穆廣杰

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院,鄭州 450015)

T檢驗，亦稱student t檢驗（Student's t test），主要用于樣本容量較小（例如n＜30），總體方差δ2未知的正態(tài)分布數(shù)據(jù)。用來判斷樣本與樣本，樣本與總體的差異是由抽樣誤差引起還是本質(zhì)差別造成的統(tǒng)計推斷方法。亦稱“顯著性檢驗（Test of statistical significance）”，其基本原理是先對總體的特征做出某種假設(shè)，然后通過抽樣樣本的統(tǒng)計推斷，做出對此假設(shè)應(yīng)該被拒絕還是接受的推斷。其基本思想是小概率反證法。小概率是指小概率事件（P＜0.01或P＜0.05）在一次試驗中基本上不會發(fā)生。反證法是先提出檢驗假設(shè)H0，再用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計方法確定假設(shè)成立的可能性大小，如可能性小,則認(rèn)為假設(shè)不成立，若可能性大，則還不能認(rèn)為假設(shè)不成立，在實際工作中T檢驗使用范圍較廣。但也存在著局限性，即T檢驗的失效。充分研究其產(chǎn)生失效性的理論基礎(chǔ)避免使用時錯誤，并對T檢驗的失效可能造成的后果有所控制，可以使其發(fā)揮更大的作用

1 參數(shù)T檢驗的失效

假設(shè)檢驗根據(jù)問題的要求，設(shè)是A關(guān)于總體分布的一項命題，所有使命題A成立的總體分布構(gòu)成一個集合HA，稱為原假設(shè)H0，使命題A不成立的所有總體分布構(gòu)成另一個集合HB，稱為備擇假設(shè)H1。對一個假設(shè)H0進行檢驗，就是制定一個規(guī)則，使得有了樣本以后，根據(jù)這規(guī)則可以決定是接受（即承認(rèn)命題A正確）,還是拒絕它（即否認(rèn)命題A正確）。這樣，所有可能的樣本所組成的樣本空間被劃分為兩部分HA和HB(HA的補集)，HA?HB=φ，當(dāng)樣本x∈HA時,接受假設(shè)H0，拒絕H1；當(dāng)x∈HB時,拒絕H0，接受H1。用檢驗進行分析判斷，以接受一個，拒絕另一個。命題的對立性及“僅選其一”的規(guī)定，從邏輯上來說，應(yīng)當(dāng)不會出現(xiàn)兩者都接受或都拒絕這樣的兩可結(jié)論。但是實際中存在這樣的情況：兩個對立命題HA和HB，以同一樣本數(shù)據(jù)進行檢驗，當(dāng)以HA為H0時，接受H0，即接受HA；當(dāng)以HB為H0時，結(jié)果同樣是接受H0，即接受HB。出現(xiàn)了某樣本既屬于集合HA，同時屬于HB的悖論。

例1:某種元件的壽命X（以小時計）服從正態(tài)分布N（μ，σ2），μ，σ2未知?，F(xiàn)測得16只元件壽命如下：159，280，101，212，224，379，179，264，222，362，168，250，149，260，485，170，問是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225（小時）？

HA：原假設(shè)H0：μ≤225H1：μ＞225，則H0的拒絕域為，現(xiàn) 有 n=16,α =0.05,查 表 得t0.05(15)=1.7531,計 算 得xˉ=241.5 ，s=98.73 ，故 有t=0.6685＜1.7531，t值沒有落在拒絕域中，即認(rèn)為元件平均壽命都不大于225小時。

HB：建立假設(shè)H0：μ≥225H1：μ＜225，則H0的拒絕域為

故有t=0.6685＞-1.7531，t值沒有落在拒絕域中，即認(rèn)為元件平均壽命都不小于225小時。綜合HA、HB的結(jié)論,二者唯一的交集是μ=225。但是這是一個在實際中幾乎不可能的結(jié)果，可以認(rèn)為兩個結(jié)論是相反的。對立命題都能通過檢驗而被接受時，T檢驗似乎失去了判斷真?zhèn)蔚哪芰?，這時T檢驗失效了。

