胡學(xué)兵

（江蘇省淮陰中學(xué) 江蘇 淮陰 223002）

【原題】如圖1所示，傾角為α的等腰三角形底面固定在水平面上.一足夠長(zhǎng)的輕質(zhì)綢帶跨過(guò)斜面的頂端鋪放在斜面的兩側(cè)；綢帶與斜面間無(wú)摩擦.現(xiàn)將質(zhì)量分別為M，m（M＞m）的小物塊同時(shí)輕放在斜面兩側(cè)的綢帶上.兩物塊與綢帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)相等，且最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等.在α角取不同值的情況下，下列說(shuō)法正確的有

A.兩物塊所受摩擦力的大小總是相等

B.兩物塊不可能同時(shí)相對(duì)綢帶靜止

C.M不可能相對(duì)綢帶發(fā)生滑動(dòng)

D.m不可能相對(duì)斜面向上滑動(dòng)

從題目所給的信息，很難直接解決所問(wèn)的問(wèn)題.該題對(duì)學(xué)生的能力要求很高，對(duì)于難點(diǎn)的突破，筆者充分使用了假設(shè)法.希望以下的討論能夠得到同行的指教，發(fā)現(xiàn)其中不足，以共同提高.

圖1

1 必須理解的問(wèn)題

（1）輕質(zhì)綢帶：理想化的模型，綢帶中的張力沿綢帶方向處處相等.

（2）斜面模型：動(dòng)摩擦因數(shù)μ與斜面傾角α的關(guān)系決定了物體在斜面上如何運(yùn)動(dòng).

1）當(dāng)μ＜tanα，有mgsinα＞μmgcosα.物體沿斜面勻加速下滑，滑動(dòng)摩擦力f＝μmgcosα；

2）當(dāng)μ＝tanα，有mgsinα＝μmgcosα.物體沿斜面勻速下滑或靜止，摩擦力f＝μmgcosα＝mgsinα；

3）當(dāng)μ＞tanα，有mgsinα＜μmgcosα.物體靜止在斜面上，靜摩擦力f＝mgsinα.

（3）物體在綢帶上，與綢帶的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，存在以下幾種可能：

1）當(dāng)μ＜tanα，有mgsinα＞μmgcosα，物體與綢帶運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，相對(duì)斜面勻加速下滑；

2）當(dāng)μ＝tanα，有mgsinα＝μmgcosα，物體與綢帶運(yùn)動(dòng)方向有關(guān)，相對(duì)斜面沿斜面加速下滑或靜止；

3）當(dāng)μ＞tanα，有mgsinα＜μmgcosα，物體相對(duì)綢帶靜止，相對(duì)斜面沿斜面（向上或向下）運(yùn)動(dòng)或靜止.

2 假設(shè)法分析

（1）假設(shè)1：當(dāng)動(dòng)摩擦因數(shù)μ＜tanα，有mgsinα＞μmgcosα，物體與綢帶運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，相對(duì)斜面勻加速下滑.假設(shè)三種可能：

1）M，m均相對(duì)斜面勻加速下滑且綢帶不動(dòng)；

2）M，m均相對(duì)斜面勻加速下滑且綢帶隨M一起運(yùn)動(dòng)；

3）M，m均相對(duì)斜面勻加速下滑且綢帶隨m一起運(yùn)動(dòng).

上述三種情況1）中，兩個(gè)物體與綢帶間的摩擦力均為滑動(dòng)摩擦力，則綢帶兩端所受的摩擦力分別為μMgcosα，μmgcosα，與輕質(zhì)綢帶中的張力處處相等矛盾，故不成立.2）中，兩個(gè)物體的與綢帶間的摩擦力分別為靜摩擦力、滑動(dòng)摩擦力，則綢帶與m之間的摩擦力為μmgcosα，與M之間的摩擦力在零至μMgcosα區(qū)間內(nèi).只要兩端的摩擦力相等就可以成立；而μmgcosα在區(qū)間內(nèi)，故成立.3）中，兩個(gè)物體的與綢帶間的摩擦力分別為滑動(dòng)摩擦力、靜摩擦力，則綢帶與M之間的摩擦力為μMgcosα，與m之間的摩擦力在零至μmgcosα區(qū)間內(nèi)；而μMgcosα不在區(qū)間內(nèi)，故不成立.

總之，當(dāng)μ＜tanα，M與綢帶一起沿斜面勻加速下滑，m相對(duì)斜面勻加速下滑，相對(duì)綢帶運(yùn)動(dòng).

（2）假設(shè)2：當(dāng)動(dòng)摩擦因數(shù) ＝tanα，有mgsinα＝μmgcosα，物體與綢帶運(yùn)動(dòng)方向有關(guān)，相對(duì)斜面沿斜面加速下滑或靜止.假設(shè)三種可能：

1）M，m均相對(duì)斜面靜止且綢帶不動(dòng)；

2）M相對(duì)斜面加速下滑，m待定；

3）M相對(duì)斜面靜止，m待定.

上述的三種情況1）中，兩個(gè)物體與綢帶間的摩擦力均為靜摩擦力，則綢帶兩端所受的摩擦力分別為Mgsinα，mgsinα，與輕質(zhì)綢帶中的張力處處相等矛盾，故不成立.2）中，M與綢帶間的摩擦力必有f＜Mgsinα＝μMgcosα，即靜摩擦，故m與綢帶之間的摩擦力為μmgcosα，存在f＝μmgcosα，故成立.3）中，M與綢帶間的摩擦力為Mgsinα＝μMgcosα，而m與綢帶之間的摩擦力在零至μmgcosα區(qū)間內(nèi)，而μMgcosα不在區(qū)間內(nèi)，故不成立.

總之，當(dāng)μ＝tanα，M與綢帶一起沿斜面勻加速下滑，m相對(duì)斜面靜止.

（3）假設(shè)3：當(dāng)動(dòng)摩擦因數(shù)μ＞tanα，有mgsinα＜μmgcosα，物體相對(duì)斜面沿斜面向上或沿斜面向下或靜止，物體相對(duì)綢帶靜止.假設(shè)三種可能：

1）M，m相對(duì)斜面均靜止；

2）M相對(duì)斜面沿斜面向上加速，且M，m均相對(duì)綢帶靜止；

3）M相對(duì)斜面沿斜面向下加速，且M，m均相對(duì)綢帶靜止.

上述的三種情況1）中，兩個(gè)物體與綢帶間的摩擦力均為靜摩擦力，則綢帶兩端所受的摩擦力分別為Mgsinα，mgsinα，與輕質(zhì)綢帶中的張力處處相等矛盾，故不成立.2）中，M與綢帶間的摩擦力要大于Mgsinα，而m與綢帶之間的摩擦力要小于mgsinα，兩端的摩擦力不可能相等，故不成立.3）中，M與綢帶間的摩擦力要小于Mgsinα，而m與綢帶之間的摩擦力要大于mgsinα，故兩端的摩擦力可能相等，所以假設(shè)成立.

總之，當(dāng)μ＞tanα，M與綢帶一起沿斜面勻加速下滑，m相對(duì)斜面沿斜面勻加速向上運(yùn)動(dòng)，且相對(duì)綢帶靜止.

綜上分析，M與綢帶相對(duì)靜止，m與綢帶相對(duì)靜止或相對(duì)運(yùn)動(dòng)，故選項(xiàng)A，C正確.

此題比較新穎，筆者覺(jué)得很適合利用假設(shè)法去突破.如果能夠這樣給學(xué)生講解，想必會(huì)給教學(xué)帶來(lái)很好的效果.