冷暢儉，王正中

（西北農(nóng)林科技大學水工程安全與病害防治研究中心，陜西楊凌 712100）

三次拋物線形渠道斷面收縮水深的計算公式

冷暢儉，王正中

（西北農(nóng)林科技大學水工程安全與病害防治研究中心，陜西楊凌 712100）

三次拋物線形斷面渠道收縮水深的計算需求解高次隱函數(shù)方程，不容易求解，傳統(tǒng)的圖解法或者試算法計算過程復雜，精度較低，不便于工程實際應用。通過對三次拋物線形斷面渠道收縮水深的基本方程進行適當處理，得到了快速收斂的迭代公式，再與合理的迭代初值配合使用，得到三次拋物線形渠道斷面收縮水深的計算公式。誤差分析及實例計算表明，在一般工程常用范圍內(nèi)，收縮水深的最大相對誤差僅為0．16，計算公式形式較簡捷、精度較高、適用范圍比較廣。

三次拋物線；渠道；收縮水深；計算

1 概 述

近十多年來，在渠道的臨界水深和正常水深計算方面取得了重要成果［1－8］，在收縮水深計算方面成果亦不少，尤其是矩形斷面、梯形斷面和圓形斷面已有多種計算公式［9－14］，而拋物線形斷面渠道的研究文獻相對較少。文獻［15］對半立方拋物線形斷面渠道收縮水深進行擬合得到近似計算公式，而文獻［16，17，18］分別給出了二次拋物線的解析式及近似公式，但對三次拋物線形渠道收縮水深的研究還沒有文獻報道。三次拋物線渠道斷面與二次拋物線形相比，斷面更接近喇叭口形U形斷面，渠道輪廓線形流暢，水流條件更好，且具有抗凍脹優(yōu)點，在水利水電以及灌溉排水工程中廣泛應用。但其收縮水深的基本方程為高次隱函數(shù)方程，對于工程設計人員來說不容易求解，通常使用的試算法、圖解法十分繁瑣，而且精度不高，為此，該文從三次拋物線形斷面渠道收縮水深的基本方程入手進行分析，通過對收縮水深基本方程進行適當變形處理，試圖得到收縮水深的快速收斂的迭代公式，再根據(jù)優(yōu)化擬合原理來取得迭代計算的合理初值，使迭代計算的收斂速度更快。通過迭代公式與合理初值的聯(lián)合運用，期望得到收縮水深的直接計算公式，以滿足工程設計需要。

2 渠道收縮水深的迭代公式

渠道收縮水深的基本方程為［19］

式中：E0為以收縮斷面底部為基準面的泄水建筑物上游總水頭（m）；hc為收縮斷面水深（m）；Q為下泄流量（m3／s）；g為重力加速度（m／s2）；φ為流速系數(shù)；Ac為三次拋物線形渠道斷面面積（m2）。

設三次拋物線形斷面的曲線方程為

其斷面如圖1所示。

圖1 三次拋物線形渠道斷面Fig．1 Channel cross section w ith cubic parabola

則三次拋物線渠道過水斷面面積為

設無量綱收縮水深

將式（3）、（4）代入式（1）中，并整理得

設式（5）中

則得三次拋物線形渠道斷面無量綱收縮水深α的迭代方程

3 迭代公式的收斂性證明

根據(jù)迭代理論［20］，方程x＝φ（x）的一個根為L，則迭代公式xi＋1＝φ（xi）收斂于L的條件是：在L的某一鄰域︱x－L︱＜δ內(nèi)︱φ＇（x）︱＜1，那么以該鄰域內(nèi)任一點為初值的迭代都收斂于L，因此，只要證明以上迭代函數(shù)的導數(shù)絕對值小于1，就可以證明該迭代函數(shù)是收斂的。

由式（7）得：

設

則

對式（10）求一階導數(shù)得

將式（8）代入式（11）得

因為0＜α≤0．5，所以

根據(jù)迭代理論［20］，迭代式（7）對任意正數(shù)α均收斂。

4 迭代初值及收縮水深的計算公式

眾所周知，對于迭代計算式來說，迭代式收斂速度的快慢主要取決2個因素，一是迭代函數(shù)，二是迭代初值，合理的迭代初值是迭代計算快速收斂的關鍵因素之一。

在α∈［0．01，0．5］范圍內(nèi)，對式（7）進行優(yōu)化計算，得到式（7）的近似替代方程式

其中：

解一元二次方程式（14）得無量綱收縮水深初值

根據(jù)式（16）計算結(jié)果，由式（4）、（7）得三次拋物線形斷面到收縮水深的直接計算公式

5 計算公式的誤差分析

在工程常用范圍內(nèi)，給出無量綱收縮水深α＝0．01～0．5的值，根據(jù)式（8）、（15）、（16）、（7）再反求無量綱收縮水深及其相對誤差。為簡明起見，本文僅列出誤差分析的部分值，結(jié)果見圖2、圖3，橫坐標為無量綱收縮水深α，縱坐標為收縮水深的相對誤差。

