彭朝暉,甘 柳,晏小兵

0 引言

在風險理論中，古典風險模型經(jīng)過較長時間的完善和補充，已經(jīng)成為最完美的風險理論。而古典風險模型中，索賠來到過程是一個Poisson過程,Poisson過程的一個重要性質是均值等于方差,但在保險公司的實際運作中是難以具備這樣的性質的。為了使模型更加符合實際,不少人對索賠來到過程進行了推廣，其中文獻[1]提出了一類稱為復合Poisson-Geometric過程的計數(shù)過程,建立了如下模型:

其中，U(t)為保險公司在t時刻的盈余量,c為單位時間內收取的保費,u≥0為公司的初始盈余,{N(t);t≥0}是參數(shù)為λ、ρ的復合Poisson-Geometric過程,Xi表示第i次索賠額。針對模型(1),文獻[1]給出了其破產(chǎn)概率所滿足的更新方程,并在索賠額Xi服從指數(shù)分布時,得到了破產(chǎn)概率的顯示表達式;文獻[2]在索賠分布Xi為相位分布的情況下,得到了破產(chǎn)概率的顯示表達式,并進行了數(shù)值計算;文獻[3]得到了Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)。

隨著保險公司經(jīng)營規(guī)模的不斷擴大，險種日益呈現(xiàn)多元化，近年來也有不少研究了多險種的風險模型，例如：文獻[4]對兩個險種的索賠到達過程均為齊次Poisson過程的風險模型進行了研究，得到了破產(chǎn)概率的近似表達；文獻[5]和[6]在此基礎上對將各個險種的保費收入過程{ct;t≥0}推廣為Poisson過程或復合Poisson過程；在此基礎上文獻[7]將保費收入過程推廣為兩個獨立復合Poisson過程之和；文獻[8]則將文獻[5]～[7]納入一個框架之下，即它們都可以表示成為兩個獨立的譜正Lévy過程的差，并研究了這一類模型的首達時的性質和生存概率的Pollaczek-Khinchin公式。

本文擬建立一類雙險種風險模型，一個險種的索賠來到過為復合Poisson-Geometric過程，另一個險種的索賠來到過程的時間間隔服從廣義的Erlang(n)分布。然后得到Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)所滿足的積分微分方程,利用鞅方法得到了該模型的Lundberg方程,并且利用Laplace變換給出初始資本為0時的Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函的精確解。

1 模型定義

我們考慮如下模型：

其中，{X(1)i,i=1,2,…}和{X(2)j,j=1,2,…}分別為兩相互獨立的隨機變量序列,其分布函數(shù)分別為F(x)和G(x),密度函數(shù)分別為 f(x)和g(x),均值為 μ1和 μ2。{N1(t);t≥0}是參數(shù)為λ,ρ的復合Poisson-Geometric過程,{N2(t);t≥0}獨立于{N1(t);t≥0},是一個更新過程,其來到的時間間隔{Vi}i≥1,這里假設{}Vii≥1服 從 廣 義 的 Erlang(n)分 布,參 數(shù) 為λ1,λ2,…,λn,即Vi可以分解為Vi=Vi1+Vi2+…+Vin。其中Vij服從均值為1λj的指數(shù)分布。

為了保證保險公司經(jīng)營穩(wěn)定,單位時間內的保費收入應大于其單位時間內的理賠,即：

本文恒設式(3)成立。

定義1 設 λ＞0,0≤ρ＜1,稱 {N(t);t≥0}是參數(shù)為 λ,ρ的復合Poisson-Geometric過程,如果

(1)N(0)=0;

(2){N(t);t≥0}具有平穩(wěn)獨立增量;

(3)對 t≥0有 N(t)～PG(λt,ρ)

設保險公司初始準備金為u,破產(chǎn)時刻為Tu=inf{t≥0|u+X(t)＜0}。相應的最終破產(chǎn)概率定義為ψ(u)=P(Tu＜∞|U(0)=u)。

我們定義一個隨機變量M,M=m如果破產(chǎn)是由第m(m=1,2)個險種的索賠導致的。這樣破產(chǎn)概率ψ(u)就可以分解為ψ(u)=ψ1(u)+ψ2(u),這里

ψm(u)=P(Tu＜∞,M=m|U(0)=u)（u≥0,m=1,2)

設ω(x),x＞0為一非負函數(shù),定義如下折現(xiàn)罰金函數(shù)

φm(u)=E[e-δTω( ||U(T)I(T＜∞,M=m)|U(0)=u],(u≥0 ；m=1,2)

2 Gerb er-Sh iu折現(xiàn)罰金函的積分微分方程

因為Vi=Vi1+Vi2+…+Vin,其中Vij服從均值為1λj的指數(shù)分布,對于時間段Vi。假設0時刻開始時,處于時間段V1中的第 j個小時間段V1j(j=1，2，…，n),稱這個小時間段為狀態(tài),這樣由指數(shù)分布,從狀態(tài) j轉移到 j+1的強度為λj；從狀態(tài)n轉移到狀態(tài)1的強度為λn。

