225754 江蘇省興化市垛田初級(jí)中學(xué) 沈 剛225700 江蘇省興化市教育局教研室 陳德前

所謂綜合題，是指涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)比較廣泛，運(yùn)算、論證、作圖等比較復(fù)雜，需要靈活運(yùn)用多方面的數(shù)學(xué)知識(shí)和熟練地技能技巧才能解答的問題.綜合題不等于難題，有些競(jìng)賽題需要用某種特殊解法，但涉及的知識(shí)并不多，不能稱為綜合題.我們這里所談的綜合題，相當(dāng)于中考試卷中的最后幾道題.

綜合題具有串聯(lián)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、靈活運(yùn)用解題方法、進(jìn)行多層次思維訓(xùn)練、提高綜合運(yùn)用能力這樣一些明顯功能.因此，加強(qiáng)綜合題的解題訓(xùn)練，有利于將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能融會(huì)貫通，起到復(fù)習(xí)、鞏固、拓展、提高的作用，也有利于提高分析問題和解決問題的能力.要能順利地解答綜合題，必須深刻地、透徹地理解基礎(chǔ)知識(shí)，掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的相互聯(lián)系，還必須具備扎實(shí)的解題基本功，掌握好各種基本的解題方法與技巧.綜合題的解題過程一般都比較復(fù)雜，有時(shí)需要經(jīng)過迂回曲折的途徑才能達(dá)到目的.有些綜合題中還隱含著不易發(fā)現(xiàn)的隱含條件.這就要求我們?cè)诮饩C合題時(shí)，首先要認(rèn)真審題，通過觀察、分析，找出其中的難點(diǎn)所在，并通過聯(lián)想(猜想)與概括，發(fā)現(xiàn)隱含條件，理順解題思路，設(shè)計(jì)解題方案，而且在思考問題時(shí)，應(yīng)盡量做到全面些、深刻些、靈活些.

初中數(shù)學(xué)綜合題從知識(shí)科目上分有單科綜合題和多科綜合題，從題目形式上分有單一題和組合題.解綜合題的基本方法就是把綜合題分解為單一的基本題，把復(fù)雜圖形分解為基本圖形來處理.本文以中考題為例進(jìn)行說明.

例1(2010年廣州市)如圖1，⊙O的半徑為 1，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，弦AB垂直平分線段OP，點(diǎn)D是弧上的任一點(diǎn)(與端點(diǎn)A，B不重合)，DE⊥AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)D為端點(diǎn)，DE長為半徑作⊙D，分別過點(diǎn)A，B作⊙D的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C.

圖1

(1)求弦AB的長;

(2)判斷∠ACB是否為定值，若是，求出∠ACB的大小;否則，請(qǐng)說明理由;

1 分析

這是一道與圓相關(guān)的幾何學(xué)科的綜合題，考查了圓中的眾多知識(shí)和一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有垂徑定理、勾股定理、圓周角和圓心角定理、切線的性質(zhì)定理、切線長定理、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、三角形面積等，考查的數(shù)學(xué)思想方法有轉(zhuǎn)化思想、方程思想、建模思想、不變量思想等.解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是將這道綜合題分解為一系列的基本題，在解決了這些基本題后，問題就迎刃而解了.

2 基本題

基本題1

如圖2，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，弦AB垂直平分線段OP，垂足為E，求弦AB的長.

圖2

基本題2

如圖3，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，弦AB垂直平分線段OP，點(diǎn)D是上的任一點(diǎn)(與端點(diǎn)A，B不重合)，求∠ADB的大小.

點(diǎn)評(píng)這是考查圓周角性質(zhì)應(yīng)用的問題，人教版九年級(jí)上冊(cè)課本在第94頁，第95頁，第130頁等處多次出現(xiàn)過這樣的問題，特別是圖3中的四邊形APBO與第95頁的第10題完全相同，因此易求∠ADB=∠APB=120°.

基本題3

如圖4，⊙D是△ABC的內(nèi)切圓，∠ADB=120°，求∠ACB的大小.

圖4

基本題4

如圖4，△ABC中，AB=，∠ACB=60°，⊙D是△ABC的內(nèi)切圓，DE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)DE=r，試用含r的代數(shù)式表示△ABC的周長.

點(diǎn)評(píng)這是考查切線長定理的問題，人教版九年級(jí)上冊(cè)課本在第105頁，第106頁，第110頁，第112頁等處多次出現(xiàn)過這樣的問題.

設(shè)AC，BC分別切⊙D于F，G，由切線長定理可知

AF=AE，BG=BE，CF=CG，CD平分∠ACB.

因?yàn)锳B=，∠ACB=60°，

所以AB+AF+BG=2，∠ACD=∠DCB=30°，又DF⊥AC于點(diǎn)F，DF=r，

所以CF=CG=r，

所以△ABC的周長 = 2+2r.

基本題5

如圖 5，△ABC中，AB=，∠ACB=60°，⊙D是△ABC的內(nèi)切圓，DE⊥AB于點(diǎn)E，記△ABC的面積為S，若求△ABC的周長.

圖5

又由基本題4可知AB+BC+AC= 2+ 2DE，

至此，這道綜合題的解題思路已清晰顯現(xiàn)，完整的解題過程如下.

3 求解

解(1)如圖 6，連接OA，取OP與AB的交點(diǎn)為F，則有OA=1.

∵弦AB垂直平分線段OP，

圖6

在Rt△OAF中，

∴AB=2AF=.