圖2 初值誤差Fig．2 The error of initial value

圖3 迭代一次誤差Fig．3 The error of once iteration

從圖2和圖3誤差分析可知，在α∈（0，0．5］，無量綱收縮水深初值的最大相對誤差e＜0．43%，迭代一次收縮水深的相對誤差小于0．16%。

6 應用舉例

已知閘前斷面總水頭E0＝15 m，通過流量Q＝162 m3／s，流速系數(shù)φ＝0．95，若采用三次拋物線形斷面渠道，其方程為求閘后斷面收縮水深hc。

依次由式（6），（15），（16），（4），求得hc＝3．000 352 m，本例收縮水深的精確解為3．003 480 m，用初值公式求得的收縮水深的相對誤差為－0．104%。

為了更準確，可將α0代入式（17）中得：

經(jīng)迭代一次計算，收縮水深的相對誤差僅為－0．010%，精度均滿足工程要求。

7 結(jié) 論

通過對收縮水深基本方程的變形處理，得到收縮水深的迭代計算公式，再根據(jù)優(yōu)化原理對迭代方程進行優(yōu)化計算取得迭代方程的替代方程，替代方程的解即為迭代方程的初值。在水利工程中，一般誤差小于1%時即可滿足工程要求，而該公式初值的最大誤差為0．43%，迭代一次最大誤差小于0．16%，工程設計人員可根據(jù)具體情況應用公式。誤差分析和應用舉例表明，提出的計算公式在工程常用范圍內(nèi)精度很高，而且計算公式簡單，適用范圍也比較廣，完全滿足工程實際要求。該公式的提出，對采用三次拋物線形斷面渠道收縮水深的計算提供了簡捷方便的途徑。

［1］ WANG Zheng-zhong．Formula for Calculating Critical Depth of Trapezoidal Open Channel［J］．Hydr Eng，ASCE，1998，124（1）：90－92．

［2］ SWAMEE PK，RATHIE PN．Exact Equations for Criti-cal Depth in Trapezoidal Canal［J］．Irrig Drain Eng，2005，131（5）：474－476．

［3］ PRABHATA K S，WU S，KATOPODISC．Formula for Calculating Critical Depth of Trapezoidal Open Channel［J］．Hydr Engrg，1999，125（7）：785－786．

［4］ SRIVASTAVA Rajesh．Exact Solutions for Normal Depth Problem［J］．Journal of Hydraulic Research，2006，44（3）：427－428．

［5］ SWAMEE P K，RATHIE P N，Achour B，et al．Exact Solutions for Normal Depth Problem［J］．Journal of Hy-draulic Research，2006，44（5）：715－717．

［6］ SWAMEE P K，RATHIE P N．Exact Solutions for Nor-mal Depth Problem［J］．Journal of Hydraulic Re-search，2004，42（5）：541－547．

［7］ MOHAMMED A I Y．Computation of Normal Depth in Open Channels［J］．Engineering Journal of University of Qatar，1998，11：133－151．

［8］ KANANI1 A，BAKHTIARIM，BORGHEI SM，et al．Evolutionary Algorithms for the Determination of Critical Depths in Conduits［J］．Irrig and Drain Engrg，ASCE，2008，134（6）：847－852．

［9］ 王正中，雷天朝，宋松柏，等．梯形斷面收縮水深計算的迭代法［J］．長江科學院院報，1997，14（3）：15－18．（WANG Zheng-zhong，LEI Tian-chao，SONG Song-bai，et al．An Iterative Method Calculating Water Depth at Vena Contraction in Trapezoidal Cross Section［J］．Journal of Yangtze River Scientific Research Insti-tute，1997，14（3）：15－18．（in Chinese））

［10］王正中，雷天朝．矩形斷面收縮水深簡捷計算公式［J］．人民長江，1996，27（9）：45－46．（WANG Zheng-zhong，LEITian-chao．A Formula for Quickly Cal-culatingWater Depth at Vena Contraction in Rectangular Channel Flow［J］．Yangtze River，1996，27（9）：45－46．（in Chinese））

［11］趙延風，王正中，蘆 琴．梯形斷面收縮水深的直接計算公式［J］．農(nóng)業(yè)工程學報，2009，25（8）：24－27．（ZHAO Yan-feng，WANG Zheng-zhong，LU Qin．For-mula for Direct Calculation of Contracted Depth of Chan-nelwith Trapezoidal Section［J］．Transactions of the Chi-nese Society of Agricultural Engineering，2009，25（8）：24－27．（in Chinese））