2 T假設(shè)檢驗失效的原因分析

假設(shè)檢驗的理論基礎(chǔ)，是小概率事件的實際不可能性原理，即概率很小的隨機事件在個別的實驗中是不可能發(fā)生的。在假設(shè)檢驗的操作中，我們選取事件“當(dāng)H0為真時拒絕H0”，并計算其發(fā)生概率（p值）。這是一個小概率事件。通過選擇顯著性水平α，設(shè)定“小概率”的標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)p＜α?xí)r，小概率事件在一次抽樣中發(fā)生，違背了實際不可能性，認(rèn)為應(yīng)當(dāng)拒絕H0從而接受H1。反之，則不違背小概率事件原理，不能拒絕H0。

不難看出，p值度量的是H0為真時，某個極不容易發(fā)生的事件的發(fā)生概率，換言之，p值度量的是不利于原假設(shè)的證據(jù)強度。p值越小，越反對H0，p值足夠小時（p＜α），即可推翻原假設(shè)。根據(jù)小概率事件的原理，我們根據(jù)p值拒絕h0是有相當(dāng)大把握的。也就是說對于簡單原假設(shè)，只要參數(shù)假設(shè)值不完全等于真值，那么通過增大樣本容量，總是可以拒絕包含“相等”意義的原假設(shè)。

但是如果p值還沒有小到可以拒絕H0的水平，則沒有理由反對H0。但是否就是有充分理由接受H0呢？答案是否定的。H0是我們正在求證的總體效應(yīng)，T檢驗則不能提供這個總體效應(yīng)到底有多大或多重要的信息。因此我們只能說，不能拒絕H0。如例1，不拒絕H0：μ≤225和不拒絕H1：μ＞225，是不矛盾的。不拒絕并不意味著接受。實際上在假設(shè)H0實際上為真時，我們可能犯拒絕H0的錯誤，這被稱為“棄真”錯誤，也叫第一類錯誤（α值）。又當(dāng)H0實際上不真時，我們也有可能接受H0，這類錯誤被稱為第二類錯誤（β值），又叫“取偽”錯誤。兩類錯誤產(chǎn)生的根本原因是抽樣。樣本只是總體的一部分，因此可能的樣本不止一個，而抽到的樣本具有很大的偶然性。用局部數(shù)據(jù)作為總體數(shù)據(jù)的估計不可能完全正確，基于此估計而作的檢驗產(chǎn)生錯誤的可能也就不可避免。

T檢驗的一個重大不足就是不能度量第二類錯誤（β值）的大小，但是希望它越小越好。但是在樣本容量固定的情況下，若減少犯第一類錯誤的概率，則犯第二類錯誤的概率往往增大。要使兩類錯誤的概率都減小，則必須增大樣本容量。那么什么情況下H0能被接受呢？由于接受域的中心是參數(shù)真值，故只有當(dāng)假設(shè)值θ0完全等于真值θ，才能使無論樣本量多大，H0可以總能被接受。而這是不現(xiàn)實的。

實際中使用T檢驗去研究一個總體參數(shù)θ，都存在一個任意小的正數(shù)ε，使得當(dāng) ||θ-θ0＜ε時，可視為θ=θ0，(θ-ε,θ+ε)稱為θ的無差別區(qū)域。不斷增大的樣本會將θ與θ0之間的微小差別顯現(xiàn)出來（通過不斷減小的p值），并以p值為據(jù)，否定θ=θ0的原假設(shè)。檢驗本身并沒有錯，因為θ的確不是恰好就是θ0,但是如此“敏感”地找出應(yīng)用中可忽略的差別，就沒有使用上的重要性了。無差別區(qū)域的存在，要求樣本容量必須具有上限。而控制第二類錯誤（β值）則要求樣本容量具有下限。二者對樣本容量的反向要求可能導(dǎo)致檢驗故障，因此必須在二者之間找到平衡，以達到檢驗的目標(biāo)。