(2)∠ACB是定值.

理由：由(1)易知，∠AOB=120°，

因?yàn)辄c(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心，

所以連接AD，BD，

則∠CAB=2∠DAE，∠CBA=2∠DBA，

所以∠CAB+∠CBA=120°，

所以∠ACB=60°;

(3)記△ABC的周長為l，取AC，BC與⊙D的切點(diǎn)分別為G，H，連接DG，DC，DH，則有DG=DH=DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∵CG，CH是⊙D的切線，

∴CH=CG=DE.

又由切線長定理可知AG=AE，BH=BE，

∴l(xiāng)=AB+BC+AC= 2+ 2DE=8DE，

圖7

例2(2011年衢州市)已知兩直線l1，l2分別經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(－3，0)，并且當(dāng)兩條直線同時(shí)相交于y軸正半軸的點(diǎn)C時(shí)，恰好有l(wèi)1⊥l2，經(jīng)過點(diǎn)A，B，C的拋物線的對(duì)稱軸與直線l1交于點(diǎn)K，如圖7所示.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式.

(2)拋物線的對(duì)稱軸被直線l1，拋物線，直線l2和x軸依次截得三條線段，問這三條線段有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由.

(3)當(dāng)直線l2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M.請(qǐng)找出使△MCK為等腰三角形的點(diǎn)M.簡述理由，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

1 分析

這是一道中考?jí)狠S題，是多學(xué)科的綜合題，考查了代數(shù)中的點(diǎn)的坐標(biāo)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、方程(組)、兩點(diǎn)之間的距離，幾何中的三角形三邊之間的關(guān)系、勾股定理、等腰三角形、相似三角形以及三角函數(shù)等知識(shí)，涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想等.解決它的關(guān)鍵是將它分解為基本題，可分解為如下一些基本題.

2 基本題

問題1在△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于點(diǎn)O，若OA=1，OB=3，求OC的長;

問題2已知兩直線l1，l2分別經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(－3，0)，并且當(dāng)兩條直線同時(shí)相交于y軸正半軸的點(diǎn)C時(shí)，恰好有l(wèi)1⊥l2，求點(diǎn)C的坐標(biāo);

問題3求經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(－3，0)，點(diǎn)C(0，)的拋物線的函數(shù)解析式;

問題4已知兩直線l1，l2分別經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(－3，0)，相交于點(diǎn)C(0，)，求直線l1，l2的函數(shù)解析式;

問題7已知△CKM，點(diǎn)C(0，)，K(－1，2)，M(－1，m)，請(qǐng)求出使△MCK為等腰三角形的m的值.

3 求解

(1)解法1由題易知△BOC∽△COA，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0).由題意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2+bx+，把A(1，0)，B(－3，0)分別代入y=ax2+bx+，得

解法2由勾股定理，得

(OC2+OB2)+(OC2+OA2)=BC2+AC2=AB2，

又∵OB=3，OA=1，AB=4，

∴OC=-，

∴ 點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0).

由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為

把C(0，)代入得a=－，

所以拋物線的函數(shù)解析式為

(2)解法1截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF，理由如下：

由此可求得點(diǎn)K的坐標(biāo)為(－1，2)，

點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－1，0)，

∴KD=DE=EF;

解法2截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF，理由如下：

由題意可知 Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，

(3)當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(－2,)，(－1，)時(shí)，△MCK為等腰三角形.理由是：

解法1(ⅰ)以點(diǎn)K為圓心，線段KC長為半徑畫圓弧，交拋物線于點(diǎn)M1，由拋物線對(duì)稱性可知點(diǎn)M1為點(diǎn)C關(guān)于直線x=－1的對(duì)稱點(diǎn)，所以點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(－2，)，此時(shí)△M1CK為等腰三角形;

(ⅱ)當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，線段CK長為半徑畫圓弧時(shí)，與拋物線交點(diǎn)為點(diǎn)M1和點(diǎn)A，而三點(diǎn)A，C，K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形;

(ⅲ)作線段KC的中垂線l，由點(diǎn)D是KE的中點(diǎn)，且l1⊥l2，可知l經(jīng)過點(diǎn)D，

解法2當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(－2，)，(－1，)時(shí)，△MCK為等腰三角形.理由如下：

(ⅰ)連接BK，交拋物線于點(diǎn)G，易知點(diǎn)G的坐標(biāo)為(－2，).

又因?yàn)辄c(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，)，則GC∥AB.

∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK為正三角形，

∴△CGK為正三角形，

∴當(dāng)l2與拋物線交于點(diǎn)G，即l2∥AB時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(－2，);

(ⅲ)當(dāng)點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右邊時(shí)，只有點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，滿足CM=CK，但點(diǎn)A，C，K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形.綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(－2，)，(－1，)時(shí)，△MCK為等腰三角形.

由上可見，解綜合題的基本方法就是把綜合題分解為單一的基本題，解決了這些單一的基本題，就可以它們?yōu)榛A(chǔ)，當(dāng)作零件，算成半成品或標(biāo)準(zhǔn)件，用到綜合題中去，進(jìn)行復(fù)合，就可以形成綜合題的解題思路.因此，在平時(shí)的教學(xué)中要通過典型試題的分析，幫助學(xué)生掌握將綜合題分解為基本題的方法與技巧，使學(xué)生能切實(shí)掌握，靈活應(yīng)用，以提高學(xué)生解綜合題的能力.