呂 萍，劉 東，2，趙菲菲

（1．東北農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利與建筑學(xué)院，哈爾濱150030；2．東北農(nóng)業(yè)大學(xué) 農(nóng)林經(jīng)濟(jì)管理博士后科研流動(dòng)站，哈爾濱150030）

三江平原是我國(guó)重要的商品糧基地，對(duì)我國(guó)糧食生產(chǎn)起著重要的保障作用。1986－2005年，三江平原水稻種植面積從57．7萬(wàn)h m2增加到150．9萬(wàn)h m2［1］。由于水田面積的迅速擴(kuò)大，地下水開采量也迅速增加，加之人為浪費(fèi)嚴(yán)重及管理不善，使得三江平原多年平均地下水埋深持續(xù)增加，“吊泵”和局部超采現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生［2］，地下水資源平衡遭到了嚴(yán)重的破壞。

地下水埋深由于受諸多自然和人為因素的影響而呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性變化過程［3］，預(yù)測(cè)和分析研究地下水動(dòng)態(tài)變化過程，有助于正確估算及合理開發(fā)利用地下水資源。地下水埋深動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)傳統(tǒng)的方法有確定性模型和隨機(jī)性模型，其中確定性模型的求解主要有解析法、數(shù)值法和物理模擬法；隨機(jī)性模型有回歸分析法、頻譜分析法等，但由于這些模型本身復(fù)雜或大量的物理參數(shù)難以獲得，因而不便在實(shí)際中應(yīng)用［4－5］。

本研究采用灰色微分方程與自記憶原理相結(jié)合的方法建立自記憶方程預(yù)報(bào)模型，并應(yīng)用于三江平原七星農(nóng)場(chǎng)地下水埋深序列的模擬及預(yù)測(cè)。該方程避免了多種影響因素?cái)?shù)據(jù)的收集整理，只涉及地下水埋深觀測(cè)序列本身，方便實(shí)用且具有較好的預(yù)測(cè)精度。

1 建模思路

諸多自然現(xiàn)象和社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象都是有規(guī)律的辨證發(fā)展過程，其運(yùn)動(dòng)變化都有一定的慣性，這種慣性就表現(xiàn)為系統(tǒng)的記憶性［6］。自記憶性強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)的變化總是與其歷史行為相聯(lián)系，或者說系統(tǒng)總會(huì)記得它的過去，因此可以通過引入記憶函數(shù)建立系統(tǒng)的自記憶方程，從而預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來的變化［7］。對(duì)于有微分方程描述的動(dòng)力系統(tǒng)，可以建立相應(yīng)的自記憶模型，通過實(shí)際應(yīng)用［7－10］，證明它能顯著提高預(yù)報(bào)準(zhǔn)確率。對(duì)于地下水系統(tǒng)一般只有一系列動(dòng)態(tài)觀測(cè)值，這時(shí)可把現(xiàn)有的許多觀測(cè)資料看作是描述實(shí)際非線性動(dòng)力系統(tǒng)動(dòng)力模式的一系列特解，通過一定的方法反演出描寫系統(tǒng)的非線性動(dòng)力模式后，便可建立自記憶模型進(jìn)行模擬或預(yù)報(bào)［7］。

2 灰色自記憶模型

2．1 灰色GM（1，1）微分方程

地下水埋深時(shí)間序列受眾多因素影響，具有很大的不確定性，因此可用灰色系統(tǒng)方法進(jìn)行分析研究［9］。GM（1，1）是用一階線性常微分方程來描述灰色系統(tǒng)單序列動(dòng)態(tài)情況的模型，可以對(duì)水文單因素進(jìn)行中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)［6，10－11］。

設(shè)地下水埋深觀測(cè)序列為x（t），t＝1，2，…，n。為消除數(shù)據(jù)量級(jí)上的差別影響，首先對(duì)序列進(jìn)行歸一化預(yù)處理［12］，本文采用除以序列最大值方法得到處理數(shù)據(jù)序列：

式中：xmax——序列原始數(shù)據(jù)的最大值。對(duì)序列作一次累加生成：

（3）

得到的新數(shù)據(jù)序列與原始數(shù)據(jù)序列相比較，其隨機(jī)程度大大弱化，平穩(wěn)程度大大增加。其變化趨勢(shì)可用一階微分方程描述為

式中，參數(shù)a和u可通過最小二乘法得到，即

在式 （4）中，令 d x（1）／d t＝F（x，t），移項(xiàng)后得GM（1，1）微分方程式為

F（x，t）＝u－ax（1）（6）

2．2 自記憶模型

將導(dǎo)出的灰色微分方程作為動(dòng)力核，運(yùn)用自記憶性原理建立月地下水埋深時(shí)間序列的自記憶模型［6，9，12－13］。

對(duì)時(shí)間序列的多個(gè)時(shí)次ti（i＝－p，－p＋1，…，0，1），t0為初始時(shí)次，t1為預(yù)測(cè)時(shí)次，p為回溯階，引進(jìn)記憶函數(shù)β（t），對(duì)F（x，t）求t－p至t1的加權(quán)積分，運(yùn)用分部積分和微積分中值定理得出一個(gè)差分－積分方程：

式中：Δt——序列時(shí)間間隔，一般取為1；Fi——式（6）中的F（x，t）。

式（9）即灰色自記憶模型預(yù)測(cè)方程。模型記憶系數(shù)αi可用最小二乘法估算，順次取累加生成序列式（2）中p＋2個(gè)數(shù)據(jù)為一組，則有L＝n－（p＋1）組數(shù)據(jù)，將每組數(shù)據(jù)代入式（9），則可得到一個(gè)L行p＋2列矩陣：

