樊冬艷,姚 軍,王子勝

(中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院,山東青島266555)

基于有限元的低滲透油藏水平井試井分析

樊冬艷,姚 軍,王子勝

(中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院,山東青島266555)

針對低滲透油藏滲流普遍存在啟動壓力梯度的特點(diǎn),建立考慮啟動壓力梯度的盒狀油藏水平井不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型。利用伽遼金有限元方法得到水平井井底壓力數(shù)值解,并與經(jīng)典的Odeh解析解對比驗(yàn)證本數(shù)值算法的正確性。結(jié)果表明:啟動壓力梯度存在時,水平井壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線都呈上翹趨勢,且啟動壓力梯度越大,曲線上翹越明顯,即所需壓差越大;啟動壓力梯度對壓力導(dǎo)數(shù)的影響是一個逐漸抬升的過程,與壓力波傳播到周圍邊界而引起的曲線上升有著本質(zhì)上的不同。

水平井;低滲透油藏;啟動壓力梯度;有限元方法;試井分析

國內(nèi)外大量的室內(nèi)試驗(yàn)和礦場實(shí)踐表明,低滲透油藏中的滲流不符合經(jīng)典的達(dá)西定律,而存在啟動壓力梯度[1-4]。姚軍等[5-6]得出啟動壓力梯度對低滲透油藏水平井產(chǎn)能有較大影響的結(jié)論,而國內(nèi)外對水平井試井解釋理論的研究幾乎都沒有考慮啟動壓力梯度的影響[7-12]。因此,筆者在前人研究的基礎(chǔ)上,建立存在啟動壓力梯度的水平井試井解釋數(shù)學(xué)模型,利用有限元方法進(jìn)行數(shù)值求解,與經(jīng)典的Odeh解析解進(jìn)行對比,驗(yàn)證數(shù)值算法的準(zhǔn)確性并進(jìn)行動態(tài)分析。

1 滲流模型的建立

1.1 物理模型

盒狀油藏內(nèi)有一水平井,如圖1所示。油藏在x、y、z3個方向的長度分別為a、b、h,水平井長度為L。

假設(shè):盒狀油藏均質(zhì)各向異性,各方向滲透率分別為kx、ky和kz;油藏外邊界封閉,中部有一口與頂、底面平行的水平井;水平井以定產(chǎn)量生產(chǎn),沿著水平井長度流量均勻分布,壓力非均勻分布;巖石和流體均微可壓縮,且壓縮系數(shù)為常數(shù);流體遵循具有啟動壓力梯度的非達(dá)西滲流規(guī)律。

圖1 盒狀油藏一水平井示意圖Fig.1 Schetch map of a horizontal well in box-shaped reservoir

1.2 數(shù)學(xué)模型

流體服從具有啟動壓力梯度的非達(dá)西流,運(yùn)動方程為

式中,λx、λy、λz分別為x、y、z方向的啟動壓力梯度,10-1MPa/s;vx、vy、vz分別為原油在x、y、z方向的流速,cm/s;μ為原油黏度,mPa·s;p為井底壓力,10-1MPa。

?p/?l(l=x、y、z)與λl同號,說明由于啟動壓力梯度的作用使得滲流速度降低。

狀態(tài)方程為

式中,φ為地層孔隙度,%;ρ為原油密度,g/cm3;pi為原始地層壓力,10-1MPa;φ0和ρ0分別為原始地層壓力下的地層孔隙度和原油密度;CL和Cp分別表示流體和孔隙的壓縮系數(shù),10 MPa-1。

連續(xù)性方程為

式中,q為單位時間單位體積內(nèi)采出的流體體積,s-1。

把水平井考慮為三維空間中的線源,以盒狀油藏的頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,則水平井兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)為(a/2,b/2-L/2,h/2)和(a/2,b/2+L/2,h/2),水平井上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(a/2,y′,h/2),其中b/2-L/2≤y′≤b/2+L/2。把式(1)、(2)代入式(3)得到低滲透油藏的擴(kuò)散方程為