假設φm,j(u)表示處于狀態(tài) j時,最終由第m(m=1,2)個險種的索賠導致破產(chǎn)的模型的折現(xiàn)罰金函數(shù)。下面推導φm,j(u)所滿足的積分微分方程。假設開始處于狀態(tài)j，j=1,2,…,n-1,對于充分小的時間Δt,我們考慮(0,Δt]內的情況,分成四種:①第二個險種無狀態(tài)轉移,第一個險種無索賠；②第二個險種無狀態(tài)轉移,第一個險種發(fā)生索賠；③第二個險種發(fā)生狀態(tài)轉移,第一個險種無索賠；④第二個險種狀態(tài)轉移,第一個險種發(fā)生索賠。于是有：

化簡并利用文獻[1]引理6,我們得到：

其中：ωf(u)=∫0uω(x-u)f(x)dx

當處于狀態(tài)n時,我們有：

化簡得到

利用同樣的方法,我們可以得到：

3 Lun d berg方程

記 τ0=0，τk=∑ki=1Vi為第二個險種第k次索賠來到的時刻 ，令 U0=u ，對于 k=1,2,…，Uk=U(τk)=u+cτk-為第二個險種第k次索賠后的盈余過程。下面我們找一個 s使得 {e-δτk+sUk;k=0,1,2…}是一個鞅,容易得到：

又因為

所以鞅條件為：

我們把式(8)稱為模型(2)的Lundberg方程。容易看出當λ=0,ρ=0 時,式(8)退化為文獻[9]中的情況。

定理1 δ＞0時式(8)有n個根s1,s2,…,sn,且Re(si)＞0。

令 Aδ(s)=Λδ(s)+B(s),這樣 ||Aδ(s)=0 就等價于式(8)。利用文獻[10]、[11]中的方法，令 Aδ(s,u)=Λδ(s)+uB(s),δ＞0時,用?表示半徑為R的區(qū)域(包括邊緣),其中.下面證明,當0≤u≤1時, | Aδ(s,u)|≠0,當s∈?。因為i=1,2,…,n-1時有：

同理i=n時：

上述不等式表明 | Aδ(s,u)| ≠0,當 s∈?ˉ。具體證明過程參見文獻[12]。

下面定義函數(shù) f(u)為 | Aδ(s,u)|=0在區(qū)域 ?+(?的內部)根的個數(shù),這樣就有

因此,f(u)是[0,1]上的取整連續(xù)函數(shù),且為常數(shù)。因為|Λδ(s)|=0 有n個根，為。故 f(0)=n。這樣就有 f(1)=n。

4 初始資本為0時的Gerb er-Sh iu折現(xiàn)罰金函的精確解

先定義如下的Laplace變換：

對等式(4)和(5)利用Laplace變換得到：

我們記

其中I1的n個元素都為1,I2最后一個元素為1,其余為0。又因為

由文獻[1]引理6,知上式后一個等式的∫和∑ 交換順序是可以的。于是

這樣上述等式就可以寫成如下矩陣形式：

解式(9)得到：

其中,A*δ(s)為 Aδ(s)的伴隨矩陣。

同樣的,對等式(6)和(7)利用Laplace變換,寫成矩陣形式后得到：

解式(11)得到：

定理2如果(8)式有n個不同的根,則φ1(0),φ2(0)的精確表達式為：

證明：因為 ||Aδ(si)=0（i=1,2,…,n）所以存在非0向量,使得 ATδ(si)=0→ ，將左乘式(9)得到：

其中, ξδ(si)=ξi1+ξi2+…+ξin（i=1,2,…,n)。利用克萊姆法則有：

其中,Dm1是矩陣D去掉第一列和第m行后剩下元素組成的矩陣。

將上面兩個展開式代入到式(15)就有：

同理可以得到φ2(0)的精確表達式。

[1]毛澤春,劉錦萼.索賠次數(shù)為復合Poisson-Geometric過程的風險模型及破產(chǎn)概率[J].應用數(shù)學學報,2005,26(3).

[2]毛澤春,劉錦萼.索賠次數(shù)為復合Poisson-Geometric過程下破產(chǎn)概率的顯式表達[J].中國管理科學,2007,15(5).

[3]廖基定,龔日朝,劉再明,鄒捷中.復合Poisson-Geometric風險模型Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)[J].應用數(shù)學學報,2007,30(6).

[4]蔣志明，王漢興．一類多險種風險過程的破產(chǎn)概率[J].應用數(shù)學與計算數(shù)學學報，2000,14(1).

[5]董亞娟，朱勇華.保險系統(tǒng)中一種推廣風險模型的破產(chǎn)概率[J].數(shù)學的實踐與認識,2004,34(6).

[6]趙曉芹,劉再明.廣義二元復合Poisson風險模型破產(chǎn)概率的估計[J].統(tǒng)計研究,2008,25(5).

[7]王晶剛，劉再明，周勇衛(wèi).保險系統(tǒng)中一類雙險種風險模型的破產(chǎn)概率[J].數(shù)學理論與應用,2005,25(1).

[8]趙永霞，尹傳存.經(jīng)典風險模型的推廣[J].應用概率統(tǒng)計，2009,25(4).

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[10]de Smit,J.The Queue GI/M/s with Customers of Different Types or the Queue GI/Hm/s[J].Advancesin Applied Probability，1983，（15）.

[11]I.Adan,V.Kulkarni.Single-sever Queue with Markov Dependent In Terarrival and Service Times[J].Queueing Systems，2003，（45）.

[12]M.Marcus,H.Minc.A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities[M].Canada:General Publishing Company,1964.