劉方亮，劉井泉，劉 偉

（1.清華大學(xué) 工程物理系，北京 100084；2.國(guó)家核電技術(shù)公司，北京 100029）

自1991年12月15日秦山核電站首次并網(wǎng)發(fā)電以來(lái)，我國(guó)核電已有近20年的運(yùn)行經(jīng)驗(yàn)。隨著運(yùn)行時(shí)間的增加，電站的系統(tǒng)、構(gòu)筑物和關(guān)鍵部件（SSCs）等出現(xiàn)不同程度的老化退化問(wèn)題，需制定相應(yīng)的電站維修更換策略，以保證電站能長(zhǎng)期安全、經(jīng)濟(jì)地運(yùn)行。設(shè)備部件失效數(shù)據(jù)的處理是制定以可靠性為中心的維修（RCM）和壽期管理（LCM）等維修策略的基礎(chǔ)。通過(guò)數(shù)據(jù)處理得到更準(zhǔn)確的可靠性參數(shù)，是保證維修策略安全性和經(jīng)濟(jì)性的一個(gè)重要途徑［1］。

國(guó)內(nèi)電站設(shè)備的可靠性參數(shù)一般通過(guò)行業(yè)通用數(shù)據(jù)和電站自身失效信息的融合處理來(lái)得到。由于核電站的非能動(dòng)機(jī)械部件具有較長(zhǎng)的設(shè)計(jì)壽命，在對(duì)運(yùn)行積累的故障記錄進(jìn)行處理的過(guò)程中會(huì)面臨一些問(wèn)題，例如失效樣本過(guò)少、設(shè)備檢查信息不能直接被利用、維修引起的可靠度變化等。目前采用的統(tǒng)計(jì)學(xué)處理方法會(huì)帶來(lái)明顯的系統(tǒng)誤差，需要一種更為科學(xué)的方法進(jìn)行處理。

本工作針對(duì)核電站失效數(shù)據(jù)處理過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，引入可修復(fù)系統(tǒng)模型和貝葉斯小樣本方法，綜合給出一種更為科學(xué)的處理核電站失效數(shù)據(jù)的流程。

1 核電廠常見(jiàn)設(shè)備失效數(shù)據(jù)

以國(guó)內(nèi)某核電站定子冷卻水泵機(jī)械密封為例，通過(guò)整理某核電站4個(gè)機(jī)組8臺(tái)設(shè)備的工作票記錄，結(jié)合設(shè)備投運(yùn)時(shí)間等信息可得到表1所列的失效統(tǒng)計(jì)結(jié)果［2］。

同傳統(tǒng)的可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)相比，核電站運(yùn)行積累的失效數(shù)據(jù)有以下3個(gè)特點(diǎn)：1）每次故障記錄的起始時(shí)間不同、包含未發(fā)生故障的時(shí)間數(shù)據(jù)，單獨(dú)通過(guò)故障間隔時(shí)間來(lái)處理會(huì)丟失一部分信息；2）某一設(shè)備可能記錄到多次故障，需考慮故障間維修操作引起的可靠度變化而導(dǎo)致的數(shù)據(jù)分布不再獨(dú)立；3）失效次數(shù)較少，表1共記錄到9次故障，傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法可信度降低。

實(shí)際上，對(duì)于核電站大多機(jī)械部件，由于設(shè)計(jì)可靠度較高，現(xiàn)階段運(yùn)行積累到的失效數(shù)據(jù)均面臨以上3個(gè)問(wèn)題。

首先，為保留截止時(shí)未發(fā)生故障的時(shí)間信息，采用定時(shí)截尾試驗(yàn)的格式對(duì)失效數(shù)據(jù)進(jìn)行整理；其次，為考慮維修帶來(lái)的可靠度變化，引入可修復(fù)系統(tǒng)非齊次泊松過(guò)程（NHPP）模型［4］來(lái)處理數(shù)據(jù)的非獨(dú)立性問(wèn)題；最后，針對(duì)失效樣本普遍較少的情況，采用目前較為成熟的貝葉斯方法進(jìn)行處理［3］。進(jìn)而綜合給出了一種解決核電站失效數(shù)據(jù)中上述問(wèn)題的方法。

2 失效數(shù)據(jù)的處理

2.1 定時(shí)截尾試驗(yàn)

定時(shí)截尾試驗(yàn)是可靠性試驗(yàn)的一種，失效信息可表述為 （n，r，t1，t2，…，tr，ts），其中：n為試驗(yàn)總體個(gè)數(shù)；r為發(fā)生失效的個(gè)數(shù)；t1，t2，…，tr為次序排列的失效時(shí)間；ts為試驗(yàn)截止時(shí)間。

由于核電站大多部件失效數(shù)據(jù)較少，采用定時(shí)截尾數(shù)據(jù)的格式可利用到截止時(shí)間信息，一定程度上擴(kuò)大了樣本容量。

