黨朝輝,項(xiàng)軍華,劉 昆

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天與材料工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410073)

0 引言

對(duì)應(yīng)急衛(wèi)星、戰(zhàn)術(shù)衛(wèi)星等微小衛(wèi)星來(lái)說(shuō),采用磁強(qiáng)計(jì)定姿和定軌的自主導(dǎo)航方法具有質(zhì)量輕、功耗小、可靠性高和成本低等特點(diǎn)[1]。目前,用于微小衛(wèi)星自主導(dǎo)航控制系統(tǒng)的磁強(qiáng)計(jì)數(shù)學(xué)模型尚未被系統(tǒng)建立。在有關(guān)磁強(qiáng)計(jì)自主導(dǎo)航的文獻(xiàn)中,通常都未明確給出仿真系統(tǒng)中磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量數(shù)據(jù)獲取的具體實(shí)現(xiàn)方法。文獻(xiàn)[1]介紹了一種地磁動(dòng)態(tài)模擬器的構(gòu)建方法,說(shuō)明了地磁場(chǎng)數(shù)據(jù)生成的方法及地磁模擬器輸出電流與其對(duì)應(yīng)的關(guān)系,但沒(méi)有給出磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量數(shù)據(jù)生成的方法。文獻(xiàn)[2、3]采用在地磁場(chǎng)理論計(jì)算值的基礎(chǔ)上添加測(cè)量噪聲的方法,這種測(cè)量噪聲通常是符合高斯分布的零均值隨機(jī)噪聲,但真實(shí)的磁強(qiáng)計(jì)除測(cè)量噪聲外,還包括系統(tǒng)誤差,具體可分為偏移誤差、非正交誤差和尺度因子誤差3類[4]。此3類誤差需分別建立精確的數(shù)學(xué)模型,并結(jié)合地面仿真系統(tǒng)的特點(diǎn)進(jìn)行相關(guān)處理。本文對(duì)某衛(wèi)星控制系統(tǒng)地面仿真用磁強(qiáng)計(jì)數(shù)學(xué)模型的建立進(jìn)行了研究。

1 磁強(qiáng)計(jì)數(shù)學(xué)模型

基于磁強(qiáng)計(jì)自主導(dǎo)航控制系統(tǒng)的地面仿真原理如圖1所示。圖中：F,M分別為控制力和力矩;ΔF,ΔM分別為干擾力和干擾力矩;θ為衛(wèi)星在參考坐標(biāo)系中的姿態(tài)角矢量;r為衛(wèi)星在慣性坐標(biāo)系中的位置矢量;ε為測(cè)量噪聲;B為磁場(chǎng)強(qiáng)度。在該仿真系統(tǒng)中,磁強(qiáng)計(jì)的數(shù)學(xué)模型用于模仿磁強(qiáng)計(jì)在真實(shí)環(huán)境中的工作狀況,其輸入為軌道動(dòng)力學(xué)和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)積分結(jié)果,輸出為磁強(qiáng)計(jì)測(cè)得的地磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量。衛(wèi)星姿態(tài)、軌道確定模塊利用該地磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量確定姿態(tài)和軌道,其結(jié)果作為控制器的輸入。控制器的推力器和磁力力矩器分別產(chǎn)生控制力與力矩,作為衛(wèi)星軌道和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模塊的輸入。整個(gè)過(guò)程形成一完整的閉環(huán)。

圖1 磁強(qiáng)計(jì)自主導(dǎo)航控制系統(tǒng)地面仿真原理Fig.1 Principle of ground simulation system for automatic navigation based on magnetometer