［12］趙延風，王正中，孟秦倩．無壓流圓形斷面收縮水深的近似計算公式［J］．三峽大學學報（自然科學版），2009，31（1）：6－8．（ZHAO Yan-feng，WANG Zheng-zhong，MENG Qin-qian．An Approximate Calculation Formula of Contracted Water Depth in Free Flow Circular Cross-Section［J］．Journal of China Three Gorges Univer-sity（Natural Sciences），2009，31（1）：6－8．（in Chi-nese））

［13］趙延風，王正中，孟秦倩．矩形斷面收縮水深的直接計算方法［J］．人民長江，2008，39（8）：102－103．（ZHAO Yan-feng，WANG Zheng-zhong．MENG Qin-qian．Formula for Direct Calculation of Contracted Depth of Rectangular Channel［J］．Yangtze River，2008，39（8）：102－103．（in Chinese））

［14］劉善綜．矩形收縮斷面水深三角公式［J］．江西水利科技，1998，24（1）：40－41．（LIU Shan-zong．Trigono-metric Formulas for Calculation of Contracted Depth of Rectangular Channel［J］．Jiangxi Hydraulic Science＆Technology，1998，24（1）：40－41．（in Chinese））

［15］文 輝，李風玲．立方拋物線斷面渠道收縮水深的直接計算方法［J］．人民長江，2009，40（13）：58－59．（WEN Hui，LIFeng-ling．Formula for Direct Calculation of Contracted Depth of Cubic Parabola Channel［J］．Yangtze River，2009，40（13）：58－59．（in Chinese））

［16］文 輝，李風玲．拋物線形斷面渠道收縮水深的解析解［J］．長江科學院院報，2009，26（9）：32－33．（WEN Hui，LI Feng-ling．Analytical Solution of Water Depth in Parabolic-Shaped Channel with Contracted Sec-tion［J］．Journalof Yangtze River Scientific Research In-stitute，2009，26（9）：32－33．（in Chinese））［17］蘆 琴，王正中，任武剛．拋物線形渠道收縮水深簡捷計算公式［J］．干旱地區(qū)農(nóng)業(yè)研究，2007，25（2）：134－136．（LU Qin，WANG Zheng-zhong，RENWu-gang．A Formula for Quickly CalculatingWater Depth at Vena Con-traction in Parabola Form Channel［J］．Agricultural Re-search in the Arid Areas，2007，25（2）：134－136．（in Chinese））

［18］趙延風，宋松柏，孟秦倩．拋物線形斷面渠道收縮水深的直接計算方法［J］．水利水電技術，2008，39（3）：36－37．（ZHAO Yan-feng，SONG Song-bai，MENG Qin-qian．A Direct Calculation Method forWater Depth in Par-abolic-Shaped Channelwith Contracted Section［J］．Water Resources and Hydropower Engineering，2008，39（3）：36－37．（in Chinese））

［19］清華大學主編．水力學（修訂本）上冊［M］．北京：高等教育出版社，1980．（Tsinghua University．Hydraulics

［M］．Beijing：Higher Education Press，1980．（in Chi-nese））

［20］關 治，陳景良．數(shù)值計算方法［M］．北京：清華大學出版社，1990．（GUAN Zhi，CHEN Jing-liang．Value Computational Method［M］．Beijing：Tsinghua University Press，1990．（in Chinese） ）

（編輯：劉運飛）

Formula for Calculating Contracted W ater Depth of Channel w ith Cubic Parabola Cross Section

LENG Chang-jian，WANG Zheng-zhong
（Research Center ofWater Engineering Safety and Disaster Prevention，Northwest A＆F University，Yangling Shaanxi 712100，China）

The equation for calculating contracted water depth of a channel with cubic parabola cross section is a higher order implicit function equation which is not easy to solve．Due to the complex computation process and low-er precision of calculation result，neither traditional graphicmethod nor trial calculation approach is convenient for practical application．In this paper，iterative formula with fast convergence for computing contracted water depth of a channel with cubic parabola cross section was obtained through proper transformation on basic equation．The iter-ative formula combined with rational initial iteration value was developed for calculating contracted water depth of a channel with cubic parabola cross section．Error analysis and calculation example indicate that，within the general engineering range，themaximum relative error of this formula is only 0．16%．The formula in this paper can pro-vide a wide application with its simple form and relatively higher precision．

cubic parabola；channel；contracted water depth；calculation

TV131．4

A

1001－5485（2011）04－0029－03

2010-05-25

國家“863”高技術研究與發(fā)展計劃項目（2002AA62Z3191）；陜西省水利科技專項計劃項目（2006－01）

冷暢儉（1966-），男，四川大竹人，研究員，博士研究生，主要從事農(nóng)業(yè)水土工程研究，（電話）029-87080009（電子信箱）lengcj2000＠yahoo．cn。

王正中（1963-），男，陜西彬縣人，教授，博士生導師，從事水工水力學研究，（電話）029-87082980（電子信箱）wangzz0910＠yahoo．com．cn。