楊杰，鄭海起，關(guān)貞珍，王彥剛

(石家莊軍械工程學(xué)院，石家莊 050003)

當(dāng)齒輪箱出現(xiàn)故障時(shí)，有時(shí)可能不只存在一種故障，可能是多種故障狀態(tài)并存，盲源分離為齒輪箱多故障并存的分離提供了新的方法，在齒輪箱故障診斷中已經(jīng)得到成功的應(yīng)用[1-2]。

在盲源分離算法中，經(jīng)典的獨(dú)立分量分析(ICA)方法假設(shè)源信號(hào)是獨(dú)立統(tǒng)計(jì)的。雖然目前ICA方法在許多應(yīng)用中已證明是成功的[3-4]，但其基于統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的假設(shè)條件并不適用于所有情況。特別是在實(shí)際應(yīng)用中，很多信號(hào)或圖像具有稀疏性，或者經(jīng)適當(dāng)?shù)淖儞Q，使其在變換域中具有較好的稀疏性。當(dāng)源信號(hào)是高度稀疏時(shí)，這表示每個(gè)源信號(hào)只有很少的時(shí)刻取值為非零(或者較大)，而絕大多數(shù)時(shí)刻取值為零(或者接近零)。在這種情況下的獨(dú)立假設(shè)意味著2個(gè)源信號(hào)同時(shí)為有用信號(hào)的概率極低，因此源信號(hào)可以由不同的基函數(shù)表示。在稀疏成分分析(Sparse Component Analysis, SCA)中就利用了這一點(diǎn)[5-6]。

最近，又提出了另外一種基于信號(hào)稀疏表示的分離方法——形態(tài)成分分析(Morphological Component Analysis，MCA)[7-8]。該方法假設(shè)對(duì)于混合信號(hào)中的每個(gè)源信號(hào)，都存在著相對(duì)應(yīng)的能夠稀疏表示該源信號(hào)的字典，并且認(rèn)為該字典僅能稀疏表示該源信號(hào)，對(duì)于其他源信號(hào)則不能稀疏表示；然后利用追蹤算法搜索最稀疏的表示，從而產(chǎn)生理想的分離效果。下文嘗試把該方法引入到軸承復(fù)合故障分離中，為齒輪箱故障診斷探索新的理論方法。

1 信號(hào)的稀疏分解

正交線性變換在信號(hào)處理中具有非常重要的地位和作用，如Fourier變換和小波變換等，在這些方法中，通過(guò)基函數(shù)展開將信號(hào)表示為一系列基函數(shù)線性加權(quán)和的形式進(jìn)行分析，然而，工程實(shí)踐中對(duì)于任意復(fù)雜多變信號(hào)，傳統(tǒng)的基函數(shù)展開方法在信號(hào)表示方面缺乏自適應(yīng)性。為了對(duì)任意復(fù)雜多變的信號(hào)進(jìn)行表示，人們?cè)噲D尋找建立在多種基函數(shù)基礎(chǔ)之上的信號(hào)表示方法，稀疏分解即是為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)而提出的新的信號(hào)處理方法，其基本思想是基函數(shù)用稱之為字典的超完備的冗余函數(shù)系統(tǒng)取代，字典中的元素被稱為原子，信號(hào)由原子的線性組合來(lái)表示。其中原子的數(shù)目比信號(hào)的維數(shù)大，由此產(chǎn)生了冗余。由于這種超完備性，就有很多表示信號(hào)的方法，其中具有最少系數(shù)(最稀疏)的表示是最簡(jiǎn)單的，也是認(rèn)為最優(yōu)的一種表示方法。

對(duì)于任意信號(hào)s∈RN，要想找到最稀疏的表示，等同于解決下列問(wèn)題

(1)

式中：‖u‖0為系數(shù)矢量u中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)隨機(jī)的冗余字典T中尋找信號(hào)的稀疏表示，這是非凸和高度非光滑的，是一個(gè)NP難問(wèn)題。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，文獻(xiàn)[9]引入了匹配追蹤(marching pursuit，MP)算法。近幾年，匹配追蹤算法得到了很大的發(fā)展，顯示出很大的優(yōu)越性。然而匹配追蹤算法由于在算法過(guò)程中需要進(jìn)行大量的內(nèi)積運(yùn)算和字典的選擇，計(jì)算量巨大，限制了它在很多領(lǐng)域的運(yùn)用。同時(shí)，匹配追蹤算法信號(hào)表示的精度問(wèn)題也限制了其應(yīng)用。

