胡朝江，楊全法，李曉沖，袁有志

（北京航空技術研究中心，北京 100076）

最優(yōu)控制問題的計算方法很多，歸納起來，可以分為直接法和間接法兩大類[1]。直接法中的參數(shù)化就是通過把控制變量、狀態(tài)變量和時間參數(shù)化的方法來進行求解，這種方法具有簡單、直觀的特點。但參數(shù)化方法也存在很多不足之處，其中最重要的一點就是，利用參數(shù)化方法轉化得到的非線性規(guī)劃問題由于維數(shù)過高，求解難度較大，因此嚴重影響了這種算法的推廣應用。為此，有必要對該算法進行改進，從而使該算法更適合于求解最優(yōu)控制問題。

1 算法簡介

1.1 參數(shù)化算法求解最優(yōu)控制問題的思路

一般的最優(yōu)控制問題可描述為：確定隨時間而變化的容許控制向量，使得由一組非線性微分方程所描述的動力學系統(tǒng)由初始狀態(tài)0過渡到終端狀態(tài)f，并同時使某一性能指標J達到最小，如能量消耗最小，過渡時間最短等[1]。

參數(shù)化方法求解最優(yōu)控制問題的基本思路是將控制狀態(tài)的時間歷程參數(shù)化，從而得到一個高維非線性規(guī)劃子問題，通過對轉化而得的高維非線性規(guī)劃問題的求解，從而獲得對應的最優(yōu)控制問題的解。

由于對高維非線性規(guī)劃問題求解難度很大，因此影響了該算法的推廣使用。為此，經過分析認為，對一類最優(yōu)控制問題在對其參數(shù)進行離散化時，可以僅對其控制變量的時間歷程參數(shù)化，而不需對其狀態(tài)變量的時間歷程也參數(shù)化，就極大地降低了轉化而得的非線性規(guī)劃子問題的維數(shù)，從而使求解變得容易。

1.2 改進的參數(shù)化算法簡介

改進算法僅對控制變量參數(shù)進行離散化處理，而對狀態(tài)變量的值，在已知狀態(tài)初值和控制規(guī)律的情況下，則可通過積分動力學微分方程進行求解。因此，最優(yōu)控制問題就轉換成了以節(jié)點處的控制變量取值為變量的非線性規(guī)劃子問題，而動力學微分方程也轉換為以節(jié)點處的控制變量值為自變量的非線性約束條件?？紤]到將要求解的最優(yōu)控制問題的終端時間不給定，為此，由最優(yōu)控制理論可知，對應的泛函指標可采用下面的形式

式中：J為目標函數(shù)；x為狀態(tài)向量；u為控制向量；T為終端時間；L為x，u和時間t的標量函數(shù)。為此，對應的改進算法如下：

1.2.1 將終時不給定的最優(yōu)控制問題化為終時給定的最優(yōu)控制問題，方法是：

1）設終端時間T為可變參數(shù)，引入新的時間變量τ∈[0，1]，定義 t=Tτ；

2）引入增廣狀態(tài)變量及狀態(tài)方程：xn+1=TL（x，u，t），xn+1（0）=0，將目標泛函化為：min J=J[x（1）]，x（1）=[x1（1），…，xn（1），xn+1（1）]T。

1.2.2 將對應的最優(yōu)控制問題化為非線性規(guī)劃子問題，方法是：

1）將時間區(qū)間τ∈[0，1]m等分，得到m+1個節(jié)點；

2）引入一組向量 pi作為節(jié)點 τi，i=0，1，…，m-1處控制變量的估計值，節(jié)點之間控制變量值由相鄰兩點線性插值確定。

1.2.3 建立的非線性規(guī)劃子問題目標函數(shù)為

即此時的目標函數(shù)變成了以節(jié)點處的控制變量值pi和終端時間T為自變量的函數(shù)，其中控制和狀態(tài)變量滿足相應的約束條件。

1.2.4 求解相應的非線性規(guī)劃子問題

由于所轉化而成的非線性規(guī)劃子問題與同時離散狀態(tài)變量和控制變量時所轉化而成的非線性規(guī)劃子問題相比，所得的非線性規(guī)劃子問題的維數(shù)大幅降低，因而極大地降低了求解問題的維數(shù)，因此，用一般的非線性規(guī)劃問題求解方法就可以順利求解。對要求解的非線性規(guī)劃子問題，采用了序列二次規(guī)劃算法進行求解，求解的基本步驟如下[2]：