式中,Ct為綜合壓縮系數(shù),10 MPa-1。

初始條件為

邊界條件為

若假定kx=ky=kh,kz=kv,令

則低滲透油藏水平井試井解釋數(shù)學(xué)模型變?yōu)?/p>

以上方程中q是指水平井任一點(diǎn)的流量,考慮水平井為均勻流量下的線源,故水平井的總流量Q=qL。

2 數(shù)學(xué)模型的求解

應(yīng)用Galerkin(伽遼金)方法推導(dǎo)有限元積分方程,時間上采用向后差分方式。選擇四面體單元作為母單元,并采用二次插值函數(shù),其中4個角點(diǎn)和6個棱內(nèi)中點(diǎn)作為單元的節(jié)點(diǎn),對于每個單元e的壓力可用這10個節(jié)點(diǎn)處的值表示為

其中

式中,Ni為單元上的二次插值函數(shù);Li(i=1,2,3,4)為頂點(diǎn)的面積坐標(biāo)。

圖2所示為每個單元的節(jié)點(diǎn)排序,油藏節(jié)點(diǎn)的整體排序按優(yōu)化帶寬的原則來處理。

圖2 四面體單元示意圖Fig.2 Sketch map of tetrahedron element

單元特性分析:

外邊界封閉,則

于是單元e的有限積分方程為

對于i=1,2,…,10寫成矩陣的形式為

其中

令

則式(4)轉(zhuǎn)化為

假定

則單元方程組轉(zhuǎn)化為

存在源匯項(xiàng)的單元方程組為

其中

通過組裝整體矩陣和列陣,建立相應(yīng)的整體方程組,求解方程組便能得到各個時刻的壓力值。為了保證計算精度,需對水平井周圍的網(wǎng)格進(jìn)行加密處理,同時為了減少計算工作量,時間采用指數(shù)形式遞增。

3 計算結(jié)果的對比驗(yàn)證及分析

水平井采用的是均勻流量模型,所以沿水平井筒上各處的壓力不完全相等,一般取yD=0.7L處的壓力作為水平井底的壓力值[13]。

3.1 數(shù)值算法正確性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本算法結(jié)果的正確性,不考慮啟動壓力梯度,與常用經(jīng)典的Odeh模型解析解進(jìn)行對比。對Odeh模型[7-8]進(jìn)行相應(yīng)的無因次化處理,作典型曲線,如圖3所示。油藏和水平井參數(shù)取值為aD=12,bD=12,hD=0.2,LD=1。由圖3可見該模型在沒有考慮啟動壓力梯度情況下與Odeh解析解計算結(jié)果吻合得很好,說明該數(shù)值算法切實(shí)可行。

圖3 本文模型與Odeh模型壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線對比Fig.3 Comparison of pressure and pressure derivative responses between thismodel and Odeh model

3.2 啟動壓力梯度對水平井壓力響應(yīng)的影響

考慮啟動壓力梯度的影響,油藏和水平井參數(shù)取值同上,油藏各向同性,即β=1。不同無因次啟動壓力梯度下低滲水平井井底壓力動態(tài)如圖4所示。

圖4 不同啟動壓力梯度時水平井壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線Fig.4 Effect of TPG on pressure and pressure derivative curves for horizontal well

由圖4可見水平井的基本流動形態(tài)分為早期徑向流、早期線性流、晚期擬徑向流以及到達(dá)邊界以后的擬穩(wěn)態(tài)流動。此時aD=bD,壓力波幾乎同時到達(dá)周圍邊界,故沒有出現(xiàn)晚期的擬線性流。當(dāng)啟動壓力梯度存在時,壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線都表現(xiàn)出上翹趨勢,時間越長,與不考慮啟動壓力梯度曲線相差越明顯;當(dāng)啟動壓力梯度(M)越大時,壓力與壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹越厲害,定產(chǎn)量生產(chǎn)時所需井底壓差就越大。

