褚東升,劉 祺,張 玲

(中國海洋大學(xué)工程學(xué)院,山東青島266100)

轉(zhuǎn)移矩陣未知時帶乘性噪聲系統(tǒng)的自適應(yīng)濾波算法

褚東升,劉 祺,張 玲

(中國海洋大學(xué)工程學(xué)院,山東青島266100)

針對帶乘性噪聲系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣未知的情況,提出1種在線性最小方差意義下的系統(tǒng)參數(shù)和狀態(tài)聯(lián)合濾波算法。以迭代方式獲得模型參數(shù)和系統(tǒng)狀態(tài)的遞推估計:首先,利用之前時刻的狀態(tài)估計值,根據(jù)投影定理,對系統(tǒng)未知參數(shù)即系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣作出估計;其次,利用已得到的系統(tǒng)參數(shù)估計值,獲取當(dāng)前時刻的狀態(tài)濾波。計算機仿真結(jié)果表明了算法的有效性。

乘性噪聲;轉(zhuǎn)移矩陣;自適應(yīng)濾波;線性最小方差估計

自Kalman濾波方法提出以來,在信號估計領(lǐng)域取得了眾多的理論成果,并在空間技術(shù)、通訊、導(dǎo)航等許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3]。但在使用Kalman濾波解決實際問題時的1個很大限制是必須預(yù)先知道模型的參數(shù)或其統(tǒng)計性質(zhì),如系統(tǒng)初始值、各模型參數(shù)矩陣、噪聲的統(tǒng)計特性等。而實際中這些參數(shù)往往是未知的,或近似已知的,或部分已知的:這常常導(dǎo)致大的狀態(tài)估計誤差,甚至?xí)篂V波器發(fā)散[1]。因此,對自適應(yīng)Kalman濾波的研究十分必要。另外,在許多實際觀測過程中,如石油地震勘探、通訊工程、語音處理等,往往需要考慮系統(tǒng)的時變性、非線性畸變、能量衰減等各種復(fù)雜甚至不確定因素。這些因素在數(shù)學(xué)上可以近似歸結(jié)為乘性噪聲[4]。此類估計問題的難點在于,由于乘性噪聲的引入,系統(tǒng)量測方程不再是線性的。近年來,這種帶乘性噪聲系統(tǒng)的濾波問題已經(jīng)引起人們的極大關(guān)注[4-8]。

目前,針對不帶乘性噪聲隨機線性系統(tǒng)的自適應(yīng)濾波算法的理論與應(yīng)用研究已經(jīng)取得了較豐富的成果[9-14],其中,文獻[11]討論了當(dāng)系統(tǒng)模型矩陣、噪聲方差矩陣和初值向量中含有未知參向量時的線性估計。文獻[12]討論了狀態(tài)空間規(guī)范形式下轉(zhuǎn)移矩陣與控制矩陣含有未知參數(shù)時的參數(shù)估計和聯(lián)合濾波。文獻[13]給出了一種將未知參數(shù)作為擴展狀態(tài),借助非線性濾波對狀態(tài)空間模型進行線性化處理,并利用擴展Kalman濾波對模型轉(zhuǎn)移矩陣進行估計的方法。但該方法只適用于轉(zhuǎn)移矩陣為單常數(shù)的情況,且是在不帶乘性噪聲的條件下進行的。文獻[14]給出了控制矩陣和初值含未知參向量時情況下的估計公式,并給出了嚴格的證明。

在帶乘性噪聲系統(tǒng)自適應(yīng)濾波的研究上,文獻[6]提出了1種參數(shù)和狀態(tài)預(yù)報估計的兩段互耦式算法,并以石油勘探領(lǐng)域中的地震道模型為例,對其參數(shù)辨識方法進行了詳細推導(dǎo)。文獻[17]對帶乘性噪聲系統(tǒng)在乘性噪聲及其統(tǒng)計參數(shù)未知的情況下,基于極大似然準則,提出了1種分塊組合優(yōu)化估計算法。

