孫 平,劉 昆

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天與材料工程學(xué)院,湖南 長沙 410073)

0 引言

某小型固體運載器采用四級結(jié)構(gòu)設(shè)計方案,前三級由固體發(fā)動機提供推力,第四級為液體推進上面級模塊,它完成飛行中各級的姿態(tài)控制任務(wù)及末助推變軌推進,使飛行器進入橢圓過渡軌道,同時進行組合制導(dǎo),對主動段制導(dǎo)誤差、關(guān)機延時量隨機偏差及發(fā)動機后效偏差進行精確修正[1]。在末助推飛行階段,因前面各級姿控的消耗,推進劑貯箱不再被液體填滿,此時飛行器的運動將引起剩余推進劑的運動(晃動)[2]。推進劑晃動與飛行器姿態(tài)運動通過慣性力的相互作用直接耦合,該耦合作用對飛行器姿態(tài)運動的穩(wěn)定性和控制系統(tǒng)設(shè)計產(chǎn)生直接影響[3]。

為了解和掌握推進劑晃動規(guī)律,國內(nèi)外對液體晃動作了大量試驗和理論研究,通過假設(shè)液體為不可壓縮和無旋,建立了描述液體晃動的等效力學(xué)模型。其中廣泛應(yīng)用的有單擺和等效彈簧-質(zhì)量兩種模型[4]。姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計中,對晃動不穩(wěn)定問題常采用被動控制與主動控制兩種策略,前者即在貯箱內(nèi)設(shè)置防晃障板,提高晃動阻尼或改變貯箱結(jié)構(gòu),提高晃動頻率;后者則通過改進控制器設(shè)計實現(xiàn)對晃動不穩(wěn)定的抑制,如文獻[5]通過限制控制器在晃動頻段的幅頻特性,增大控制器在晃動頻段的相位超前實現(xiàn)晃動抑制;文獻[6]設(shè)計了自適應(yīng)控制器完成衛(wèi)星機動變軌過程中的控制;文獻[7]采用輸入成型技術(shù)抑制大撓性航天器的晃動等。

近年來,基于狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程(SDRE)的控制器設(shè)計在飛行器控制中獲得了廣泛應(yīng)用[8-10]。它提供了一種系統(tǒng)、有效的非線性控制器設(shè)計技術(shù)。在采用單擺模型近似晃動質(zhì)量推導(dǎo)晃動運動與姿態(tài)運動的動力學(xué)方程的基礎(chǔ)上,本文采用SDRE方法,綜合動態(tài)逆控制設(shè)計了有晃動運動時的飛行器姿態(tài)控制律,通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)姿態(tài)跟蹤和晃動抑制,并進一步考慮控制器的工程應(yīng)用[11]。

1 運動學(xué)與動力學(xué)模型

考慮俯仰平面內(nèi)的運動,采用單擺模型等效晃動。在末助推無動力飛行階段,有一個液體推進劑貯箱的運載器受力如圖1所示。圖中：Ob-XbYbZb為箭體坐標系,其中原點Ob為運載器剛體部分及未晃動推進劑部分所確定的質(zhì)心。定義運載器的俯仰角為θ,液體晃動等效擺長為l、懸掛點距離運載器質(zhì)心為b的單擺模型。單擺偏離ObXb軸的角度為φ。

圖1 運載器受力示意Fig.1 Force of launcher

將運載器質(zhì)心加速度矢量投影至Ob-XbYbZb系的OXb、OZb軸,有

式中：vx,vz分別為運載器速度矢量在Ob-XbYbZb系ObXb、Ob Zb軸的投影。

定義固聯(lián)于單擺的體坐標系xoz：原點o固聯(lián)于擺錘;ox軸沿擺杠方向;oz軸垂直于ox軸指向左側(cè)。將擺錘質(zhì)心加速度矢量投影到xoz系的ox、oz軸,有

式中：apx,apz分別為單擺質(zhì)心沿和垂直擺桿方向的運動加速度。

將單擺和運載器視作相互施加力的作用的獨立部分。用牛頓力學(xué)分析其受力狀況。定義單擺產(chǎn)生的阻尼力矩

式中：Cφ為阻尼力矩系數(shù)。

對擺錘質(zhì)心,將牛頓第二定律方程投影到xoz系的ox、oz軸,有

式中：m為擺錘質(zhì)量;g為重力加速度;Fsh為作用于單擺質(zhì)心的沿擺桿方向的外力,將擺錘作為質(zhì)點。

對運載器質(zhì)心,將牛頓第二定律方程投影到Ob-XbYbZb系的ObXb、ObZb軸,有

式中：Fc為作用于運載器質(zhì)心的沿ObZb軸方向的外力;mlv為運載器剛體部分及未晃動推進劑部分的質(zhì)量。

繞運載器ObZb軸的轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程為

式中：Lc為Fc至點Ob的力臂;為箭體繞ObYb軸的轉(zhuǎn)動慣量。

式(1)～(10)即為有晃動質(zhì)量的運載器動力學(xué)方程。

2 姿態(tài)控制器設(shè)計

姿態(tài)控制器設(shè)計可分為三步：一,綜合狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程方法與動態(tài)逆方法設(shè)計狀態(tài)反饋非線性姿態(tài)控制器,控制系統(tǒng)中的狀態(tài)變量跟蹤制導(dǎo)指令;二,因單擺運動是為實現(xiàn)晃動模擬而人為引入系統(tǒng),不可實際測量,為控制律能實現(xiàn),采用快速輸出采樣技術(shù)實現(xiàn)對狀態(tài)的估計;三,需對連續(xù)的控制指令進行調(diào)制,獲得脈沖信號控制發(fā)動機開關(guān)狀態(tài)[12-14]。