式（10）中，α的最小二乘解為：α＝（MTM）－1MTX（1）1。

3 應(yīng)用實(shí)例

3．1 數(shù)據(jù)資料

根據(jù)三江平原七星農(nóng)場(chǎng)1997－2007年132個(gè)月的月地下水埋深觀測(cè)資料，從中選取前120個(gè)月（1997－2006年）的資料進(jìn)行建模，用2007年12個(gè)月的資料對(duì)模型進(jìn)行試報(bào)檢驗(yàn)，并預(yù)測(cè)2008年12個(gè)月的地下水埋深。

3．2 灰色自記憶模型建立

首先求得歸一化處理后地下水埋深時(shí)間序列的微分方程為：

F（x，t）＝0．4731＋0．005407x（1）

然后按照式（9）建立灰色自記憶預(yù)測(cè)方程，取回溯階數(shù)p為11，則有：

經(jīng)計(jì)算，模型記憶系數(shù)：α－11＝－16．648，α－10＝16．71，α－9＝－16．956，α－8＝17．378，α－7＝－17．392，α－6＝17．447，α－5＝－17．254，α－4＝17．378，α－3＝－17．478，α－2＝17．783，α－1＝ －17．475，α0＝16．626，α1＝－15．626。

將計(jì)算結(jié)果乘以最大值并進(jìn)行累減還原，用所建模型模擬1998年2月至2006年12月的107個(gè)月地下水埋深值（對(duì)應(yīng)編號(hào)為14－120），因回溯階及累減原因，1997年1月至1998年1月無(wú)擬合值（對(duì)應(yīng)編號(hào)為1－13）；對(duì)2007年12個(gè)月的地下水埋深值（對(duì)應(yīng)編號(hào)為121－132）進(jìn)行試報(bào)，模型擬合值、預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值見圖1，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)值的比較見表1。

圖1 七星農(nóng)場(chǎng)月地下水埋深實(shí)測(cè)值與擬合值、預(yù)測(cè)值的比較

表1 七星農(nóng)場(chǎng)月地下水埋深實(shí)測(cè)值與灰色自記憶模型預(yù)測(cè)值的比較（2007年1－12月）

應(yīng)用上述數(shù)據(jù)資料及模型對(duì)2008年12個(gè)月地下水埋深預(yù)測(cè)結(jié)果見圖2。

圖2 2008年七星農(nóng)場(chǎng)月地下水埋深預(yù)測(cè)結(jié)果

3．3 模型結(jié)果分析

由圖1可看出，模型擬合效果較好，能很好地?cái)M合變化趨勢(shì)和序列中的極值，體現(xiàn)出時(shí)間序列的波動(dòng)特征。計(jì)算結(jié)果表明，在擬合的107個(gè)月中，相對(duì)誤差在20%以上的有7個(gè)，占擬合月份的6．54%；相對(duì)誤差在10%以下的有85個(gè)月，占擬合月份的79．44%；平均相對(duì)誤差為7．31%。預(yù)測(cè)結(jié)果（表1）表明，在試報(bào)的12個(gè)月中，只有一個(gè)月相對(duì)誤差在10%以上，占預(yù)測(cè)月份的8．33%，58．33%的月份相對(duì)誤差在4%以內(nèi)，平均相對(duì)誤差為5%。

編號(hào)65，66，113和114的4個(gè)月份分別對(duì)應(yīng)為2002年5月、6月和2006年5月、6月，這幾個(gè)月份的擬合值與實(shí)測(cè)值有較大偏差。經(jīng)分析認(rèn)為，以上4個(gè)月份受當(dāng)時(shí)氣候影響，干旱嚴(yán)重，用于灌溉的地下水量激增，導(dǎo)致地下水埋深在短時(shí)期內(nèi)急劇增加，地下水位在這幾個(gè)月份有較大波動(dòng)，所以在預(yù)測(cè)時(shí)出現(xiàn)了滯后和偏離的情況。

2008年地下水埋深的預(yù)測(cè)值較好地體現(xiàn)了地下水埋深的季節(jié)性波動(dòng)特征，反映了地下水埋深逐年加深的變化趨勢(shì)。

4 結(jié) 論

（1）灰色自記憶模型是一種確定性與不確定性相結(jié)合的方法，具有簡(jiǎn)潔實(shí)用的優(yōu)點(diǎn)。模型計(jì)算只涉及地下水埋深觀測(cè)序列本身，無(wú)需其它影響因素的觀測(cè)資料，將由灰色理論導(dǎo)出的GM（1，1）微分方程作為動(dòng)力核較其他方法簡(jiǎn)單方便，模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于編程計(jì)算。

（2）通過實(shí)例驗(yàn)證，灰色自記憶模型充分利用了多個(gè)歷史觀測(cè)值信息，能夠顯著提高預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率，具有較好的模擬和預(yù)測(cè)效果。其預(yù)測(cè)結(jié)果比較科學(xué)合理，可為三江平原水資源合理開發(fā)利用提供參考依據(jù)。

（3）研究結(jié)果表明，三江平原七星農(nóng)場(chǎng)的地下水埋深逐年加深趨勢(shì)顯著，不利于區(qū)域的可持續(xù)發(fā)展，建議當(dāng)?shù)貒?yán)格控制地下水開采量，興建地表水控制工程，開源節(jié)流，防止地下水資源進(jìn)一步惡化，同時(shí)應(yīng)大力推廣節(jié)水灌溉技術(shù)，以提高有限水資源的利用效率。

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