1.1 磁強(qiáng)計(jì)工作原理

磁強(qiáng)計(jì)內(nèi)部裝有鐵心,當(dāng)鐵心處于過(guò)飽和狀態(tài)時(shí),其磁導(dǎo)率隨激磁磁場(chǎng)強(qiáng)度而變,感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)中就會(huì)出現(xiàn)隨環(huán)境磁場(chǎng)而變的偶次諧波增量;當(dāng)鐵心處于周期性過(guò)飽和工作狀態(tài)時(shí),偶次諧波增量將顯著增大,磁強(qiáng)計(jì)即利用此磁通門(mén)物理現(xiàn)象測(cè)量環(huán)境磁場(chǎng)[5]。安裝在衛(wèi)星上的三軸磁強(qiáng)計(jì)(TAM)在衛(wèi)星軌道上工作時(shí),磁通門(mén)探頭感應(yīng)到地球磁場(chǎng)后,相應(yīng)的磁通量被調(diào)制成偶次諧波感應(yīng)電勢(shì),該電勢(shì)在3個(gè)敏感軸上的分量就代表了當(dāng)?shù)氐卮艌?chǎng)矢量在3個(gè)敏感軸上的分量。

1.2 地磁場(chǎng)生成模型

在衛(wèi)星控制系統(tǒng)的地面仿真系統(tǒng)中,對(duì)磁強(qiáng)計(jì)建模仿真時(shí),首先需構(gòu)造地磁環(huán)境,這便需使用地磁場(chǎng)模型。地磁場(chǎng)是圍繞地球周圍自然發(fā)生的一種微弱磁場(chǎng),歷史上先后建立了多種地磁場(chǎng)模型,其中以高斯球諧函數(shù)的表達(dá)式最著名[6]。由國(guó)際地磁場(chǎng)和高層大氣物理協(xié)會(huì)(IAGA)建立的國(guó)際地磁場(chǎng)參考模型(IGRF)被廣為使用,該參考模型是通過(guò)天文觀測(cè)、船舶、飛機(jī)、衛(wèi)星,以及地面測(cè)量等獲得的地磁場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)而建立的,迄今為止,已有多種IGRF(1900～2015)模型可供使用。由于地磁場(chǎng)隨時(shí)間不斷變化,IGRF的地磁場(chǎng)模型每5年更新1次。本文采用了最新的地磁場(chǎng)模型及其參數(shù),即IGRF2010模型。

地磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量Bm為勢(shì)場(chǎng),在地球中心球坐標(biāo)系中可寫(xiě)作標(biāo)量勢(shì)的負(fù)梯度[4]。即

式中：V為勢(shì)函數(shù),其高斯球諧系數(shù)形式展開(kāi)為

此處：Re為地球參考半徑;N為球諧展開(kāi)的最大次數(shù);為與時(shí)間相關(guān)的m階n次高斯系數(shù);λ,φ′,r,t分別為在地球中心球坐標(biāo)系中的經(jīng)度、緯度、地心距和時(shí)間;為施密特函數(shù),且為半標(biāo)準(zhǔn)化的連帶勒讓德多項(xiàng)式,定義為

地磁場(chǎng)常用北東地坐標(biāo)系,如圖2所示。

圖2 北東地坐標(biāo)系Fig.2 North-east-down coordinates

式(2)在北東地三個(gè)方向求負(fù)梯度,可得地磁場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式為

且t按小數(shù)形式表示[4]。此處：t0=2010.0表示IGRF2010模型的參考基準(zhǔn)時(shí)刻,t的有效范圍是2010年1月1日至2014年12月31日,超出此時(shí)間段就要采用其他模型。模型中,為主磁場(chǎng)系數(shù);為長(zhǎng)期變動(dòng)系數(shù),這些參數(shù)的具體取值可在IGRF2010的參數(shù)表中獲取。IGRF2010的高斯系數(shù)取至12階,其中前3項(xiàng)高斯系數(shù)值見(jiàn)表1,其余參數(shù)取值詳見(jiàn)文獻(xiàn)[4]。