為了解決信號(hào)稀疏表示和分解問(wèn)題，又提出了基追蹤(basis pursuit，BP)算法，把(P0)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為(P1)問(wèn)題

(2)

即把最小化l0范數(shù)轉(zhuǎn)化為最小化l1范數(shù)，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。對(duì)于最小化l1范數(shù)，可以通過(guò)線性規(guī)劃方法解決?；粉櫲ピ?Basis Pursuit Denoising， BPDN)[10]是BP算法的推廣，把(P1)問(wèn)題變成無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題

(3)

其中參數(shù)λ控制著表示信號(hào)s時(shí)的失真度。(P1,λ)具有二次規(guī)劃結(jié)構(gòu)，可以通過(guò)很多方法進(jìn)行求解。當(dāng)T選擇為酉矩陣時(shí)存在封閉解

(4)

其中，ηλ(x)=sign(x)(|x|-λ)+，

2 形態(tài)成分分析

(5)

(6)

Stark在BCR(Block-Coordinate-Relaxation)方法[11]的基礎(chǔ)上，給出了MCA的數(shù)值實(shí)現(xiàn)：

(1)初始化迭代次數(shù)Lmax及閾值δk=λk·Lmax/2；

(2)Whileδk>λk/2

fork=1,…,n；

假設(shè)sk′≠k不變，更新sk：

計(jì)算剩余量rk=s-∑k′≠ksk′；

更新閾值δk=δk-λk/2。

MCA算法只能分離同一信號(hào)中具有不同形態(tài)的信號(hào)分量。文獻(xiàn)[12]將MCA擴(kuò)展到多通道數(shù)據(jù)情況下，提出了GMCA(Generalized MCA)算法，GMCA是一種快速有效的盲源分離方法，充分利用了形態(tài)多樣性和稀疏性的特點(diǎn)，把源看作是形態(tài)成分的線性組合，并利用稀疏性估計(jì)源和混合矩陣，取得了較好的試驗(yàn)結(jié)果。文獻(xiàn)[13]將該方法應(yīng)用到了腦信號(hào)分離中。

對(duì)于線性混疊模型

X=AS+N，

(7)

設(shè)源信號(hào)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，且每個(gè)源信號(hào)sk是不同形態(tài)成分的線性組合，

(8)

Tk和Rk分別表示與冗余字典Φk相關(guān)的正逆變換，(8)式中，φk,i為sk的1個(gè)形態(tài)成分，可以由變換Tk稀疏化，且僅能由Tk稀疏化。則估計(jì)模型(7)中的混疊矩陣A和源信號(hào)S轉(zhuǎn)化為求解以下優(yōu)化問(wèn)題

(9)

(1)初始化遞歸次數(shù)Lmax和閾值：?k,δk=

Lmax·λk/2;

(2)Whileδk>λk/2

fork=1,…,n;

(3)假設(shè)sk′≠k和ak′不變，更新sk：

(4)設(shè)源信號(hào)不變，更新A；

(5)對(duì)?k，重正規(guī)化ak,sk和δk；

(6)對(duì)?k，減小閾值δk=δk-λk/2。

在步驟(4)中，在由MCA算法得到的源信號(hào)的稀疏分解系數(shù)α={αk,i}的基礎(chǔ)上，混疊矩陣A的估計(jì)基于如下的更新策略

(10)

式中：β為歸一化常量；I為屬于Rm的單位矩陣；γ為與源信號(hào)參數(shù)的假設(shè)概率分布有關(guān)的非線性函數(shù)向量。

3 仿真信號(hào)分析

為了檢驗(yàn)GMCA盲分離算法的有效性，進(jìn)行了如下的仿真，取m=2，n=2，即2個(gè)傳感器、2個(gè)源信號(hào)的盲分離。

設(shè)2個(gè)源信號(hào)分別為

sin(2π×0.01t)+n(t),

sin(2π×0.035t)+n(t),

隨機(jī)選取混合矩陣為

將2路信號(hào)線性混合并疊加3 dB的高斯白噪聲，得到混疊信號(hào)如圖1所示。

圖1 混疊信號(hào)時(shí)域圖

構(gòu)造Fourier字典和基于8階消失矩Symlet小波字典，由GMCA算法得到混合矩陣A的估計(jì)