3 T檢驗失效的處理

3.1 原假設(shè)的選擇原則

假設(shè)檢驗的兩個結(jié)論在邏輯上可以共存，但是在實際中，得到一個如此模糊的判斷是沒有意義的。我們需要的是“接受H0”或“接受H1”這樣明確的論斷，來指導(dǎo)行動。也就是說，只能在HA或HB中選擇其一執(zhí)行假設(shè)檢驗。這表明，兩個相反的假設(shè)檢驗中，應(yīng)當(dāng)有一種形式更符合現(xiàn)實的狀況，而能被直接采用。這就涉及到原假設(shè)的選擇原則。

仍以例1分析，如果做檢驗的是該電子元件的買方，根據(jù)自己的使用經(jīng)驗或廠家信譽，認(rèn)為元件的平均壽命不超過225小時，只有非常有利于生產(chǎn)方的觀察結(jié)果，才能改變對元件壽命的消極看法，于是就會提出H0：μ≤225作為原假設(shè)。同樣，如果買方相信元件平均壽命不小于225小時，沒有非常充分的理由，不應(yīng)改變對廠方的信任，就會以H0：μ≥225為原假設(shè)?？瓷先ピ僭O(shè)的選擇完全取決于檢驗者的個人意志，不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但是，這種意志包含符合檢驗者地位的背景信息，根據(jù)這種個人意志選擇原假設(shè)而得出的結(jié)論，確定是有實用價值的。

據(jù)此探討原假設(shè)的選擇原則。假設(shè)檢驗的原理決定了H0一旦確定，接下來就是通過抽樣顯示的信息，來計算其作為原假設(shè)的反證據(jù)的強度。因此，原假設(shè)無疑處于被懷疑的地位。同時，由于小概率事件的實際不可能性，一次抽樣拒絕H0的可能性（α）大大小于接受的可能性（1-α），因此，原假設(shè)又是處于被保護地位的。通常我們采用的假設(shè)檢驗是顯著性檢驗，它是通過對α的設(shè)定控制第一類錯誤（棄真錯誤），而不考慮第二類錯誤的概率，但我們希望“取偽”的概率越低越好，這一點也要加以考慮。因此，根據(jù)原假設(shè)上述三個性質(zhì)，可以得出建立原假設(shè)的三個基本原則：

①將研究者想收集證據(jù)予以反對的命題作為原假設(shè)。

②對于某些存在有改進、更新的問題的檢驗內(nèi)容，出于謹(jǐn)慎考慮，應(yīng)將已存在的狀態(tài)作為原假設(shè)H0，而將新改進反映在備選假設(shè)H1中。

③所有假設(shè)檢驗都可能犯兩類錯誤，但有些假設(shè)檢驗犯兩類錯誤所導(dǎo)致的后果的嚴(yán)重程度差別很大，則根據(jù)原假設(shè)的保護原則，將可能造成嚴(yán)重后果的錯誤設(shè)置為第一類錯誤，使之處于檢驗者控制下，而將其對應(yīng)命題作為原假設(shè)H0。如：新藥的毒副作用檢驗中有兩種可能錯誤：a新藥有毒，而誤認(rèn)為無毒；b新藥無毒，而誤認(rèn)為有毒。顯然錯誤a比b后果嚴(yán)重，因其可能危害用藥者生命健康。因此將a設(shè)為第一類錯誤。則建立假設(shè)：H0：新藥有毒，H1：新藥無毒，則H0為真時拒絕H0的“棄真”錯誤，此處為“新藥有毒而認(rèn)為其無毒”錯誤，通過顯著性水平α的選擇，使其發(fā)生概率小到可接受的范圍內(nèi)。

