石艷香，郝江輝，白定勇，劉桂榮

(1.山西大學數(shù)學科學學院，山西 太原 030006；2.廣州大學數(shù)學與信息科學學院，廣東 廣州 510006;3.潞安集團余吾煤業(yè)公司自動化科，山西 長治 046103)

近幾年,有很多研究專注于非線性系統(tǒng)中不同周期力的影響。例如,由扭曲力產(chǎn)生的混沌行為[1],周期脈沖產(chǎn)生的復合周期加倍[2],周期外力產(chǎn)生的混沌反控制[3],帶有不同周期外力的隨機共振[4]等等。研究的方法包括多重進位擾動理論和Melnikov方法,這些方法用于研究由不同周期力驅(qū)動的非線性系統(tǒng)的非線性共振和同宿分支。

本文研究幅值調(diào)節(jié)力對Josephson系統(tǒng)的影響,系統(tǒng)如下

(1)

這里sinx+ksin 2x表示相位檢測特性的混沌環(huán)；β-α(1+kcosx)y表示理想過濾器的移位函數(shù)； (f+2gcosωt)sinΩt是幅值調(diào)節(jié)力，f是非調(diào)節(jié)載體的振幅，2g是調(diào)節(jié)度，ω和Ω表示外力的兩個頻率。

許多實際問題的模型都是由此方程,或者相似的方程描述的。Josephson系統(tǒng)具有一個明顯的特征，即具有非線性屬性。因此，有必要去研究系統(tǒng)(1)，以此來獲得系統(tǒng)隨不同的參數(shù)變動時的動態(tài)特征。Salam等[5]和Bartuccelli等[6]利用Melnikov函數(shù)和定性分析,提供分支圖來證明對一些參數(shù)系統(tǒng)混沌的存在。帶有一個周期外力的Josephson方程的研究見文獻[7-9]。Yang等[10]研究了帶有兩個周期外力的Josephson系統(tǒng)的復雜動態(tài),得到了系統(tǒng)在周期擾動和擬周期擾動下混沌存在的準則。另外，Jing等[11-12]研究受常數(shù)dc和ac驅(qū)動的Josephson系統(tǒng)，顯示出導致混沌的條件以及考慮了當鎖相變化時，對周期和次諧分支的影響。最近，Ravichandran等[13]從理論分析和數(shù)值模擬兩方面，研究了受幅值調(diào)節(jié)力控制的Duffing振子的同宿分支和從正規(guī)到混沌的轉(zhuǎn)變。本文研究系統(tǒng)(1)的異宿分支和混沌。利用Melnikov方法[14]，得到異宿分支及混沌存在的條件。同時，利用數(shù)值模擬研究分支參數(shù)對系統(tǒng)動力學行為的影響。數(shù)值模擬包括不動點的分支圖、相圖和系統(tǒng)分支圖，以此來驗證理論分析，并且還顯示出新的動態(tài)行為: 包括在不同混沌區(qū)域中的n周期軌道，一系列倍周期分支和逆倍周期分支，帶有復雜周期窗口和內(nèi)部危機的瞬時混沌等。

1 非擾動系統(tǒng)的不動點和相圖

若ε=0，系統(tǒng)(1)可以寫成如下非擾動形式

(2)

系統(tǒng)(2)是一個Hamilton系統(tǒng)，Hamilton函數(shù)為

特征方程為

λ2+cosx+2kcos 2x=0

(3)

通過對系統(tǒng)(2)不動點(xj,yj)穩(wěn)定性分析，可以得到如下結(jié)論。

圖1(a)和(b)分別是系統(tǒng)(2)當k=1時不動點的分支圖和相圖。

圖1 系統(tǒng)(2)不動點的分支圖和相圖，這里k=1

2 計算Melnikov函數(shù)

系統(tǒng)(1)可改寫為如下的自治形式

(4)

假設未擾動系統(tǒng)的異宿軌道為(x0,y0)=(x0(t),y0(t)),則系統(tǒng)(4)的Melnikov函數(shù)為

(5)

這里t0是Poincare映射與橫截面相交的時間，也可理解為外力項的初始時刻。

2[βA1-αA2(k)+fA3(Ω)sinΩt0+gA4(Ω+ω)·

sin(Ω+ω)t0+gA5(Ω-ω)sin(Ω-ω)t0]

(6)

