管秋琴
(上海電力學院數(shù)理學院 中國 上海 200090)
半幻方矩陣是一類比較特殊的矩陣,首先我們給出它的定義.
定義:如果一個n階矩陣的每行上各元素之和以及每列上各元素之和都相等,那么稱它為半幻方矩陣.
我們把數(shù)域F上的n階矩陣全體記為Fn×n,那么它對于矩陣的加法和矩陣的數(shù)乘,構(gòu)成數(shù)域F上一個向量空間[1],而其中的n階半幻方矩陣的全體構(gòu)成它的一個子集,記為Sn.
下面定理說明集合Sn是一個向量空間.
定理:n階半幻方矩陣Sn是一個向量空間.
證明:因為零矩陣0∈Sn,所以Sn是的非空子集.設(shè)A=(aij)n×n∈Sn,B=(bij)n×n∈Sn,易得 A+B=(aij+bij)n×n∈Sn,所以得到集合 Sn關(guān)于加法封閉.另一方面 λA=(λaij)n×n∈Sn,所以Sn關(guān)于數(shù)乘也封閉,因此,Sn是 Fn×n的子空間.
對于三階半幻方矩陣[2]我們知道它的維數(shù)是5,接下來我們討論四階半幻方矩陣S4,首先S4是F4×4上的子空間.
下面我們給出S4的基與維數(shù).
式:x=(x11,x12,x13,x14,x21,x22,x23,x24,x31,x32,x33,x34,x41,x42,x43,x44)T,則 x 是線性方程組的解.則方程組的系數(shù)矩陣為
經(jīng)過初等行變換得到:
這里 x22,x23,x24,x32,x33,x34,x41,x42,x43,x44為自由變量.因此線性方程組的基礎(chǔ)解系對應的矩陣即為S4的基.所以S4的基為
[1]同濟大學應用數(shù)學系.線性代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]邱森.線性代數(shù)探索性課題精編[M].武漢:武漢大學出版社,2011.