黃育秋，何麟書

（北京航空航天大學宇航學院，100191 北京，huanyuqiu@163.com）

升力式再入飛行器再入軌跡優(yōu)化分析

黃育秋，何麟書

（北京航空航天大學宇航學院，100191 北京，huanyuqiu@163.com）

在充分調研分析國內外軌跡優(yōu)化方法的基礎上，選擇直接法將升力式再入飛行器的再入軌跡優(yōu)化問題轉化成參數(shù)優(yōu)化問題，而后采用序列二次規(guī)劃法來解該參數(shù)優(yōu)化問題，并采用C++語言編寫了優(yōu)化算法，最后進行了再入飛行器的最大射程軌跡優(yōu)化分析.仿真結果表明，采用本文所述的方法能夠對升力式再入飛行器這一類軌跡優(yōu)化問題進行優(yōu)化分析，并具有較好的優(yōu)化效果.

再入飛行器;軌跡優(yōu)化;直接法;序列二次規(guī)劃

傳統(tǒng)的彈道式再入飛行器和彈道－升力式再入飛行器存在兩大缺點，即存在造成再入器及其有效載荷損傷的著陸沖擊過載和由于各種干擾造成的不易控制的大落點散布［1］.升力式再入飛行器的出現(xiàn)有效的克服了這兩種缺點，是航天技術取得的巨大進步.升力式再入飛行器和傳統(tǒng)的再入飛行器相比，升力式再入飛行器升力的增大和可調整，大大增加了飛行器機動飛行的能力.平緩的再入段和大范圍的機動飛行能力，使升力式再入飛行器水平著陸到指定機場跑道和實現(xiàn)全球快速打擊成為可能，正因為如此，升力式再入飛行器具有重要的經(jīng)濟和軍事意義.二戰(zhàn)后，美國就開始了升力式再入飛行器的研究，比較富有代表性的計 劃 包 括:BOMI、Dyna － Soar、Alpha Draco、BGRV、HGV、CAV/HTVs、X －37 等.1940 年末到1950年初，蘇聯(lián)進行了Silbervogel飛行器的風洞試驗，并積累豐富的試驗數(shù)據(jù).1960年中期，Mikyan設計局設計了自己的升力式再入飛行器Mig－105.最近，俄羅斯已秘密研制了新型再入機動飛行的白楊－M導彈［2］.

由于升力式再入飛行器的飛行速度較快，飛行空域較大，飛行環(huán)境復雜，而且其可能的飛行軌跡多為跳躍滑翔軌跡，在軌跡設計中需要考慮控制、動壓、過載、氣動熱等限制，成為總體設計中的一個難點，而軌跡優(yōu)化理論正是解決該問題的有效途徑.

自上世紀中后期，升力式再入飛行器再入軌跡優(yōu)化問題便逐漸被提出，并成為諸多學者研究的焦點，相繼出現(xiàn)了多種軌跡優(yōu)化方法，歸納為解析解法和數(shù)值解法兩大類.解析解法是運用Pontryagin極大值原理，在不考慮過程約束的情況下給出一些飛行的最優(yōu)解析解.隨著研究的深入和飛行任務的需要，人們慢慢地把研究的焦點轉向了數(shù)值解法［3］.數(shù)值解法是指利用離散的參數(shù)來逼近整個系統(tǒng)，使軌跡優(yōu)化問題轉化為參數(shù)優(yōu)化問題，然后采用合適的算法解參數(shù)優(yōu)化問題.數(shù)值解法主要包括軌跡優(yōu)化問題的轉化和解參數(shù)優(yōu)化問題兩部分.

就軌跡優(yōu)化問題的轉化方法來講，數(shù)值解法主要有直接法和間接法兩類.直接法是將連續(xù)的軌跡優(yōu)化問題直接離散進行參數(shù)化，無需求最優(yōu)解的必要條件.間接法是利用Pontryagin極大值原理推導出最優(yōu)控制的一階必要條件，從而得到求解最優(yōu)軌跡的Hamiltonian邊值問題(HBVP).相比直接法，采用間接法求解最優(yōu)軌跡問題存在理論推導復雜、求解困難等缺陷［4－5］.

結合以上分析，本文采用數(shù)值解法對升力式再入飛行器的最大射程彈道進行優(yōu)化分析，選擇直接法將該軌跡優(yōu)化問題轉化成參數(shù)優(yōu)化問題，而后采用序列二次規(guī)劃法來解該參數(shù)優(yōu)化問題，并采用C++語言編寫了優(yōu)化算法，進行了仿真分析，最后給出了相應的仿真結果.

1 飛行器軌跡優(yōu)化理論

本文采用直接法將該軌跡優(yōu)化問題轉化成參數(shù)優(yōu)化問題，而后采用序列二次規(guī)劃法來解該參數(shù)優(yōu)化問題，下面將闡述其相關理論.