本文將針對帶乘性噪聲系統(tǒng),研究狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的遞推估計方法及其系統(tǒng)狀態(tài)濾波。

1 問題描述

對于帶乘性噪聲的離散隨機系統(tǒng),其狀態(tài)空間表達的一般形式是:

其中x(k)為n維狀態(tài)向量,z(k)為q維觀測向量, w(k)為h維動態(tài)噪聲,v(k)為q維觀測噪聲。A∈Rn×n為未知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,B∈Rn×n、C∈Rq×n分別為相應(yīng)維數(shù)的常值矩陣;m(k)為一維乘性噪聲。對任意整數(shù)k≥0,j≥0,滿足以下假設(shè)條件:

假設(shè)1 E{w(k)}=0,E{w(k)wT(j)}=Q(k)δkj;

假設(shè)2 E{v(k)}=0,E{v(k)vT(j)}=R(k)δkj;

假設(shè)3 E{m(k)}=￣m,E{[m(k)-￣m][m(j)-￣m]T}= σ(k)δkj;

假設(shè)4 E{x(0)}=0,E{x(0)xT(0)}=S(0);

假設(shè)5 {m(k)}、{w(k)}、{v(k)}及{x(0)}相互統(tǒng)計獨立。

2 一類線性模型的線性最小方差估計算法

古典最小二乘法是最為常用的參數(shù)辨識方法,且在一定條件下,加權(quán)最小二乘估計即等價于線性最小方差估計[13]。下面利用這種等價關(guān)系,以引理的形式給出一類線性模型的線性最小方差估計算法。

引理1[13]對于如下線性模型:

其中Z(k)為量測向量,G(k)為相應(yīng)維數(shù)的已知矩陣, J(k)為未知參向量,ε(k)為隨機噪聲向量且ε(k)相互獨立即E{ε(k)}=0,E{ε(k)εT(j)}=V(k)δkj。

有J(k)的線性最小方差無偏估計為:

本文將在以上引理的基礎(chǔ)上,對系統(tǒng)(1)和(2)中的未知轉(zhuǎn)移矩陣A進行估計,并利用所得結(jié)果計算系統(tǒng)狀態(tài)濾波值。

另外,在估計系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣時,需要用到上一時刻系統(tǒng)狀態(tài)濾波值,因此,在這里以引理的形式不加證明的給出帶乘性噪聲系統(tǒng)的濾波遞推式。

引理2[4]滿足假設(shè)條件1～5的系統(tǒng)(1)和(2),有如下在線性最小方差意義下的狀態(tài)濾波遞推算法:

狀態(tài)濾波估計

^x(k)=^x(k/k-1)+K(k)(z(k)-￣mC^x(k/k-1))

增益矩陣

K(k)=￣m(k)P(k/k-1)CTR-1L(k)

新息方差陣

RL(k)=R(k)+￣m2CP(k/k-1)CT+σ(k)CS(k)CT

狀態(tài)相關(guān)矩陣

S(k)=A(k/k-)S(k-1)AT(k/k-1)+BQ(k-1)BT

濾波誤差方差陣為

P(k)=P(k/k-1)-￣mK(k)CP(k/k-1)

狀態(tài)一步預(yù)測

^x(k/k-1)=A(k/k-1)^x(k/k-1)

一步預(yù)測誤差方差矩陣

P(k/k-1)=A(k/k-1)P(k-1)AT(k/k-1)+BQ(k-1)BT

初始值^x(1/0)=0,P(1/0)=S(0)。

3 帶乘性噪聲系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣未知時的自適應(yīng)濾波算法

下面利用之前給出的2個引理,給出線性最小方差意義下,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的遞推估計算法。定理 考慮系統(tǒng)(1)、(2),若系統(tǒng)滿足假設(shè)條件1～5,則有系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣在線性最小方差意義下的如下遞推估計算法。

證明 首先,對(1)式進行改寫:

其中,Vec(A)是對矩陣A按列向量依次排成的向量,即矩陣向量化運算[15]。

將(8)式代入(2)式得

其中,“?”即為矩陣的Kronecker乘積運算[15]。

在(9)式中,令H(k)=mT(k)x(k-1)=m(k)x(k-1)

根據(jù)投影定理[16]有

其中^x(k-1)由引理2的狀態(tài)濾波遞推式得到。

將(10)式代入(9)式得

為證明方便,令

其中,^L(k)已知,Vec(A)為未知參向量,ξ(k)為噪聲向量。

將(12)式與(3)式類比,由(4)式可得未知參向量Vec(A)的線性最小方差無偏估計如下:

為方便利用計算機計算,將(13)式化作像Kalman濾波那樣逐步遞推的形式[11]

取k=1,2,…,n,合并寫作

此即(5)式。

用(20)式替換(17)式中相關(guān)項,即得(7)式。

至此,定理證畢。

將由以上定理得出的轉(zhuǎn)移矩陣估計值代入引理2,即可對(1)和(2)式所描述的帶乘性噪聲系統(tǒng)進行狀態(tài)濾波估計,得到的濾波值用于下一時刻對狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的估計運算,即兩者互為條件。如此遞推下去,即得到系統(tǒng)狀態(tài)濾波與狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的迭代濾波算法。

4 數(shù)值仿真

針對(1)和(2)式所描述的帶乘性噪聲系統(tǒng)模型,作者對本文提出的轉(zhuǎn)移矩陣未知情況下的狀態(tài)濾波算法進行了大量的仿真研究,并且下面以狀態(tài)向量為二維的系統(tǒng)為例,給出仿真結(jié)果。各參數(shù)設(shè)置如下:

圖1 二維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣各元素估計值Fig.1 The estimate of the elements of the transfer matrix

圖2 狀態(tài)第一個分量的濾波Fig.2 The filtering of the first state component

圖3 狀態(tài)第二個分量的濾波Fig.3 The filtering of the second state component

在每一時刻,基于上一時刻的濾波結(jié)果,估計當(dāng)前時刻轉(zhuǎn)移矩陣,并利用所得估計值,對系統(tǒng)當(dāng)前時刻狀態(tài)進行濾波估計。仿真效果如圖1～3所示。圖1中,對轉(zhuǎn)移矩陣的估計很快趨于穩(wěn)定,為便于更清晰的進行觀察,在這里只取前一半時刻的估計結(jié)果。

5 結(jié)語

本文針對1種轉(zhuǎn)移矩陣未知情況下的帶乘性噪聲系統(tǒng),在其狀態(tài)濾波估計的基礎(chǔ)上,給出了轉(zhuǎn)移矩陣在線性最小方差意義下的估計算法,并將算法化作了便于計算機實現(xiàn)的遞推形式,實現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)濾波與狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣之間的迭代估計,從而形成了帶乘性噪聲系統(tǒng)在狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣未知情況下的1種自適應(yīng)濾波算法。仿真結(jié)果表明了算法的有效性。

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Abstract: In the sense of linear minimum-variance,this paper develops a corresponding recursive algorithm for stochastic linear systems with multiplicative noise whose transfer matrix is unknown.That is to say,estimations of parameters and states are obtained by the way of iteration.First,according to projection theorem,the system parameters are estimated by the using of the state estimation of previous moment.Then,based on the estimation of the system parameters,the optimal filtering of the current moment is obtained.Simulations are illustrated to show the validity of the algorithms.

Key words: multiplicative noise;transfer matrix;adaptive filtering;linear minimum-variance estimation

責(zé)任編輯 陳呈超

Adaptive Estimation Algorithm for Systems with Multiplicative Noise and Unknown Transfer Matrix

CHU Dong-Sheng,LIU Qi,ZHANG Ling
(College of Engineering,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

TP31

A

1672-5174(2011)06-115-05

國家自然科學(xué)基金項目(60704023)資助

2010-10-26;

2010-12-16

褚東升(1956-),男,教授。E-mail:chuds@yahoo.cn