孫洪勝 李宇鵬 張世珍 趙永昌 崔云起 王海艷

(①燕山大學(xué)，河北秦皇島 066004;②北京工研精機(jī)有限公司，北京 100102)

用球形或橢球形滾刀加工內(nèi)齒圈［1－2］解決了制造業(yè)中的棘手問題，然而重型裝備中的大模數(shù)內(nèi)齒圈是硬齒面，因此探討磨削大模數(shù)硬齒面內(nèi)齒圈是亟待解決的問題之一。文獻(xiàn)［2］提出了球形蝸桿砂輪，給出了球形砂輪的基本參數(shù)。但是，若球形砂輪當(dāng)量齒輪齒數(shù)增大，球形砂輪尺寸、重量和制造誤差也增大［1，3］，這對(duì)球形砂輪的制造和使用將產(chǎn)生較大的制約。

本文提出橢球形蝸桿砂輪，用其替代球形蝸桿砂輪實(shí)現(xiàn)連續(xù)分度展成磨硬齒面大型內(nèi)齒圈。參數(shù)規(guī)格相同時(shí)，橢球砂輪比球形砂輪尺寸小，研究表明，橢球砂輪比球形砂輪能更高效、精確、經(jīng)濟(jì)地磨削內(nèi)齒，是前景更好的新型砂輪。

1 橢球蝸桿砂輪的螺旋面方程

1.1 砂輪坐標(biāo)系與工具坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

無論是金屬坯橢球砂輪(附金剛石磨粒層)還是剛玉橢球砂輪，都涉及橢球蝸桿的生成(加工)，因此，要推導(dǎo)出砂輪修整器坐標(biāo)系與蝸桿坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，各坐標(biāo)系的關(guān)系如圖1所示。

圖1中σ(o－xyz)為固定坐標(biāo)系，其x軸與蝸桿軸線重合;坐標(biāo)系σg(og－xgygzg)與砂輪修整器(在專用機(jī)床上)固連;坐標(biāo)系σs(os－xsyszs)與橢球蝸桿固連;σg坐標(biāo)系先經(jīng)輔助坐標(biāo)系σf(of－xfyfzf)向σ坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，再由σ坐標(biāo)系向σs坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換得到:

則得到蝸桿砂輪與修整器之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣:

式中:α為橢球砂輪轉(zhuǎn)角;β為砂輪修整器的轉(zhuǎn)角，β=α/Z0;Z0為橢球砂輪軸向當(dāng)量齒輪齒數(shù);L為砂輪中心與修整器中心的偏離量。

1.2 橢球基螺旋面方程

p(xg，yg，zg)=(0，0，R)為橢球螺旋線上任一嚙合點(diǎn)，由式(1)得球基螺旋線方程為

式中:R為經(jīng)點(diǎn)p的一個(gè)截面圓，其圓心oh到點(diǎn)p的距離在水平面上投影值。

如果橢球砂輪法剖面齒輪為漸開線齒廓，則在xgogzg坐標(biāo)面內(nèi)的當(dāng)量齒輪齒廓方程為

式中:r0b為橢球砂輪當(dāng)量齒輪基圓半徑;ψ為自變量;λ為橢球砂輪當(dāng)量齒輪齒廓參變數(shù)，λ=invγ+π/(2z0);γ為軸剖面齒形角。

將式(3)代入式(1)就可推導(dǎo)出當(dāng)量齒輪為漸開線齒廓的橢球基空間螺旋面方程為

1.3 橢球砂輪的螺旋線升角

如圖2所示，p為橢球螺旋面上任一點(diǎn)，其所在的螺旋線方程為式(2)，點(diǎn)p在xoz內(nèi)的投影點(diǎn)為ph(，)，也即op=R(R為p所在水平面圓半徑);由hhh圖示幾何關(guān)系不難求出點(diǎn)p的矢量式，對(duì)點(diǎn)p的矢量式求導(dǎo)，就得到其切向矢量式為