2.1 SDRE與動態(tài)逆相結(jié)合的控制律設(shè)計

SDRE方法用于處理輸入仿射非線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計。將系統(tǒng)

改寫為

狀態(tài)反饋控制器為

式中：x為系統(tǒng)狀態(tài)變量;u為系統(tǒng)輸入變量;f(x)為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的非線性表達式,且f(x)=A(x)x;B(x)為系統(tǒng)的輸入陣;P(x)為狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程的解;Q(x),R(x)為設(shè)計參數(shù),分別為半正定和正定陣。

動態(tài)逆方法是通過設(shè)計控制器與非線性系統(tǒng)中某些運動對消,使系統(tǒng)達到期望的運動。對非線性系統(tǒng)

可設(shè)計控制器為

用SDRE與動態(tài)逆綜合方法進行控制律設(shè)計要求[A(x) B]對x為點點可控。在此前提下,SDRE方法得到的控制律為式(13),動態(tài)逆方法所得的控制律為

選擇

代入式(17),得

式中：Ad為期望的A。比較式(19)、(13),可得

至此,通過SDRE方法實現(xiàn)了動態(tài)逆控制的實質(zhì),選擇Q(x)并計算式(13)、(14)即可得狀態(tài)反饋控制律u。

用上述方法計算u時,關(guān)鍵是將系統(tǒng)動態(tài)方程寫成式(12)中的形式。

根據(jù)控制器設(shè)計需求,將式(1)～(10)描述的系統(tǒng)改寫成的形式,選擇狀態(tài)變量為

控制變量

則矩陣A(x)、B(x)中非零系數(shù)的表達式為

2.2 反饋控制律實現(xiàn)

前文設(shè)計的控制方法是基于狀態(tài)反饋控制,但實際中,由于單擺模型僅是對晃動的機械近似,與其相關(guān)的變量的狀態(tài)不可量測。為此,引入快速輸出采樣技術(shù),通過對輸出信號采用多速率觀測器重構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài),實現(xiàn)離散狀態(tài)反饋。實現(xiàn)方法如下[10]。

設(shè)τ為采樣周期的離散時間系統(tǒng)為

式中：Φτ,Γτ,C分別為以采樣周期獲得的離散系統(tǒng)的狀態(tài)陣、控制陣和輸出陣。滿足(Φτ,Γτ)能控,(Φτ,C)能觀測,另輸入信號在間隔τ內(nèi)保持不變,對輸出信號以Δ=τ/N,N≥v為間隔進行采樣。此處：v為系統(tǒng)式(23)的能觀測性指數(shù),得采樣間隔為Δ的系統(tǒng)

式中：j=0,1,…,N-1。令

這樣,就實現(xiàn)了通過對輸出信號采用多速率觀測器重構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài),進而可實現(xiàn)所設(shè)計的狀態(tài)反饋控制律u。系統(tǒng)中實現(xiàn)姿態(tài)控制的執(zhí)行機構(gòu)是固定推力的液體發(fā)動機,需對控制器產(chǎn)生的連續(xù)控制信號進行調(diào)制,通過改變兩次噴氣間的間隔時間,實現(xiàn)對飛行器姿態(tài)的控制。

3 仿真

設(shè)飛行器模型的參數(shù)為：mlv=500 kg,m=50 kg,l=0.35 m,b=1.1 m,Fc=25 N,Lc=0.4 m,Cφ=0.2,g=9.18 m/s2;控制器的計算周期50 ms,輸出采樣周期5 ms,初始狀態(tài)選擇φ=2°,=4(°)/s,θ=10°,=5(°)/s,分別在姿態(tài)角跟蹤常值姿態(tài)角指令θcmd=5°和正弦姿態(tài)角指令θcmd=條件下進行仿真,所得結(jié)果如圖2～5所示。由圖可知：在本文設(shè)計的控制器作用下,對常值姿態(tài)角和正弦姿態(tài)角指令的跟蹤均可在10 s內(nèi)收斂,液體晃動也能得到穩(wěn)定。跟蹤常值姿態(tài)角時,液體晃動等效擺的運動可穩(wěn)定在0附近,而跟蹤正弦姿態(tài)角時,等效擺的晃動將穩(wěn)定在一較小的振動幅度內(nèi)。推進劑的晃動能獲得穩(wěn)定。

圖2 常值輸入時的姿態(tài)角響應(yīng)Fig.2 Attituderesponse under constant input

圖3 常值輸入時的角速率響應(yīng)Fig.3 Angle rateresponse under constant input

圖4 正弦輸入時的姿態(tài)角響應(yīng)Fig.4 Attituderesponse under sine input

圖5 正弦輸入時的角速率響應(yīng)Fig.5 Angle rate responseunder sine input

4 結(jié)束語

針對運載器末助推段推進劑晃動與姿態(tài)動力學(xué)間的耦合,本文采用單擺模型近似晃動質(zhì)量,推導(dǎo)了晃動運動與姿態(tài)運動的動力學(xué)方程,并在此基礎(chǔ)上給出了系統(tǒng)的狀態(tài)相關(guān)因子表達形式,設(shè)計了基于SDRE方法和動態(tài)逆方法的狀態(tài)反饋控制律對運載器姿態(tài)運動進行穩(wěn)定,同時抑制晃動作用。由于實際中晃動運動的狀態(tài)不可測量,引入快速輸出采樣技術(shù)估計系統(tǒng)狀態(tài),使所設(shè)計的控制律可在工程中實現(xiàn)。數(shù)值仿真結(jié)果驗證了控制器的有效性。

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