表1 IGRF2010國(guó)際地磁場(chǎng)系數(shù)Tab.1 Gauss coefficients of IGRF2010

1.3 磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量模型

磁強(qiáng)計(jì)安裝在衛(wèi)星上,隨衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)獲取衛(wèi)星軌道上的地磁場(chǎng)強(qiáng)度,理論上磁強(qiáng)計(jì)的測(cè)量數(shù)據(jù)即為其所處位置地磁場(chǎng)的真實(shí)值。因此,理想狀況下磁強(qiáng)計(jì)的測(cè)量數(shù)據(jù)可通過(guò)本文建立的地磁場(chǎng)生成模型求取。但真實(shí)的磁強(qiáng)計(jì)由于制造、安裝和本身磁性元件存在各種誤差,其實(shí)際測(cè)量值會(huì)與地磁場(chǎng)模型理論值存在差異。磁強(qiáng)計(jì)的各種誤差可分為偏移誤差、非正交誤差、尺度因子誤差和測(cè)量噪聲4類。

a)偏移誤差

是由實(shí)際磁強(qiáng)計(jì)電路溫漂、磁心剩磁等引起的誤差,表現(xiàn)為即使環(huán)境磁場(chǎng)為0時(shí)仍有微小輸出。設(shè)該輸出為,則磁強(qiáng)計(jì)實(shí)際測(cè)量值b1、理論測(cè)量值b與偏移誤差b0滿足關(guān)系

b)非正交誤差

是指實(shí)際磁強(qiáng)計(jì)的三軸未互相正交產(chǎn)生的測(cè)量誤差。實(shí)際磁強(qiáng)計(jì)非正交三軸與理想正交三軸的轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖3所示[7]。圖中：O-X1Y1Z1,O-X2Y2Z2分別為理想正交和實(shí)際非正交三軸構(gòu)成的坐標(biāo)系;為便于分析,設(shè)OZ1、OZ2軸重合;OY2軸在平面Y1OZ1內(nèi);OX2軸與平面X1OY1夾角為α0;OX1軸與平面X2OZ2夾角為γ0,且OY2、OY1軸夾角為β0。

圖3 磁強(qiáng)計(jì)實(shí)際與理想正交三軸坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系Fig.3 Relationship between true and ideal magnetometer coordinate system

由圖3的幾何關(guān)系,將O-X1Y1Z1系中的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量轉(zhuǎn)換至O-X2Y2Z2系中,可得實(shí)際磁場(chǎng)強(qiáng)度測(cè)量值b2與b1滿足關(guān)系

c)尺度因子誤差

是由磁強(qiáng)計(jì)3個(gè)敏感軸的制造誤差產(chǎn)生的。該誤差表現(xiàn)為同樣大小的磁強(qiáng)由各軸單獨(dú)測(cè)量時(shí)有微小差異[8]。設(shè)三軸的尺度因子誤差分別為kx,ky,kz,則磁強(qiáng)計(jì)實(shí)際測(cè)量值b3與b2滿足關(guān)系

d)測(cè)量噪聲

磁強(qiáng)計(jì)的測(cè)量值中還含有測(cè)量噪聲ε,一般為零均值的高斯白噪聲,方差Σ=E[εεT]。

綜合上述誤差,可得在磁強(qiáng)計(jì)體坐標(biāo)系中磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量值

式中：bm為磁強(qiáng)計(jì)體坐標(biāo)系中的磁強(qiáng)計(jì)真實(shí)輸出;S為尺度因子誤差陣;P為非正交誤差陣;MBR為磁強(qiáng)計(jì)體系(B系)相對(duì)參考系(R系,北東地)的姿態(tài)矩陣;btheroy為由地磁模型所得的R系中的理論磁場(chǎng)強(qiáng)度;b0為B系中的偏移誤差;ε為地磁觀測(cè)噪聲。

為與理論計(jì)算比較,設(shè)bmeasure為R系中的磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量值bm,有

則bmeasure,btheory間的差異反映了真實(shí)磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量值與地磁場(chǎng)模型理論計(jì)算值的差異。