1）初始化：給定最優(yōu)控制問題的微分方程階數(shù)n，節(jié)點數(shù)m，控制變量階數(shù)q，狀態(tài)初值x0，狀態(tài)終值xf，控制變量在節(jié)點處的初始估計值，積分時間參數(shù)T估計值，控制變量及時間T的上、下限約束等；

2）梯度及函數(shù)計算：

計算函數(shù) x（1）及約束 x（1）-xf，這里=[p0，p1，…，pm-1，T]

3）求解二次規(guī)劃子問題的搜索方向△yk；

4）修正當前解 yk+1=yk+ △yk；

5）若當前解滿足誤差要求，則最佳解求出，停止計算。否則，若當前迭代次數(shù)小于最大迭代次數(shù)，則繼續(xù)迭代，否則，停止計算，計算失敗。

2 算例

低空風切變對飛機的飛行安全威脅很大[3]，為此利用改進算法求解了飛機在低空風切變中的最優(yōu)著陸軌跡控制問題。為了簡化問題的求解，假設飛機在鉛垂平面內運動，風場也作用在飛機運動的鉛垂平面內，則在風切變中的飛機質心運動方程可描述如下

方程中：m為飛機質量；g為重力加速度；V為飛行速度；P為發(fā)動機推力，為油門位移和飛行速度及高度的函數(shù)；Y、X分別為飛機升力、阻力，均為迎角、飛行速度、飛行高度及機翼面積的函數(shù)；θ為飛機下滑的軌跡角；α為飛機迎角；x、h為分別為飛機在水平和垂直方向的位移；ux，uy分別為風速在水平和垂直方向的分量。

風切變模型具有下面的形式[4]

式中：ux0和uy0分別表示水平和垂直風幅值；T0為穿越下沖暴流的總飛行時間。

飛機在風切變中著陸的最優(yōu)控制問題可描述為通過對迎角α和油門δp的適當控制，使飛機能夠穿越風切變區(qū)并安全著陸。飛機狀態(tài)變量初值和終值分別為

控制變量滿足的上下限約束條件

式中罰系數(shù)k的取法如下

風場強度取為（ux0，uy0）=（16 m/s，8 m/s）。

利用改進的參數(shù)化算法求解所得的結果如圖1～圖3所示。

圖1 迎角控制律Fig.1 Control law about AOA

圖2 油門控制律Fig.2 Control law about throttle

圖3 風切變中的飛行軌跡Fig.3 Flight path in wind shear

其中圖1為求得的迎角控制規(guī)律，圖2為求得的油門控制規(guī)律，圖3為相應的飛機在風切變中著陸的軌跡。圖3中虛線為正常無風情況下的著陸軌跡，點化線為風場強度為（ux0，uy0）=（0，2 m/s）時，仍按無風情況下進行控制的著陸軌跡，實線為風場強度為（16 m/s，8 m/s）時按改進算法求出的飛機在風切變中的著陸軌跡。由圖3的點劃線可知，當飛機遭遇風切變時，如不采取相應的控制方法，則即使遭遇較弱的風切變流場，飛機也很難安全著陸，主要表現(xiàn)為飛機提前接地。而由圖3的實線可知，如采取正確的控制方法，即使飛機遭遇較強的風切變，也可以保證安全著陸。同時該算例也說明，本文提出的最優(yōu)控制算法，可以順利求解一類最優(yōu)控制問題。

3 結語

最優(yōu)控制問題是航空航天以及國民經濟建設的許多領域都會面臨的問題，如何求解最優(yōu)控制問題是人們普遍關心的話題。已有的求解方法中，每種方法各有其利弊，本文針對直接求解方法的不足進行了必要的改進，改進后的算法一是大幅降低了轉換而得的非線性規(guī)劃子問題的維數(shù)，降低了問題的求解難度；二是縮短了求解最優(yōu)控制問題的時間，有利于實現(xiàn)實時最優(yōu)控制，三是有利于求解多控制變量問題。因此，通過改進，非常有利于參數(shù)化算法在求解最優(yōu)控制問題上的推廣應用。

[1]呂顯端.最優(yōu)控制理論基礎[M].北京：科學出版社，2008.

[2]張立衛(wèi).最優(yōu)化方法[M].北京：科學出版社，2010.

[3]胡朝江.大風機風切變告警系統(tǒng)[J].中國民航大學學報，2008，26（5）：23－25.

[4]MIELE A，WANG T.Optimal Landing Trajectories in the Presence of Windshear[J].Journal of optimization and applications，1988，58（2）：165－202.