與式(5)所對(duì)應(yīng)的方程組為

圖2中，過點(diǎn)p的端截圓在點(diǎn)p的單位矢量為rop=sinαj+cosαk，對(duì)點(diǎn) p的單位矢量求導(dǎo)，得到點(diǎn) p單位矢量的切線方程為

定義r′p與r′op的矢量夾角ωn為點(diǎn)p所在橢球面螺旋線的螺旋升角，其解析式為

由余弦與正弦的關(guān)系及R=m0Z0/2可得:

式中:m0為橢球砂輪的軸向當(dāng)量齒輪模數(shù)。當(dāng)β=0時(shí)，有ωn=ω0，稱ω0為螺旋線的名義升角;此時(shí)點(diǎn)p位于最大直徑處。因此，若減小β和L值，增大R值就會(huì)使ωn值減小，而ωn值越小，橢球砂輪的理論誤差越小。

2 橢球砂輪的法向等值周節(jié)

2.1 法向不等值周節(jié)對(duì)磨齒的影響

橢球砂輪法剖面的齒輪稱為法向當(dāng)量齒輪，其齒形稱為法向齒形。由于橢球砂輪螺旋線升角沿軸向變化，螺旋線升角越大，其與名義螺旋線升角的差值越大，所以橢球砂輪的法向當(dāng)量齒輪理論上是一個(gè)不等周節(jié)的非圓齒輪，而且每個(gè)齒的齒形也不相同［2］。然而，對(duì)內(nèi)齒圈磨削加工精度影響最敏感、最大的是砂輪法向當(dāng)量齒輪的周節(jié)誤差，所以，要探討把法向不等值周節(jié)轉(zhuǎn)化為法向等值周節(jié)的實(shí)用方法，為此，要從與不等值周節(jié)相關(guān)的幾何量之間的關(guān)系著手研究。

橢球砂輪磨削大內(nèi)齒圈的過程相當(dāng)于其當(dāng)量齒輪與大內(nèi)齒圈的嚙合過程，當(dāng)磨削直齒內(nèi)齒圈時(shí)，砂輪軸線需傾斜一個(gè)安裝角ω0。砂輪法向坐標(biāo)系與軸向坐標(biāo)系相對(duì)關(guān)系如圖3所示。

軸向坐標(biāo)系向法向坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的矩陣為

將式(2)代入式(10)可得到:

令式(11)中yn=0，可整理出:

螺旋線繞砂輪軸線的升程規(guī)律如圖4所示。螺旋線的第1、2、3 圈與法剖面的交點(diǎn)分別為 a、b、c，弧長(zhǎng)就是欲求的法向周節(jié)，即(mn為橢球砂輪法向當(dāng)量齒輪模數(shù))。從圖幾何關(guān)系知，以及=(Rcosβ －L)(2π － α)顯見，橢球砂輪的法向周節(jié)誤差產(chǎn)生的基本原因是其螺旋升角值與名義螺旋升角值不相等。

2.2 法向等值周節(jié)的形成方法

要提高橢球砂輪磨齒質(zhì)量，就要消除其法向齒輪周節(jié)的變化，并減小法向齒形的變化。因此，要找出消除法向周節(jié)誤差的方法，即探討α、β在何條件下變化可實(shí)現(xiàn)砂輪法向周節(jié)保持等值。由前述各弧長(zhǎng)之間的幾何量關(guān)系易得出:

式中，R、L為常數(shù)。要使橢球砂輪法向周節(jié)保持常值，只能在橢球蝸桿的制造過程中找方法。由式(13)可知，當(dāng)橢球蝸桿轉(zhuǎn)過α角時(shí)，為使πmn值不變，加工工具在轉(zhuǎn)過β角基礎(chǔ)上應(yīng)再增加或減少一個(gè)附加轉(zhuǎn)角Δβ，即實(shí)際轉(zhuǎn)過 β′=β ± Δβ，右旋蝸桿取“－”。β′或Δβ值由式(13)解出。法向周節(jié)等值也能使法向齒形差減小。稱這種修正方法為“差動(dòng)轉(zhuǎn)角法”。

