Hilbert and Hardy-Hilbert integral inequalities[J].Math Ineq Appl,2005,8(2):259-272.

[6] 和炳.關(guān)于Hilbert積分不等式的參量化推廣[J].廣東教育學(xué)院學(xué)報,2008,28(3):18-21.

[7] 楊必成.參量化的Hardy型積分不等式[J].上海大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2010,16(4):404-408.

[8] 匡繼昌.常用不等式[M].3版.濟南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2004.