由GMCA算法分離得到的源信號(hào)如圖2所示，可以看出，源信號(hào)被較好地分離出來(lái)，且噪聲較小。FICA分離的源信號(hào)如圖3所示，很明顯，分離信號(hào)與原始信號(hào)差別很大。

圖2 GMCA分離信號(hào)時(shí)域圖

圖3 FICA分離信號(hào)時(shí)域圖

為進(jìn)一步反映源信號(hào)的分離效果，引入信噪比和誤差指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)，結(jié)果見(jiàn)表1。由表中可以看出，GMCA對(duì)帶噪信號(hào)的分離效果明顯好于FICA，同時(shí)也說(shuō)明了GMCA分離算法的有效性。

表1 分離方法效果對(duì)比

4 齒輪箱復(fù)合故障信號(hào)分析

在某型單級(jí)齒輪箱上進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。該系統(tǒng)由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)輸入軸，輸出軸帶動(dòng)負(fù)載。主動(dòng)齒輪齒數(shù)Z1=30，被動(dòng)齒輪齒數(shù)Z2=50，輸入軸軸承型號(hào)為6206，輸出軸軸承型號(hào)為7207，故障是在輸入軸軸承內(nèi)圈、外圈和滾動(dòng)體通過(guò)線切割實(shí)現(xiàn)的，對(duì)振動(dòng)信號(hào)在時(shí)域里進(jìn)行等時(shí)間間隔采樣，采樣頻率為12 800 Hz，測(cè)量時(shí)轉(zhuǎn)速為1 200 r/min，采樣時(shí)間長(zhǎng)度為0.25 s。6206軸承內(nèi)徑為9.5 mm，外徑為46.5 mm，接觸角為0°，滾動(dòng)體數(shù)目為9，根據(jù)軸承的結(jié)構(gòu)尺寸和工作轉(zhuǎn)速，可以計(jì)算出內(nèi)圈故障特征頻率108.4 Hz，滾動(dòng)體故障特征頻率94.2 Hz，外圈故障特征頻率為71.6 Hz。

在輸入軸兩端軸承座的上部各安裝1個(gè)傳感器，并在輸入軸一端軸承座的下部安裝1個(gè)傳感器，傳感器的型號(hào)為B&K4508加速度傳感器，3個(gè)傳感器采集的振動(dòng)信號(hào)頻譜如圖4所示，可以看出采集信號(hào)的幾個(gè)故障特征頻率在每一個(gè)頻譜圖上混疊，難以確定哪些故障存在。

圖4 3路傳感器采集信號(hào)的頻譜圖

構(gòu)造Fourier字典、Dirac字典和基于8階消失矩Symlet小波字典，分別用以匹配振動(dòng)信號(hào)中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、沖擊和其他瞬態(tài)振動(dòng)現(xiàn)象，采用GMCA算法對(duì)采集的3路振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行盲分離，圖5分別為分離出的3個(gè)源信號(hào)的頻譜圖。

圖5 GMCA分解結(jié)果

從圖5a中能看出94 Hz和188 Hz的頻率成分，這與滾動(dòng)體故障特征頻率(94.2 Hz)及二次諧波(188.4 Hz)接近，由此可認(rèn)為滾動(dòng)體故障被有效地分離出來(lái)；從圖5b中能看出72 Hz和144 Hz的頻率成分，這與外圈故障特征頻率(71.6 Hz)及二次諧波(153.2 Hz)接近，由此可認(rèn)為外圈故障被有效地分離出來(lái)；從圖5c中能看出108 Hz和216 Hz的頻率成分，這與內(nèi)圈故障特征頻率(108.4 Hz)及二次諧波(216.8 Hz)接近，其他頻率幅值成分較小，由此可認(rèn)為內(nèi)圈故障被分離出來(lái)。經(jīng)上述分析得出，上文提出的算法能較好地分離出滾動(dòng)軸承的故障特征。

5 結(jié)束語(yǔ)

形態(tài)成分分析方法是有別于稀疏成分分析的一種基于稀疏表示的信號(hào)分解方法，在分解信號(hào)的同時(shí)，也自動(dòng)地提取出噪聲成分，完成了信號(hào)去噪處理。將形態(tài)成分分析方法應(yīng)用到3種軸承故障的分離中，取得了良好的分離效果，表明了該方法在軸承故障診斷中的有效性。