2.3 差動(dòng)轉(zhuǎn)角計(jì)算實(shí)例［4］

在自行改造的專用數(shù)控機(jī)床上加工4種橢球蝸桿［4］，蝸桿轉(zhuǎn)過第1、2、3圈時(shí)，工具的理論轉(zhuǎn)角分別為β1、β2、β3;所對(duì)應(yīng)的差動(dòng)轉(zhuǎn)角分別為 β′1、β′2、β′3，其結(jié)果見表1。

表1 滿足法向齒輪等周節(jié)的β′值

3 法剖面當(dāng)量分度圓的圓度控制

3.1 法剖面分度圓的圓度

橢球砂輪法剖面是個(gè)橢圓齒輪，其圓度誤差會(huì)造成被磨削齒輪的齒形誤差，用橢圓齒輪的當(dāng)量分度圓與標(biāo)準(zhǔn)分度圓的差值表示法剖面的“圓度”。橢球砂輪法剖面的當(dāng)量分度圓曲線可由式(2)求得，其坐標(biāo)系可參見圖2。

設(shè)點(diǎn)p(x0，y0，z0)為螺旋線上任一動(dòng)點(diǎn)，由式(10)得到點(diǎn)p在法向坐標(biāo)系的坐標(biāo)為

令yn=0，并依據(jù)與式(2)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可求得砂輪的橢球面在其法向面的投影方程為

由上述可知，法剖面內(nèi)的圓度誤差隨法剖面當(dāng)量齒輪齒數(shù)zn增大而減小，隨著偏離量L值增大而增大。因此，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)綜合考慮zn和L值。當(dāng)L=0時(shí)，橢球砂輪成為球形砂輪，理論上講，球形砂輪不存在法剖面內(nèi)圓度誤差［3］。

3.2 法剖面圓度誤差量計(jì)算

依據(jù)yn=0與式(14)可得到:

因?yàn)棣?、L、R通常為常數(shù)，任給一個(gè)β就可由式(16)解出一個(gè)α，再將β和α代入式(15)就可求出橢球面上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。如果給出一系列β和α值，就可得到橢球體的法剖面截曲線，該截曲線理論上是以距橢球幾何形心距離為L(zhǎng)的一點(diǎn)為圓心，以R為半徑的圓?。?］。如果用ΔR表示圓度誤差值，計(jì)算式為:

通過計(jì)算結(jié)果可知，距離z軸越近的點(diǎn)其圓度誤差越?。?］，也就是說橢球砂輪的軸向尺寸越小(砂輪越短)，其圓度誤差越小。

4 結(jié)語(yǔ)

提出了橢球形蝸桿砂輪，闡述了橢球砂輪磨削硬齒面大內(nèi)齒圈的機(jī)理，歸納出橢球砂輪比球形砂輪更優(yōu)勢(shì)依據(jù)。通過坐標(biāo)變換求得橢球砂輪螺旋面方程，給出橢球砂輪螺旋升角計(jì)算式，指出螺旋升角越小，橢球砂輪幾何誤差越小。由于橢球砂輪螺旋升角大于球砂輪螺旋升角，所以，橢球砂輪在誤差控制方面難于球形砂輪。

探討了橢球砂輪兩個(gè)棘手問題:法剖面當(dāng)量齒輪周節(jié)的不等值性;法剖面當(dāng)量分度圓的圓度誤差。給出了在橢球砂輪制造過程用“差動(dòng)轉(zhuǎn)角法”將法向不等值周節(jié)轉(zhuǎn)化為等值周節(jié)的方法。給出了控制法剖面圓度誤差的措施。

［1］崔云起，胡占齊，李宇鵬.球形滾刀的理論研究［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，1996，32(2).

［2］崔云起，胡占齊，王海艷，等.橢球形滾刀若干理論問題［J］.工具技術(shù)，2009，43(8).

［3］李宇鵬.球形蝸桿砂輪的磨齒原理及其球基螺旋面參數(shù)［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2002，38(6).

［4］崔云起，胡占齊，等.球形及橢球形滾刀及其數(shù)控鏟磨機(jī)床究［J］.機(jī)床與液壓，2009，37(12).