岳瑞永

(水下測控技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116013)

奇異值分解算法在艦船腐蝕相關(guān)電場建模中的應(yīng)用

岳瑞永

(水下測控技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116013)

基于線性反演理論，討論了艦船腐蝕相關(guān)電場電偶極子模型的穩(wěn)定性問題，在此基礎(chǔ)上將奇異值分解算法應(yīng)用于建模，通過摒棄模型矩陣方程核矩陣的小奇異值，來改善核矩陣的病態(tài)程度，提高數(shù)據(jù)方程反演的穩(wěn)定性。數(shù)值試驗(yàn)表明，當(dāng)反演數(shù)據(jù)存在一定誤差時(shí)，奇異值分解算法相對于最小二乘算法可以明顯降低數(shù)據(jù)誤差引起的模型參數(shù)擾動(dòng)，有效地提高模型的穩(wěn)定性。實(shí)船實(shí)測數(shù)據(jù)建模結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了奇異值分解算法提高模型穩(wěn)定性的有效性。

奇異值分解;腐蝕相關(guān)電場;建模

0 引言

本文首先介紹了艦船腐蝕相關(guān)電場電偶極子建?；纠碚?，然后分析了影響模型穩(wěn)定性的主要因素，在此基礎(chǔ)上將廣義逆反演用于建模逆問題求解，利用奇異值分解算法提高求解的穩(wěn)定性，通過數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了奇異值分解算法提高模型穩(wěn)定性的有效性。最終利用上述方法對某船實(shí)船腐蝕相關(guān)電場進(jìn)行了建模和預(yù)測。

1 艦船腐蝕相關(guān)電場建?；纠碚?/h2>

艦船腐蝕相關(guān)電場偶極子建模方法與磁場建模方法原理基本一致，是基于惟一性定理，利用布置于船體上一系列電偶極子產(chǎn)生水下電場的疊加來擬合艦船實(shí)際水下電場［3］。通常偶極子以均勻間距布置在艦船首尾中心線上或兩側(cè)。為了便于描述艦船腐蝕相關(guān)電場，規(guī)定如下坐標(biāo)系，xoy平面與空氣—海水界面重合，x軸平行于艦船首尾中心線方向，指向船首為正，稱為縱向;y軸垂直于首尾中心線方向，以指向右弦為正;z軸垂直于海平面，以向下為正，稱為垂直方向。下面介紹艦船水平電偶極子陣列模型的構(gòu)建方法。

假設(shè)在艦船水下部分布放n個(gè)x方向水平電偶極子，其坐標(biāo)分別為 (x'j，y'j，z'j)，電偶矩分別為Pxj，則每個(gè)水平電偶極子在海水中點(diǎn)Si(xi，yi，zi)產(chǎn)生的電場為:

其中:m為測點(diǎn)個(gè)數(shù);aij，bij，cij分別為單位電偶矩的第j個(gè)水平電偶極子在第i個(gè)測點(diǎn)Si(xi，yi，zi)產(chǎn)生的電場縱向分量、橫向分量和垂直分量。

將線性方程組(1)寫成矩陣形式:

令M=3m，N=n，則d為M×1維向量，稱為觀測數(shù)據(jù)向量;G為M×N階矩陣，稱為數(shù)據(jù)核矩陣;m為N×1維向量，稱為模型參數(shù)向量。

式(2)是艦船腐蝕相關(guān)電場電偶極子模型的矩陣方程，由矩陣代數(shù)便可求出式(2)的解。由于艦船腐蝕相關(guān)電場建模中，觀測數(shù)據(jù)向量的長度通常大于模型向量長度，因此式(2)一般為超定方程，存在最小二乘解:

由式(6)計(jì)算偶極子電偶矩后，便可利用式(1)計(jì)算其他測點(diǎn)的艦船腐蝕相關(guān)電場值，實(shí)現(xiàn)測量數(shù)據(jù)的深度和距離換算。

概率統(tǒng)計(jì)是大學(xué)本科開設(shè)的一門主要的基礎(chǔ)學(xué)科，它來源與實(shí)際生活，現(xiàn)實(shí)生活中的許多問題都要用它來就解決。概率統(tǒng)計(jì)在自然科學(xué),社會(huì)科學(xué),工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，金融，經(jīng)濟(jì)方面有這廣泛的應(yīng)用。而目前許多的概率統(tǒng)計(jì)教材都普遍側(cè)重理論而輕視應(yīng)用，從某種程度上而言，概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)成了高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，而忽視了這一學(xué)科本身特有的思想方法，造成同學(xué)們改到難學(xué)，乏味，無趣，直至厭學(xué)。針對這種情況，本人結(jié)合自己在教學(xué)中的體會(huì)，對概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)進(jìn)行了一些探索。取得了較好的結(jié)果。

