周凱紅 譚湘夫

(①桂林航天工業(yè)高等?？茖W(xué)校機(jī)械工程系，廣西桂林 541004;②湖南理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，湖南岳陽(yáng) 414000)

飛行器機(jī)身、機(jī)翼覆蓋件和推進(jìn)器葉片等重要零部件都是由空氣動(dòng)力學(xué)原理設(shè)計(jì)的復(fù)雜曲面結(jié)構(gòu)。其數(shù)控制造技術(shù)一直是飛行器制造技術(shù)的重要內(nèi)容［1］。復(fù)雜曲面的現(xiàn)代數(shù)控制造技術(shù)是通過復(fù)雜曲面的NURBS離散數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)球面刀具相對(duì)工件運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)的。盡管以NURBS法描述復(fù)雜曲面的優(yōu)點(diǎn)已為眾多相關(guān)研究所證實(shí)［2］，但是，由其驅(qū)動(dòng)球面刀具完成復(fù)雜曲面的數(shù)控加工卻存在難以接受的缺點(diǎn):低效率的材料“點(diǎn)”去除加工、高成本的球面刀具。

在多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控技術(shù)出現(xiàn)以前，由于機(jī)床加工運(yùn)動(dòng)功能的局限性，在刀具相對(duì)工件的包絡(luò)運(yùn)動(dòng)中，刀具包絡(luò)面的特征線(刀刃線)相對(duì)刀具是靜止的(如仿形法)或沿刀具曲面平動(dòng)(如范成法)，這些都無(wú)法充分利用刀具曲面上豐富的曲線去擬合加工目標(biāo)曲面。在多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控技術(shù)出現(xiàn)以后，由于對(duì)直接面向數(shù)控加工的曲面逼近理論研究上的不足，通常以NURBS離散數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)球面刀具以“點(diǎn)”去除方式來逼近復(fù)雜曲面，這實(shí)際上是將刀具曲面包絡(luò)面的特征線(刀刃線)的長(zhǎng)度視為零，沒有充分利用刀具曲面上的曲線去擬合加工目標(biāo)曲面。

本文基于微分幾何中的曲面活動(dòng)標(biāo)架理論提出了一種面向數(shù)控加工的曲面逼近理論(包絡(luò)逼近原理):它以簡(jiǎn)單(刀具)曲面(如平面、圓柱面、圓錐面和各種螺旋面等)上的定向曲面片(包絡(luò)面特征線上的微分流形)為基函數(shù)，以刀具相對(duì)工件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)(變換)形成的包絡(luò)面按指定的約束條件和精度逼近加工目標(biāo)曲面，從而獲得刀具相對(duì)工件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程(變換矩陣)。基于包絡(luò)逼近原理的曲面數(shù)控制造技術(shù)，其刀具形狀是按加工目標(biāo)曲面設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)單曲面，其材料去除方式是“線”去除，因而其加工效率較現(xiàn)行球面刀具“點(diǎn)”去除加工方法高，刀具成本低。曲面包絡(luò)逼近原理也是各種金屬切削加工方法的幾何學(xué)基礎(chǔ)。本文將簡(jiǎn)述曲面包絡(luò)逼近的數(shù)學(xué)原理，并通過一個(gè)點(diǎn)嚙合齒面的曲面構(gòu)造論證包絡(luò)逼近原理的應(yīng)用方法。

1 曲面的包絡(luò)逼近原理［3］

活動(dòng)標(biāo)架的概念起源于研究剛體運(yùn)動(dòng)。Darboux［4］等以空間曲線的Frenet標(biāo)架沿曲線的運(yùn)動(dòng)來研究空間曲線的微分結(jié)構(gòu)。E.Cartan［5］將活動(dòng)標(biāo)架引入空間曲面的研究，又將其從運(yùn)動(dòng)群推廣到任意線性變換群，并引進(jìn)外微分形式，形成研究曲面微分結(jié)構(gòu)的新方法。這一新方法的特點(diǎn)是將曲面微分特性與標(biāo)架沿曲面的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來，特別適合描述和控制刀具展成復(fù)雜曲面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。曲面包絡(luò)逼近原理就是通過刀具曲面與目標(biāo)曲面活動(dòng)標(biāo)架的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系來描述刀具相對(duì)工件的運(yùn)動(dòng)，并通過曲面逼近條件來確定刀具與工件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

1.1 曲面活動(dòng)標(biāo)架下曲面與其包絡(luò)面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)