將核電站現(xiàn)場(chǎng)失效數(shù)據(jù)按照定時(shí)截尾試驗(yàn)的格式來(lái)處理，需做以下近似：1）將每次失效作為單獨(dú)的1次記錄，認(rèn)為這些數(shù)據(jù)服從同一壽命分布；2）假設(shè)每次故障起始時(shí)間相同，每次失效時(shí)間從零時(shí)刻開(kāi)始到發(fā)生故障為止；3）合理選擇1個(gè)截止時(shí)間，使其包含所有故障記錄，同時(shí)認(rèn)為運(yùn)行時(shí)間大于它的記錄未發(fā)生失效。

以表1中數(shù)據(jù)為例，觀察其時(shí)間信息，取截止時(shí)間ts＝30 000h，此時(shí)有兩組數(shù)據(jù)（30 504、31 368）大于30 000h，認(rèn)為未發(fā)生失效，這樣n＝11，r＝9。

同單獨(dú)故障間隔時(shí)間信息相比，在上述假設(shè)條件下，樣本大小由發(fā)生故障的9個(gè)擴(kuò)充到11個(gè)（2個(gè)未發(fā)生失效），一定程度上利用原始信息擴(kuò)大了樣本容量。

2.2 可修復(fù)系統(tǒng)與數(shù)據(jù)趨勢(shì)分析

某一部件運(yùn)行過(guò)程中可能發(fā)生多次故障，進(jìn)行維修或更換后部件的可靠度同初始相比會(huì)發(fā)生變化，故障間隔時(shí)間的分布不再獨(dú)立。這時(shí)不滿足修復(fù)如新的假設(shè)，通常采用的不可修復(fù)系統(tǒng)模型不再適用，需引入可修復(fù)系統(tǒng)模型進(jìn)行處理。

常見(jiàn)的可修復(fù)系統(tǒng)模型包括：RP（Renewal Process）模型、HPP（Homogeneous Poisson Process）模型、BPP （Branching Poisson Process）模型、SRP（Superposed Renewal Process）模型和NHPP（Non－Homogeneous Poisson Process）模型。

D.M.Louit等［4］給出了一種采用數(shù)據(jù)趨勢(shì)分析方法選擇可修復(fù)系統(tǒng)模型的流程。針對(duì)表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行趨勢(shì)分析，得到的總試驗(yàn)時(shí)間曲線如圖1所示。橫坐標(biāo)為第k次失效與總失效次數(shù)r的比值；用p（u）表示u時(shí)刻已發(fā)生失效的次數(shù)，則T（t）＝p（u）du為從0到t時(shí)刻總的試驗(yàn)時(shí)間。圖1表明，失效率隨時(shí)間的增加而增加，進(jìn)而可確定定子冷卻水泵機(jī)械密封失效數(shù)據(jù)服從NHPP模型。

圖1 機(jī)械密封故障數(shù)據(jù)總試驗(yàn)時(shí)間曲線Fig.1 Total time on test plot of mechanical seal failures

NHPP模型可用來(lái)描述設(shè)備的維修或替換未引起明顯的設(shè)備可靠性變化（圖2a）或發(fā)生單調(diào)變化（圖2b、c）的情況。定子冷卻水泵機(jī)械密封故障數(shù)據(jù)屬失效率增加（圖2b）的情況。

圖2 3種常見(jiàn)失效時(shí)間分布趨勢(shì)Fig.2 Three kinds of trends in time between failures

NHPP模型兩種常見(jiàn)的失效率表達(dá)方法是冪率失效率（也叫威布爾失效率）和對(duì)數(shù)線性失效率［4］。

冪率失效率的表達(dá)式為：

對(duì)數(shù)線性失效率的表達(dá)式為：

其中：α、β為待定值。

冪率失效率形式符合大多情況，其形式上等同于雙參數(shù)的威布爾分布的失效率，因此，下面的計(jì)算采用雙參數(shù)威布爾分布作為壽命分布來(lái)處理核電站失效數(shù)據(jù)。需指出的是，威布爾分布考慮了老化的影響，更符合機(jī)械部件發(fā)生老化退化的實(shí)際情況。

對(duì)于雙參數(shù)的威布爾分布，其故障概率密度函數(shù)為：

其中：m為形狀參數(shù)；η為尺度參數(shù)。

2.3 貝葉斯方法

由于核電站失效數(shù)據(jù)普遍較為缺乏，需考慮小樣本的處理方法。小樣本問(wèn)題的特點(diǎn)是樣本容量較少，傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法不再適用。目前，國(guó)內(nèi)外已發(fā)展許多解決小樣本數(shù)據(jù)問(wèn)題的方法，如由金字塔式方法延伸出的矩?cái)M合的方法、Huang等提出的用于解決多元正態(tài)分布的多重替代法、基于貝葉斯原理的延伸算法、基于計(jì)算機(jī)仿真的Bootstrap和蒙特卡羅方法等［6］。其中，貝葉斯方法是處理小樣本問(wèn)題較為成熟的一種算法，可有效地綜合多種來(lái)源、多種形式的先驗(yàn)信息，并根據(jù)電站運(yùn)行情況進(jìn)行數(shù)據(jù)更新。本工作選用貝葉斯方法來(lái)解決小樣本問(wèn)題。