1.1 軌跡優(yōu)化問題的一般描述

軌跡優(yōu)化問題一般可以描述為:確定容許控制u(t)∈Rm和參量p∈Rnp，使得由1個微分方程組確定的系統(tǒng)，從給定的初始狀態(tài)過渡到終端狀態(tài)，并使性能指標函數(shù)J達到最小，同時滿足規(guī)定的約束.其數(shù)學描述如下［6－8］:

其中，x(t)∈Rn，表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量;t表示時間變量.標量性能指標函數(shù)J，由末值型性能指標函數(shù)Φ(x(tf)，p)和積分型性能指標函數(shù)組成，其被積函數(shù)為 L(x，u，p，t)，并且積分是從 t0時刻到tf時刻.式(2)表示系統(tǒng)狀態(tài)方程，式(3)表示狀態(tài)變量、控制變量和參量的等式約束，式(4)表示狀態(tài)變量、控制變量和參量的不等式約束，式(5)表示狀態(tài)變量的初始條件，式(6)表示狀態(tài)變量和參量的終端條件.

1.2 參數(shù)化過程

1)劃分時間區(qū)間［t0，tf］為N個子區(qū)間，節(jié)點為 ti，即 t0＜ t1＜ … ＜ tN－1＜ tN=tf.

2)控制變量的參數(shù)化.在每個子區(qū)間t∈［ti，ti+1］，(i=0，1，…，N － 1)，將控制變量近似為

3)價值函數(shù)、約束函數(shù)的參數(shù)化.假設給定了1個猜測的控制輸入量和參量，即，在初始條件方程(5)下，從t0時刻到tf時刻積分狀態(tài)方程組(2)，得到的狀態(tài)變量隨時間的變化歷程可以表示為x(，t)，也就是說，利用控制輸入量和參量可以唯一地確定狀態(tài)量，進而得到價值函數(shù)J以及約束c、d、ψ，據(jù)此約束可以離散成1個等式約束向量g∈Rnc(N+1)+nf和不等式約束向量h∈

用上述的參數(shù)化策略，有限維的最優(yōu)控制問題，(即方程組(1)～(6))被近似化為有限維的非線性規(guī)劃問題［9－10］:

1.3 序列二次規(guī)劃法

方程(8)所表示的非線性規(guī)劃問題可以采用如下序列二次規(guī)劃方法求解:

矩陣Bk的初值B0一般取為單位陣，即B0=I［11－13］.其算法流圖如圖 1 所示.

圖1 算法流程

2 再入飛行器最大射程彈道優(yōu)化模型

2.1 再入飛行器的動力學模型

考慮地球自轉和地球扁率的情況下，再入飛行器的動力學模型為［1］

射程Lr由再入點的經(jīng)緯度和飛行器當前點的經(jīng)緯度通過球面三角形可以求得.

2.2 再入飛行器最大射程彈道優(yōu)化模型

1)性能指標J.最大射程的性能指標為

2)優(yōu)化控制量u(t).由再入飛行器的控制方式可以得到優(yōu)化控制量為

3)約束條件.攻角α約束為5°≤α≤15°;傾側角σ約束為|σ|≤70°;攻角變化率約束為||≤10(°/s);傾側角變化率約束為||≤20(°/s);滑翔段最大高度 hmaxh約束為 hmaxh≤65 km;動壓q約束為q=0.5ρV2≤40 kPa;法向過載ny約束為|ny|=|N/mg0|≤2，其中N為體系下的法向力;末端高度約束為30 km≤hf≤40 km;末端速度約束為Vf=2 000 m/s;氣動加熱率約束為

其中:Rn為鼻錐駐點區(qū)曲率半徑;V0為第一宇宙速度;ρ0為海平面標準大氣密度;ks、m、n為常數(shù)，可取理論計算值或實驗值，本文取ks=17 600，n=0.5，m=3.15，Rn=0.04 m.

3 仿真分析

基于前文的研究基礎，采用推力為零時的方程(12)以及2.2節(jié)中的軌跡優(yōu)化模型，應用直接法和序列二次規(guī)劃法對升力式再入飛行器的最大射程彈道進行優(yōu)化分析，其相應的仿真結果如圖2～10所示.

圖2 攻角曲線

圖3 傾側角曲線

圖4 速度曲線

最大射程是典型的彈道優(yōu)化性能指標，可以反映出再入飛行器的滑翔能力以及優(yōu)化算法的優(yōu)劣，通過圖2～11可得:

1)圖2、3顯示了升力式再入飛行器2個主要的控制變量在其滑翔飛行時的變化規(guī)律，可以看出再入初期飛行器以最大攻角減速以滿足氣動加熱率的要求，而后飛行器以最大升阻比攻角飛行，傾側角則一直保持在0°左右，直到后期需要機動時才有較大變化，且控制量均在給定的變化范圍之內;

2)從圖4、5可以看出，飛行器的速度是穩(wěn)定減小的，最大滑翔高度為65 km，且跳躍的幅度比較穩(wěn)定，這說明根據(jù)優(yōu)化所得的控制量可以穩(wěn)定控制飛行器的再入飛行;

圖5 高度曲線

圖6 飛行路徑角曲線

圖7 法向過載曲線

3)圖6～9反映了再入飛行器滑翔飛行時的部分特征參量的變化，其中最大法向過載為1.6、最大動壓為 37 kPa、最大氣動加熱率為1 190 kw/m2，均滿足給出的約束條件;

4)圖10表明飛行器在滿足所有約束的情況下，滑翔 2 616.11 s，期間獲得的最大射程為12 670.0 km，滿足一般設計中對升力式飛行器射程的要求.