如圖1，曲面Σ(t)通過相對(duì)于坐標(biāo)系Sp［O(p);x(p)y(p)z(p)］的運(yùn)動(dòng)Ψ包絡(luò)出曲面Σ(g)。設(shè)Lp是曲面Σ(g)上的一條曲線，Lt是曲面Σ(t)上的一條曲線，Lp與Lt對(duì)于運(yùn)動(dòng)Ψ相互共軛。Lg是形成包絡(luò)曲面Σ(g)的特征線。因此，在運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，曲面Σ(t)與Σ(g)相切于Lg，而Lg總與Lt和Lp三線交于點(diǎn)M。故在點(diǎn)M對(duì)于曲面 Σ(t)與 Σ(g)分別有活動(dòng)標(biāo)架 Sft［M;αtvtnt］和 Sfp［M;αpvpnp］。其中，αi(i=t，p)是曲線 Li在點(diǎn) M 的單位切矢，ni是曲面Σ(i)在點(diǎn)M的單位法矢，vi=ni×αi。另有一曲面Σ(p)與曲面Σ(g)固結(jié)且沿曲線Lp與曲面Σ(g)具有二階切觸，圖1中未標(biāo)出。即曲面Σ(g)和曲面Σ(p)沿曲線Lp二階及二階以下參數(shù)均相等。曲面Σ(t)相對(duì)曲面Σ(g)的角速度為

在M點(diǎn)曲面Σ(t)相對(duì)曲面Σ(g)的速度為

因此，在任意點(diǎn)點(diǎn)曲面Σ(t)相對(duì)曲面Σ(g)的速度為

這里:dsp/dt=|driM/dt|(i=t，p)是點(diǎn)M在曲面Σ(i)上沿曲線Li運(yùn)動(dòng)的速率;riM是曲線Li上嚙合點(diǎn)M的位置矢量;τ(i)gα、κ(i)nα分別是曲面 Σ(i)在點(diǎn) M 沿 αi方向的短程撓率和法曲率，κ(i)gα是曲面 Σ(i)在點(diǎn)M 沿 αi方向的短程曲率;rt是曲面Σ(t)任意一點(diǎn)的位置矢量。

于是，曲面Σ(t)的包絡(luò)運(yùn)動(dòng)Ψ被表示為曲面Σ(t)和Σ(g)及其各自曲面上的曲線的微分幾何(活動(dòng)標(biāo)架運(yùn)動(dòng))參數(shù)及兩曲面活動(dòng)標(biāo)架的相對(duì)位置參數(shù)的函數(shù)。實(shí)際上，運(yùn)動(dòng)Ψ也代表一種從曲面Σ(t)到曲面Σ(g)的運(yùn)動(dòng)變換。如果曲面Σ(t)是一種曲面結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單的刀具曲面(如平面、圓柱面、圓錐面和各種螺旋面等)，那么，通過控制這種變換就可能包絡(luò)出結(jié)構(gòu)復(fù)雜的曲面Σ(g)使其以最小的誤差逼近一個(gè)加工目標(biāo)曲面。這就是包絡(luò)逼近原理。

1.2 從曲面Σ(t)到曲面Σ(g)的運(yùn)動(dòng)變換及曲面Σ(g)的方程

為了實(shí)現(xiàn)上述最小誤差逼近，有必要寫出包絡(luò)運(yùn)動(dòng)Ψ的變換矩陣和曲面Σ(g)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以便建立這種最優(yōu)曲面逼近模型。

由圖1可知，從曲面Σ(t)到曲面Σ(g)的坐標(biāo)變換路徑如圖2所示。因此，從曲面Σ(t)到曲面Σ(g)的變換矩陣為

其中:

曲面Σ(t)的包絡(luò)面Σ(g)的方程

由式(4)、(5)的分析可知，式(5)所確定的包絡(luò)面Σ(g)的方程是由曲面Σ(t)、曲線Lp與Lt的相應(yīng)參數(shù)及Δ來描述的。如果我們把包絡(luò)面Σ(g)上的曲線Lp作為Σ(g)逼近目標(biāo)曲面Σ(p)的約束條件，則通過控制Δ函數(shù)可以得到適當(dāng)?shù)陌j(luò)運(yùn)動(dòng)Ψ，使包絡(luò)面Σ(g)在曲線Lp以外的區(qū)域逼近Σ(p)

1.3 曲面Σ(t)的包絡(luò)面Σ(g)逼近目標(biāo)曲面Σ(p)

如圖3，包絡(luò)面Σ(g)以曲線Lp為約束條件逼近曲面 Σ(p)，即 Σ(g)可以與 Σ(p)相交(或相切)于 Lp。Lg是組成Σ(p)的過Lp上任意點(diǎn)M的包絡(luò)特征線，點(diǎn)和是Lg的兩個(gè)端點(diǎn)，Qg是Lg上這兩個(gè)端點(diǎn)之間的任意一點(diǎn)。Qg與它在目標(biāo)曲面Σ(p)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Qp由圖3所示來確定。故曲面Σ(g)在其任意點(diǎn)與目標(biāo)曲面Σ(p)的偏差δ表示為

沿Lg各點(diǎn)以兩端點(diǎn)N(1)k和N(2)k所對(duì)應(yīng)的偏差和最大，只有同時(shí)控制和，才能保證曲面Σ(g)逼近目標(biāo)曲面Σ(p)的精度。故包絡(luò)面Σ(g)逼近目標(biāo)曲面Σ(p)的最優(yōu)模型:

目標(biāo)函數(shù)為

約束條件為

約束條件式(8)保證曲面Σ(g)從目標(biāo)曲面Σ(p)的外側(cè)逼近目標(biāo)曲面Σ(p)。式(7)中的ε是預(yù)定的曲面逼近的誤差。當(dāng)+的最小值不能滿足式(7)時(shí)，一般有兩種方法進(jìn)行改進(jìn):(1)根據(jù)目標(biāo)曲面Σ(p)的形狀重新選擇或設(shè)計(jì)刀具曲面Σ(t)。(2)縮小包絡(luò)逼近的區(qū)域，即減小端點(diǎn)N(1)k和N(2)k離開點(diǎn)M的距離。通過求解由式(7)和(8)構(gòu)成的優(yōu)化模型可以確定Δ函數(shù)，從而由式(3)和(4)得到刀具相對(duì)工件的運(yùn)動(dòng)方程和變換矩陣。將這個(gè)運(yùn)動(dòng)方程和變換矩陣在多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床上等效實(shí)現(xiàn)，就可在數(shù)控機(jī)床上完成用刀具Σ(t)對(duì)目標(biāo)曲面Σ(p)的“線”去除加工。

2 曲面的包絡(luò)逼近原理在點(diǎn)嚙合齒面展成上的應(yīng)用實(shí)例

表1 齒輪副主要幾何參數(shù)表

弧齒錐齒輪副是一種航空領(lǐng)域常用的高速重載動(dòng)力傳動(dòng)的點(diǎn)嚙合齒面?zhèn)鲃?dòng)。傳動(dòng)過程中嚙合點(diǎn)在齒面上的軌跡就是接觸跡線。在這種齒輪副中，大輪齒面一般是由成形法加工得到的圓錐面，而小輪齒面與大輪齒面配對(duì)嚙合必須滿足多種嚙合特性，一般是復(fù)雜曲面。但展成這種小輪齒面的刀具曲面仍是簡(jiǎn)單的圓錐面。本例依據(jù)曲面的包絡(luò)逼近原理，通過刀具圓錐面Σ(t)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的包絡(luò)面 Σ(g)逼近這種復(fù)雜曲面Σ(p)。這里，曲面逼近的約束條件就是包絡(luò)面Σ(g)沿齒面接觸跡線Lp與Σ(p)具有二階切觸。

表1是所研究齒輪副的安裝傳動(dòng)的主要幾何尺寸。表2是齒面接觸跡線Lp的離散點(diǎn)坐標(biāo)及其對(duì)應(yīng)的主曲率。小輪的理論齒面Σ(p)就是大輪齒面在上述齒輪副安裝傳動(dòng)條件下的包絡(luò)面。

圖4是包絡(luò)逼近法展成的小輪凹面與理論齒面凹面的偏差分析拓?fù)鋱D。圖中數(shù)據(jù)表明實(shí)際加工得到的齒面與理論齒面沿接觸跡線Lp相切，且在遠(yuǎn)離接觸跡線的齒面邊緣，與理論齒面的最大偏差只有0.45 μm，這表明只要根據(jù)加工目標(biāo)曲面的形狀設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)牡毒咔?，按包絡(luò)逼近法展成的曲面可以在一定曲面范圍內(nèi)以很小的誤差逼近目標(biāo)曲面。圖5是按包絡(luò)逼近法在UG中構(gòu)造的小輪齒槽三維實(shí)體。

表2 齒面接觸跡線上部分點(diǎn)的主曲率及坐標(biāo)

3 結(jié)語(yǔ)

本文論述的曲面包絡(luò)逼近理論是以材料的“線”去除方式加工復(fù)雜曲面的CNC制造技術(shù)的幾何學(xué)基礎(chǔ)，是直接面向數(shù)控加工的曲面逼近理論。由于該方法以“線”去除方式加工復(fù)雜曲面，因此，比以往的材料“點(diǎn)”去除加工方法加工效率要高。實(shí)例計(jì)算表明:只要根據(jù)加工目標(biāo)曲面的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)刀具曲面，由包絡(luò)逼近原理加工目標(biāo)曲面就能達(dá)到足夠的加工精度要求。

［1］張耀.航空科學(xué)技術(shù)的發(fā)展［M］.北京:航空工業(yè)出版社，2007:129－133.

［2］朱新雄，等.自由曲線曲面造型技術(shù)［M］.北京:科學(xué)出版社，2003:138－168.

［3］周凱紅.基于預(yù)定嚙合特性的螺旋錐齒輪點(diǎn)嚙合齒面設(shè)計(jì)及CNC制造技術(shù)研究［D］長(zhǎng)沙:中南大學(xué)，2009.

［4］Pogorelov A V，Differential geometry［M］.Netherlands:Noordhoff，Groningen，1958:38－41.

［5］O’Nell B.Elementary differential geometry［M］.New York:Academic Press，1966:52 －56.