2 艦船腐蝕相關(guān)電場建模穩(wěn)定性討論

由式(2)可知，艦船腐蝕相關(guān)電場電偶極子建模在本質(zhì)上屬于線性反演問題，也就是從數(shù)據(jù)空間到模型空間的映射問題。根據(jù)反演理論，如果數(shù)據(jù)空間存在1個(gè)小范圍變換，相應(yīng)于模型空間存在1個(gè)大范圍的變化，則稱這種映射是不穩(wěn)定的［4］。因此選用合適的線性反演方法對提高模型的穩(wěn)定性顯得非常重要。

線性方程(2)解的穩(wěn)定性由數(shù)據(jù)核矩陣G的性質(zhì)決定。當(dāng)G條件數(shù)較小，式(2)是良態(tài)的。G的條件數(shù)越大，數(shù)據(jù)方程的病態(tài)程度愈嚴(yán)重。L2范數(shù)意義下，G條件數(shù)定義如下:

式中:λmax(GTG)為GTG的最大特征值;λmin(GTG)為GTG的最小特征值。

由式(7)可知，如果矩陣GTG的秩r＜N，即GTG存在零特征值，則G的條件數(shù)為無窮大，數(shù)據(jù)方程是奇異的，無法求解。如果GTG非奇異，但是存在很小的特征值，則G的條件數(shù)很大，數(shù)據(jù)方程是病態(tài)的，解存在極大的不穩(wěn)定性。在構(gòu)建艦船腐蝕相關(guān)電場模型過程中，當(dāng)模型電偶極子數(shù)量較多時(shí)，核矩陣G的條件數(shù)高達(dá)106，核矩陣存在嚴(yán)重的病態(tài)性，在這種情況下采用式(6)求解模型向量m存在一定的不穩(wěn)定性。

3 奇異值分解［4－6］

奇異值分解是線性反演中求解病態(tài)或奇異矩陣方程的一種非常有效的方法，基本原理是:如果矩陣G是M×N階奇異矩陣，則可將其分解為如下形式:

式(8)便為奇異矩陣G的奇異值分解。其中:r為矩陣G的秩，Ur為矩陣GGT之M×r階特征向量矩陣;Vr為矩陣GTG之N×r階特征向量矩陣，Λr是由矩陣G的r個(gè)奇異值λi組成的對角線矩陣，即:

王家映、李平等指出，矩陣G相對大的奇異值對應(yīng)模型參數(shù)中穩(wěn)定和可靠的成分，而小的奇異值則表示統(tǒng)計(jì)上不可靠的成分，小奇異值的存在會(huì)使矩陣方程求解變得極不穩(wěn)定。因此將小的奇異值截取，使數(shù)據(jù)核矩陣G的條件數(shù)得到改善，便可得到方程穩(wěn)定解:

式中:GL為矩陣G的廣義逆;Λk為按從大到小順序保留下的k個(gè)奇異值組成的對角線矩陣;Uk和Vk為相對應(yīng)的特征向量矩陣。

Wiggins建議通過設(shè)定1個(gè)模型向量方差門限值t，使

來確定被保留奇異值的個(gè)數(shù)k，即僅保留k個(gè)大奇異值，而截?cái)鄏－k個(gè)小奇異值。

4 數(shù)值試驗(yàn)

利用一系列水平電偶極子組合來模擬艦船腐蝕相關(guān)電場，偶極子個(gè)數(shù)共23個(gè)，以5 m間距沿艦船首尾中心線均勻布置，偶極子電偶矩通過艦船邊界元模型計(jì)算數(shù)據(jù)反演得到。海水深度為30 m，海水電導(dǎo)率3.7 S/m，海床電導(dǎo)率為1.0 S/m。圖1是上述模型計(jì)算得到的艦船腐蝕相關(guān)電場曲線。

圖1 艦船腐蝕相關(guān)電場正演理論曲線Fig.1 The forward theoretical data curve of the ship's corrosion related electric field

將正演數(shù)據(jù)作為實(shí)測數(shù)據(jù)向量，假定水平電偶極子位置和海洋參數(shù)均為已知，構(gòu)建矩陣方程，利用最小二乘法進(jìn)行求解，反演得到的偶極矩值與理論值完全一致，表明在數(shù)據(jù)不存在誤差情況下采用最小二乘法便可進(jìn)行精確求解。在正演數(shù)據(jù)中加入高斯噪聲，使數(shù)據(jù)向量存在誤差，分別利用最小二乘法和奇異值分解進(jìn)行反演，結(jié)果如圖2所示，其中星線為理論模型，方形線為最小二乘法反演結(jié)果，菱形線為利用奇異值分解截取小的奇異值后反演結(jié)果。由圖2可看出，當(dāng)數(shù)據(jù)向量存在誤差時(shí)，最小二乘法得到的模型與理論模型存在巨大差異，表明該方法的穩(wěn)定性較差。而奇異值分解結(jié)果與真實(shí)模型差異相對較小，且變化趨勢基本保持一致，表明奇異值分解算法可以有效地抑制誤差影響，具有較高的穩(wěn)定性。

圖2 正演理論數(shù)據(jù)加入高斯噪聲的反演結(jié)果Fig.2 The inversion results of forward theoretical data adding with Gauss noise