1.4 磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量數(shù)據(jù)生成算法

根據(jù)上述地磁場(chǎng)生成模型和磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量模型,在微小衛(wèi)星地面仿真控制系統(tǒng)中,磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量數(shù)據(jù)的生成可以分為3步：一通過(guò)衛(wèi)星軌道動(dòng)力學(xué)和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型獲取衛(wèi)星實(shí)時(shí)位置和姿態(tài);二將衛(wèi)星位置轉(zhuǎn)換為地理經(jīng)緯度值,代入式(4)～(6),計(jì)算地磁場(chǎng)強(qiáng)度的理論值;三將地磁場(chǎng)強(qiáng)度理論值代入式(11),獲得磁強(qiáng)計(jì)的測(cè)量數(shù)據(jù)。其中,S,P,b0所對(duì)應(yīng)的9個(gè)誤差模型參數(shù)α0,β0,γ0,kx,ky,kz,b0x,b0y,b0z為已知。

2 仿真

設(shè)仿真條件為：取地球圓形軌道高度300 km,磁強(qiáng)計(jì)安裝體軸與衛(wèi)星體軸保持一致;地磁場(chǎng)生成模型中的高斯系數(shù)取自IGRF2010模型,具體數(shù)值詳見(jiàn)文獻(xiàn)[4];磁強(qiáng)計(jì)誤差參數(shù)取值見(jiàn)表2;ε為高斯白噪聲,其在3個(gè)體軸方向的均方差均為10 nT。所得仿真結(jié)果如圖4、5所示。圖5中：理論誤差是由地磁場(chǎng)生成模型算得的磁場(chǎng)強(qiáng)度(btheroy)與真實(shí)磁強(qiáng)計(jì)在軌實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)(bmeasure)間的差值;生成誤差是由本文磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量數(shù)據(jù)生成模型算得的磁場(chǎng)強(qiáng)度(bgenerate)與bmeasure間的差值,其中磁強(qiáng)計(jì)在軌實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)自參考文獻(xiàn)[9]。該圖中的地磁場(chǎng)強(qiáng)度的具體數(shù)值見(jiàn)表3。

圖4 軌道高度300 km處磁強(qiáng)計(jì)生成值Fig.4 Generating measure data of magnetometer on orbit with height 300 km

圖5 地磁場(chǎng)強(qiáng)度理論誤差及生成誤差Fig.5 Theoretical error and generating error of magnetic field data

由圖4可知：該圖形狀與全球地磁場(chǎng)理論模型基本一致,表明本文建立的磁強(qiáng)計(jì)數(shù)學(xué)模型得到的測(cè)量數(shù)據(jù)具有可信度。由圖5可知：理論誤差遠(yuǎn)大于生成誤差,用地磁場(chǎng)理論值作為地面系統(tǒng)中磁強(qiáng)計(jì)的測(cè)量值不可信,而生成誤差在R系的三個(gè)方向(對(duì)應(yīng)x、y、z軸)的誤差基本小于100 nT,說(shuō)明該模型較好地模擬了磁強(qiáng)計(jì)的工作特性。

3 結(jié)論

本文建立了用于微小衛(wèi)星自主導(dǎo)航控制系統(tǒng)地面仿真用的磁強(qiáng)計(jì)數(shù)學(xué)模型,給出了構(gòu)造磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量數(shù)據(jù)的算法。仿真表明,本文建立的磁強(qiáng)計(jì)數(shù)學(xué)模型能較好地模擬真實(shí)磁強(qiáng)計(jì)的工作特性,所得磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量數(shù)據(jù)與真實(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)符合一致,可作為微小衛(wèi)星自主導(dǎo)航控制系統(tǒng)地面仿真所用的磁強(qiáng)計(jì)數(shù)學(xué)模型。

表2 誤差參數(shù)列表Tab.2 List of error parameter

表3 300 km高度地磁場(chǎng)理論計(jì)算值、磁強(qiáng)計(jì)在軌實(shí)測(cè)值、按照本文算法得到的磁強(qiáng)計(jì)生成值Tab.3 Theoretical value,measurevalue and generating valueof magnetic field on 300 km orbit

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