貝葉斯公式是貝葉斯理論的基礎(chǔ)，它可表示為：

記X＝（x1，x2，…，xn）為樣本信息，θ為分布參數(shù)，上式中，f（x）＝∑f（x／θ）g（θ），為給定參數(shù)θ下xi的條件概率分布，稱(chēng)為似然分布。g（θ／x）為給定x時(shí)參數(shù)θ的概率密度分布，即后驗(yàn)分布。

對(duì)于服從威布爾分布失效數(shù)據(jù)，采用貝葉斯公式計(jì)算難以解析求解，考慮采用數(shù)值算法，計(jì)算過(guò)程如下。

1）根據(jù)失效數(shù)據(jù)和似然估計(jì)方程，得到Weibull分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和，參數(shù)極大似然估計(jì)的方程［5］為：

2）獲取先驗(yàn)分布

對(duì)上步確定的威布爾分布參數(shù)和進(jìn)行抽樣，產(chǎn)生M組樣本容量為n的Bootstrap再生樣本［6－7］。對(duì)M組樣本分別求解分布參數(shù)mj和ηj，然后假設(shè)mj和ηj相互獨(dú)立，得到m和η的離散先驗(yàn)聯(lián)合概率密度的M×M矩陣：

可得到，m＝mi，η＝ηj的概率為：

令其作為貝葉斯公式的先驗(yàn)分布g（θ）。

3）根據(jù)貝葉斯公式進(jìn)行計(jì)算

條件下，樣本的似然函數(shù)可表示為：

根據(jù)貝葉斯公式，經(jīng)現(xiàn)場(chǎng)失效信息修正后的m和η得離散的聯(lián)合驗(yàn)后分布：

根據(jù)式（8）可得到關(guān)于m和η離散的聯(lián)合驗(yàn)后分布，求其全概率可得到所求的部件壽命可靠度分布函數(shù)：

其中：Rij（t）＝

平均失效前的工作時(shí)間為：

3 結(jié)果分析

定子冷卻水泵機(jī)械密封的失效數(shù)據(jù)為：n＝11，r＝9，ts＝30 000h。失效時(shí)間由小到大依次為：3 312、6 432、7 224、7 896、12 288、15 216、17 664、17 736、18 048h。

由于雙參數(shù)威布爾分布不存在共軛分布，原先假定的威布爾型壽命分布經(jīng)貝葉斯公式修正后不再是威布爾分布的形式。其解析表達(dá)式較為復(fù)雜，用可靠度隨時(shí)間的變化曲線表述，如圖3所示。同文獻(xiàn)［2］中結(jié)果的比較列于表2，MTTF可通過(guò)公式算出。

圖3 可靠度函數(shù)曲線Fig.3 Plot of reliability function

表2 同擬合結(jié)果的比較Table 2 Comparison with data fitting

采用指數(shù)分布擬合得到的平均故障前的工作時(shí)間明顯小于后兩種方法的結(jié)果，這是因?yàn)橹笖?shù)分布的模型未考慮失效率的增加，直接擬合得到的失效率為某種意義上的均值，這使得評(píng)估結(jié)果在初期較為保守，而在末期可能出現(xiàn)危險(xiǎn)。同時(shí)貝葉斯方法可看作是對(duì)失效數(shù)據(jù)抽樣分布的修正，因此較直接采用威布爾分布擬合結(jié)果更接近電廠實(shí)際。同時(shí)本方法具有更好的適用性，可解決核電站數(shù)據(jù)處理過(guò)程中經(jīng)常面臨的樣本較少、不能直接擬合的問(wèn)題。

4 結(jié)語(yǔ)

本文給出了一種實(shí)用的處理核電站失效數(shù)據(jù)的流程，可用于解決失效數(shù)據(jù)處理過(guò)程中面臨的分布不獨(dú)立、樣本容量少等問(wèn)題。該方法通過(guò)將失效數(shù)據(jù)處理成定時(shí)截尾格式以保留部分檢查信息，以雙參數(shù)威布爾分布作為壽命模型從而避免了維修帶來(lái)的可靠度變化的影響，最后通過(guò)引入Bootstrap抽樣作為貝葉斯先驗(yàn)分布來(lái)處理威布爾分布小樣本的問(wèn)題，得到數(shù)值結(jié)果。

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