3 Ω=ω時幅值調(diào)節(jié)力對系統(tǒng)的影響

通過理論分析和數(shù)值模擬，研究當Ω=ω時系統(tǒng)(1)馬蹄混沌的產(chǎn)生，有以下3種情形

Case 1:g=0；

Case 2:g固定不變；

Case 3:f固定不變。

3.1 g=0時的異宿分支與混沌

當g=0時，系統(tǒng)(1)由正弦外力fsinΩt驅(qū)使，則Melnikov函數(shù)(6)為

M(t0)=2[βA1-αA2(k)+fA3(Ω)sinΩt0]

因此，如果

定理1 系統(tǒng)(4)在

f=±R1(β,α,k,Ω)

處發(fā)生異宿分支，說明如果ε>0充分小，則橫截異宿軌道存在，系統(tǒng)(4)可能產(chǎn)生混沌。

圖2(a)-(d)分別給出了系統(tǒng)(1)在(f,x),(α,x)和(β,x)平面上的分支圖，這里(a)g=0,β=0.02,α=0.2,k=1；(b)g=0,β=0.02,f=2,k=1；(c)g=0,β=0.004,f=1.5,k=1；(d)g=0,α=0.2,f=1,k=1。

從圖2(a)-(c)，看到混沌狀態(tài)與周期狀態(tài)的交替出現(xiàn)。從圖2(d)，發(fā)現(xiàn)帶有周期窗口和內(nèi)部危機的瞬時混沌。圖3給出了對應于圖2的相圖。

圖2 (a) 系統(tǒng)(1)在(f,x)平面的分支圖；(b-c)系統(tǒng)(1)在(α,x)平面的分支圖；(d)系統(tǒng)(1)在(β,x)平面的分支圖

圖3 (a-b)對應圖2(a)的相圖;(c-d)對應圖2(b)的相圖; (e-f)對應圖2(c)的相圖;(g-h)對應圖2(d)的相圖.

3.2 g固定不變時的異宿分支與混沌

g的值固定不變，當Ω=ω時，Melnikov函數(shù)(6)為

M(t0)=2[βA1-αA2(k)+fA3(Ω)sinΩt0+

gA4(2Ω)sin(2Ω)t0]

因此，如果

|R2(β,α,k,Ω,g)|

定理2 系統(tǒng)(4)在

f=±R2(β,α,k,Ω,g)

處發(fā)生異宿分支，說明如果ε>0充分小，則橫截異宿軌道存在，系統(tǒng)(4)可能產(chǎn)生混沌。

圖4(a)和(b)分別給出了系統(tǒng)(1)在(f,x)和(β,x)平面上的分支圖，這里(a)g=0.1,β=0.02,α=0.2,k=1;(b)g=0.1,f=0.2,α=0.2,k=1。

圖4 (a) 系統(tǒng)(1)在(f,x)平面的分支圖；(b)系統(tǒng)(1)在(β,x)平面的分支圖

從圖4中可以看到混沌狀態(tài)與周期狀態(tài)的交替發(fā)生，帶有復雜周期窗口與內(nèi)部危機的瞬時混沌。圖5(a)和(b)分別給出當f=1.15和β=1.137的相圖。

圖5 對應于圖4的相圖

3.3 f固定不變時的異宿分支與混沌

f的值固定不變，當Ω=ω，使Melnikov函數(shù)M(t0)具有簡單零點的必要條件是

定理3 系統(tǒng)(4)在

g=±R3(β,α,k,Ω,f)

處發(fā)生異宿分支，說明如果ε>0充分小，則橫截異宿軌道存在，系統(tǒng)(4)可能產(chǎn)生混沌。

圖6(a)和(b)分別給出了系統(tǒng)(1)在(g,x)和(α,x)平面上的分支圖，這里(a)f=0.2,β=0.02,α=0.2,k=1;(b)f=0.2,β=0.02,g=0.1,k=1；圖6(c)和(d)分別是圖6(a)和(b)的局部放大分支圖。

從圖6(c)看到，當g=1.64和g=1.68時帶有周期-2窗口和內(nèi)部危機的混沌區(qū)域。圖7(a)和(b)分別給出g=1.645和α=0.05時的相圖。

圖6 (a) 系統(tǒng)(1)在(g,x)平面的分支圖；(b) 系統(tǒng)(1)在(α,x)平面的分支圖； (c) 對應(a)的局部放大分支圖，這里1.5