5 艦船實(shí)船腐蝕相關(guān)電場建模與預(yù)測

利用上述方法對某船實(shí)船腐蝕電場進(jìn)行了建模和預(yù)測。該船船長28 m，寬5.4 m。所構(gòu)建的艦船腐蝕相關(guān)電場模型由10個(gè)水平電偶極子組成，偶極子以均勻間距對稱布置在艦船首尾中心線兩側(cè)，海水電導(dǎo)率為4.1 S/m，海水深度為13.1 m，測量體水深為12.4 m，海床電導(dǎo)率假定為0.3 S/m。圖3是艦船某單程(正橫距2 m)腐蝕相關(guān)電場建模結(jié)果，實(shí)線表示實(shí)測數(shù)據(jù)，虛線表示模型理論計(jì)算值，從圖中可看出測量值和理論計(jì)算值吻合的較好。圖4是利用另一單程(正橫距為40 m)實(shí)測數(shù)據(jù)對所建模型的驗(yàn)證結(jié)果，由圖中可看出模型正演曲線與實(shí)測曲線變化趨勢基本一致，表明所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型具有一定的精度和穩(wěn)定性。需要說明的是由于該單程水下電場垂直分量沒有明顯的通過特性，因此本文未給出垂直分量驗(yàn)證曲線。

圖3 某船腐蝕相關(guān)電場建模結(jié)果Fig.3 The modeling result of a certain ship's corrosion related electric field

圖4 某船腐蝕相關(guān)電場驗(yàn)?zāi)＝Y(jié)果Fig.4 The validation result of a certain ship's corrosion related electric field modeling

圖5是利用上面構(gòu)建的偶極子模型預(yù)測得到的目標(biāo)船腐蝕相關(guān)電場在海底大平面分布。由圖可發(fā)現(xiàn)，該船腐蝕相關(guān)電場縱向分量和垂直分量沿艦船首尾中心線對稱分布，而橫向分量沿艦船首尾中心線反對稱分布;電場強(qiáng)度峰值出現(xiàn)在艦船中部，船首和船尾區(qū)域;電場強(qiáng)度縱向分量幅值最大，橫向分量次之，垂直分量最小;電場強(qiáng)度縱向分量在艦船首尾中心線方向異常范圍約為80 m，即3倍船長，在橫向異常范圍約為80 m，即3倍船長;橫向分量在艦船首尾中心線上幅值基本為0，這種現(xiàn)象是由于艦船主要電場源沿艦船首尾中心線對稱分布而產(chǎn)生的;電場強(qiáng)度垂直分量異常區(qū)域較小，在縱向和橫向異常范圍均約為1倍船長。

6 結(jié)語

圖5 模型預(yù)測得到的某船腐蝕相關(guān)電場海底大平面分布Fig.5 The ship's corrosion related electric field distribution on the sea bed which is predicted from the electric dipoles modeling

本文從線性反演理論出發(fā)研究了艦船腐蝕相關(guān)電場電偶極子模型的穩(wěn)定性問題，發(fā)現(xiàn)小的奇異值是造成模型不穩(wěn)定的重要因素。在此基礎(chǔ)上將奇異值分解算法應(yīng)用于艦船腐蝕相關(guān)電場建模，通過截?cái)嘈〉钠娈愔祦硖岣吣Ｐ偷姆€(wěn)定性。數(shù)值試驗(yàn)表明，當(dāng)反演數(shù)據(jù)存在一定誤差時(shí)，奇異值分解算法相對于傳統(tǒng)的最小二乘算法可以明顯降低數(shù)據(jù)誤差引起的模型參數(shù)擾動(dòng)，能有效地提高模型的穩(wěn)定性。利用上述方法對某船實(shí)船腐蝕相關(guān)電場進(jìn)行建模和預(yù)測，發(fā)現(xiàn)該船腐蝕相關(guān)電場縱向分量和垂直分量沿艦船首尾中心線對稱分布，橫向分量則沿首尾中心線反對稱分布。

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Application of singular value decomposition(SVD)algorithm in the ship's corrosion related electric field modeling

YUE Rui-yong
(Science and Technology on Underwater Test and Control Laboratory，Dalian 116013，China)

In this paper，the stability of the ship's corrosion related electric field model of the electric dipole array is discussed.The SVD algorithm is applied to the solving process of the model matrix equation.The stability of the model can be increased by cutting off the little singular value of the kernel matrix.The numerical tests show that the turbulence of the model parameters originating from the measured data error can be reduced significantly by use of the SVD algorithm relative to the least-squares method.The modeling results of a certain ship's real data also verify the validity of the SVD algorithm.

singular value decomposition;corrosion related electric field;modeling

U665.26

A

1672－7649(2011)12－0046－05

10.3404/j.issn.1672－7649.2011.12.010

2011－04－12;

2011－05－12

國防基礎(chǔ)科研基金資助項(xiàng)目(A0820110019);水下測控技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金資助項(xiàng)目(9140C2604050906)

岳瑞永(1980－)，男，碩士，工程師，研究方向?yàn)榕灤锢韴鰷y試與分析。