3.2 樣本容量的控制

大樣本有可能帶來檢驗的失真（實際意義而非理論意義上的），那么恰當(dāng)確定樣本容量就可以成為避免失效的手段。

（1）抽樣過程中樣本容量的控制

假設(shè)檢驗的操作過程大致可分為兩階段：第一階段是分析研究，建立原假設(shè)和備擇假設(shè)。這個階段可能要使抽樣調(diào)查，即通過抽取樣本處理之后，獲取對總體參數(shù)的估計等資料。理論上這不屬于假設(shè)檢驗，但是假設(shè)檢驗的前提。因為要判斷“θ=θ0”的命題，確定θ0不能是無根無據(jù)的。如果沒有可資利用的材料（例如經(jīng)驗值和對參數(shù)的說明），就需要先抽樣估計進行確定。為保證估計的精度，抽樣估計中樣本量的確定有一整套技術(shù)手段。雖然仍不免誤差，但是可信度較高，可以視為真值。假設(shè)檢驗通常是在調(diào)查之后再抽取其他部分，就是驗證其是否與調(diào)查結(jié)論一致。調(diào)查是前探型的，檢驗是回溯型的。一般地，檢驗的樣本量小于調(diào)查的樣本量，此時不會出現(xiàn)檢驗失效。故得出T檢驗樣本容量上限確定的一個方法：在抽樣調(diào)查確定的n1和功效干預(yù)確定的n2中，若n1≤n2，則取n1為樣本容量，即樣本上限不超過抽樣調(diào)查的樣本量。

（2）功效干預(yù)

對于不需通過抽樣調(diào)查的T檢驗，如果所得的樣本容量不超過30，可以直接采用。其微小的干擾效應(yīng)也不容易表現(xiàn)出來。

如果樣本容量超過30，可以采用功效控制法來確定樣本量。n＞30，T分布趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故可記Ft≈Φ(x)。

對于均值的檢驗，可建立H0:μ=μ0，H1:μ≠μ0，顯著性水平為α，為避免T檢驗的失效，希望對于μ∈(μ0-ε,μ0+ε)，拒絕H0的概率(α′)也較小，顯然α′＞α，令α′=kα(k≥1)，而接受H0的概率為β(μ)≥1-α′。

已知

因Ft≈Φ(x)，而相應(yīng)分位點亦逼近，故記t′≈μ′

故β(μ)=1-α+Φ(-μ′)-Φ(-μ′-Ω)-Φ(μ′)+Φ(μ′-Ω)=1-α+1- Φ(μ′)-1+ Φ(μ′+ Ω)-[Φ(μ′)- Φ(μ′- Ω)]利用拉格郎日中值定理，得β(μ)=1-α+Ω[Φ′(ζ2)-Φ′(ζ1)]=1-α+ Ω(ζ2-ζ1)Φ″(ζ3)]

其中，ζ1∈(μ′,μ′+Ω),ζ2∈(μ′- Ω,μ′),ζ3∈(ζ1,ζ2)

Φ″(x)=，當(dāng)x=1時，有最大值，又ζ2-ζ1＜ 2Ω ，

所以：β(μ)≥1-α-又μ∈(μ0-ε,μ0+ε),因此：，對于α′=Kα(k≥1)，使β(μ)≥1-α′=1-α-(k-1)α成立則要求1)α，即此時，檢驗失效的情況應(yīng)當(dāng)不會出現(xiàn)。

（3）樣本容量的最終確定

①μ=μ0時：1-β（μ）≤α；②μ∈（μ0-ε，μ0+ε）時：1-β（μ）≤α′；③ ||μ-μ0≥δ時β（μ）≤β?？梢院玫貙崿F(xiàn)控制兩類錯誤及避免檢驗失效的目標(biāo)。

4 結(jié)論

通過以上分析，可以發(fā)現(xiàn)利用控制樣本容量可以控制t檢驗的失效。在進行T檢驗時：首先，利用公式-1)α確定樣本容量的上限，使β（μ）降低；其次，根據(jù)研究對象的特點確定正確的樣本容量，原則是盡可能的接近其上限值；第三：若要提高H0接受概率，即降低其被拒絕的概率，可以降低K值。第四，在T檢驗的實驗中，結(jié)合方差分析、相關(guān)分析等方法，作為T檢驗結(jié)論的監(jiān)控和修正,通過參照對比，發(fā)現(xiàn)不同種方法結(jié)論的差異，避免由于單獨使用T檢驗而有可能產(chǎn)生的失誤。

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