圖7 (a) 對應圖6(a)的相圖； (b) 對應圖6(b)的相圖

4 Ω≠ω時幅值調(diào)節(jié)力對系統(tǒng)的影響

通過數(shù)值模擬，研究受幅值調(diào)節(jié)力驅(qū)動的系統(tǒng)(1)在不同頻率Ω≠ω下的動力學行為。有以下兩種情形

Case 1:Ω和ω是可通約的；

Case 2:Ω和ω是不可通約的。

4.1 Ω和ω是可通約的

取參數(shù)值β=0.02,α=0.2,k=1,ω=1,Ω=2。這種情形下外力是周期的。圖8(a)給出了g=0而f是變化的分支圖。圖中可看出具有內(nèi)部危機、間斷動力學行為以及從1，2周期開始到混沌的倍周期分支。研究當f分別固定在一正規(guī)區(qū)域和一混沌區(qū)域時，系統(tǒng)(1)隨控制參數(shù)g變化的動力學行為。當f=1.18且g=0時系統(tǒng)是周期的，圖8(b)是g從0到1的分支圖。圖8(c)是對應于f=1.22時的分支圖(當g=0時是混沌的)。圖8(d)給出了f=0且g∈[0,1]時的分支圖。圖8(e)和(f)分別給出了當固定g為g=0.63(周期區(qū)域)和g=0.66(混沌區(qū)域)時的分支圖，從圖中可以清晰的看出控制參數(shù)f對系統(tǒng)動力學的影響。

圖8 各種分支結(jié)構(gòu)，這里k=1,β=0.02,ω=1,Ω=2,α=0.2

4.2 Ω和ω是不可通約的

圖9 分支結(jié)構(gòu)，這里k=1,β=0.02,

圖10 對應圖9(a)和(b)的相圖

5 系統(tǒng)(1)的其他分支結(jié)構(gòu)和動力學行為

研究系統(tǒng)(1)的其他分支結(jié)構(gòu)和動力學行為， 考慮以下3種分支參數(shù)情形

(i)β為分支參數(shù)(0≤β≤0.05)，固定α=0.2,g=0.1,ω=1,Ω=2和一些f值；

(ii)α為分支參數(shù)(0≤α≤0.5)，固定f=0.2,g=0.1,ω=1和一些Ω值；

(iii)Ω為分支參數(shù)(0≤Ω≤2)，固定β=0.002,f=0.2,g=0.1,ω=1和一些α值。

情形(i)對不同的f值，圖11(a)-(d)給出了系統(tǒng)(1)在(β,x)平面上的分支圖，顯示出振幅f對系統(tǒng)動力學的影響。從圖中可以看到混沌行為和周期行為交替出現(xiàn)，并且發(fā)現(xiàn)帶有復雜周期窗口的混沌區(qū)域。

圖11 系統(tǒng)(1)在(β,x)平面的分支圖，這里(a)f=0.5;(b)f=0.7;(c)f=0.8;(d)f=1

情形(ii) 對不同的Ω值，圖12(a)-(d)給出了(α,x)平面上的分支圖，顯示出頻率Ω對系統(tǒng)動力學的影響。從圖中可以看到混沌行為和擬周期行為交替出現(xiàn)。

圖12 系統(tǒng)(1)在(α,x)平面的分支圖，這里(a)Ω=0.2;(b)Ω=1.4;(c)Ω=2;(d)Ω=3

情形(iii) 圖13(a)和(b)給出了系統(tǒng)(1)在(Ω,x)平面上的分支圖。從圖中可以發(fā)現(xiàn)大范圍的帶有小的擬周期窗口的混沌區(qū)域。

圖13 系統(tǒng)(1)在(Ω,x)平面的分支圖，這里(a)α=0.1;(b)α=0.25

6 結(jié) 論

本文研究了受幅值調(diào)節(jié)力驅(qū)動的Josephson系統(tǒng)的動力學行為，利用理論分析和數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)很多復雜動力學行為，這些行為源自阻尼和幅值調(diào)節(jié)力的影響。特別的，從圖11-13可以看出幅值調(diào)節(jié)力中的振幅f和頻率Ω對系統(tǒng)動力學的影響起了關(guān)鍵的作用。圖12顯示出通過調(diào)節(jié)阻尼α值，可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)從混沌進入到周期狀態(tài)，故可以將其看作是一個控制器。對理解Josephson系統(tǒng)的動力學行為，這些結(jié)論是重要且實用的。

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