圖8 動壓曲線

圖9 氣動加熱率曲線

圖10 射程曲線

綜上，采用本文所述的直接法和序列二次規(guī)劃方法能夠對升力式再入飛行器這一類軌跡優(yōu)化問題進行優(yōu)化分析，并具有較好的優(yōu)化效果.

4 結 論

升力式再入飛行器飛行速度快、飛行環(huán)境復雜、并受到多種約束條件的限制，軌跡優(yōu)化方法能夠很好的解決其軌跡設計問題.本文首先給出了軌跡優(yōu)化問題的一般描述，基于直接法的參數(shù)化方法，序列二次規(guī)劃算法，從而設計了一套基于直接法和序列二次規(guī)劃方法的軌跡優(yōu)化算法;其次建立了再入飛行器的動力學模型和軌跡優(yōu)化模型;最后在前文的研究基礎上完成了仿真分析，論證了本文提出的軌跡優(yōu)化算法對于再入飛行器軌跡優(yōu)化的適用性.后續(xù)的研究將涉及再入飛行器其他特征軌跡的優(yōu)化問題，以及飛向固定目標的軌跡優(yōu)化問題.

［1］趙漢元.飛行器再入動力學和制導［M］.長沙:國防科技大學出版社，1997:382－384.

［2］李瑜，楊志紅，崔乃剛.助推－滑翔導彈彈道優(yōu)化研究［J］.宇航學報，2008，29(1):67 －69.

［3］LEWALLEN J M，TAPLEY B D，WILLIAMS S D.Iteration proceduresforindirecttrajectory optimization methods［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，1968，5(3):321－327.

［4］JACKSON M C，STRAUBE T M，F(xiàn)ILL T J，et al.Onboard determination of vehicle glide capability for the shuttle abort flight manager(SAFM)［C］//IEEE Aerospace and Electronic Systems Society，Core Technologies for Space Systems Conference.Colorado Springs:［s.n.］，2002.

［5］BRAIN C F.Some tools for the direct solution of optimal control problems［J］.Advances in Engineering Software，1998，29(1):45 －61.

［6］VINH N X，CHERN J S，LIN C F.Phugoid Oscillations in Optimal Reentry Trajectories［J］.Acta Astronautica，1981，8:311－324.

［7］PANTOJA J F O De O，MAYNE D Q.A sequential quadratic programming algorithm for discrete optimal controlproblemswith controlinequality constraints［C］//Proceedings of the 28thIEEE conference on decision and control.Piscataway:IEEE，1989.

［8］PETER F G.CAMTOS-A software suite combining direct and indirect trajectory optimization methods［D］.Stuttgart:University of Stuttgart，2002:10 －28.

［9］BARRON R L，CHICK C M.Improved indirect method for air-vehicle trajectory optimization［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2006，29(3):643 －652.

［10］BETTS J T.Survey of numerical methods for trajectory optimization ［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics.1998，21(2):193－207.

［11］SHIPPEY B M.Trajectory optimization using collocation and evolutionary programming for constrained nonlinear dynamical systems［D］.Arlington:University of Texas，2008.

［12］VINH N X，LU P.Chebyshev minimax problems for skip trajectories［J］.Journal of the Astronautical Sciences，1988，36(1):179－197

［13］YONG E，TANG G J，CHEN L.Three-dimensional Optimal Trajectory for Global Range of CAV［C］//Proceedings of the 1st International Symposium on Systems and Control in Aerospace and Astronautics.Harbin:［s.n.］，2006:1396－1400.

Entry trajectory optimization of lift reentry vehicle

HUANG Yu-qiu，HE Lin-shu

(Dept.of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，100191 Beijing，China，huanyuqiu@163.com)

In this paper，on the basis of review of trajectory optimization method at home and abroad，the direct method and sequential quadratic programming algorithm is used to solve the trajectory optimization problem.The trajectory optimization problem is transformed into a parameter optimization problem using direct method and the parameter optimization problem is solved using sequential quadratic programming.A trajectory optimization algorithm is written using C++，and a numerical simulation of maximum range entry trajectory is performed.The simulation results show that the technology of trajectory optimization for lift reentry vehicle proposed in this paper is reasonable and feasible with good results.

reentry vehicle;trajectory optimization;direct method;sequential quadratic programming

V412

A

0367－6234(2011)09－0139－05

2010－06－18.

黃育秋(1968—)，女，博士研究生;

何麟書(1938—)，男，教授，博士生導師.

(編輯 張 宏)