3.3 啟動壓力梯度與邊界的影響

由于啟動壓力梯度的影響主要表現(xiàn)在后期,與盒狀油藏封閉邊界對壓力的影響類似,但這兩個因素對壓力響應(yīng)的影響又完全不同。如圖5所示,首先,啟動壓力梯度對壓力響應(yīng)的影響是一個持續(xù)的過程,在晚期表現(xiàn)得更為明顯,故它呈現(xiàn)的是一個逐步上翹的曲線,時間越長曲線偏離得越厲害。但是,如果壓力波傳播到周圍邊界,當(dāng)aD=bD時,壓力波同時到達(dá)邊界,不存在晚期的擬線性流動階段,從晚期擬徑向流直接進(jìn)入擬穩(wěn)態(tài)流動,在壓力導(dǎo)數(shù)曲線上表現(xiàn)為直線斜率由0直接過渡到斜率為1;當(dāng)aD≠bD時,水平井在進(jìn)入擬穩(wěn)態(tài)之前會出現(xiàn)晚期的擬線性流,再過渡到擬穩(wěn)態(tài)流動,在壓力導(dǎo)數(shù)曲線上表現(xiàn)為由斜率0的直線過渡到斜率為1/2的直線,再最后過渡到斜率為1的直線。

圖5 啟動壓力梯度影響與邊界影響下壓力導(dǎo)數(shù)曲線對比Fig.5 Comparison of effect of TPG and reservoir boundary on pressure derivative curves

4 結(jié) 論

(1)低滲透油藏啟動壓力梯度存在時,水平井壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線都表現(xiàn)出上翹趨勢;啟動壓力梯度越大,曲線上翹越厲害,即定產(chǎn)量生產(chǎn)時井底所需壓差就越大。啟動壓力梯度對壓力導(dǎo)數(shù)曲線是一個持續(xù)影響的過程,與壓力波到達(dá)邊界產(chǎn)生的壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹原理完全不同。

(2)考慮啟動壓力梯度的影響,不能直接利用Duhanmel原理考慮井筒存儲系數(shù)和表皮效應(yīng)的影響?？紤]啟動壓力梯度的變流量情況下的壓力公式需要進(jìn)一步研討。

[1] 戈?duì)柌贾Z夫A T,張樹保.異常油田開發(fā)[M].北京:石油工業(yè)出版社,1987.

[2] 閆存章,李陽.低滲透油田開發(fā)技術(shù)文集[M].北京:石油工業(yè)出版社,2008.

[3] 徐紹良,岳湘安.低速非線性流動特性的實(shí)驗(yàn)研究[J].中國石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,31(5):60-63.XU Shao-liang,YUE Xiang-an.Experimental research on nonlinear flow characteristics at low velocity[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science),2007,31(5):60-63.

[4] 熊偉,雷群,劉先貴,等.低滲透油藏擬啟動壓力梯度[J].石油勘探與開發(fā),2009,36(2):232-236.X IONG Wei,LEI Qun,L IU Xian-gui,et al.Pesudo threshold pressure gradient to flow for low permeability reservoirs[J].Petroleum Exploration and Development,2009,36(2):232-236.

[5] 姚軍,劉順,胥元剛.低滲透油藏水平井流入動態(tài)關(guān)系的建立[J].中國石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,32(4):64-72.YAO Jun,L IU Shun,XU Yuan-gang.Establishment of inflow performance relationship of horizontal wells in lowper meability reservoir[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science),2008,32(4):64-72.

[6] 趙靜.低滲透油藏水平井流入動態(tài)及影響因素[J].西南石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2009,31(2):90-92.ZHAO Jing.Inflow performance and affecting factor of horizontal wells in low permeability reservoir[J].Journal of Southwest Petroleum Unversity(Science&Technology Edition),2009,31(2):90-92.

[7] BABU D K,ODEH Aziz S.Productivity of a horizontal well[R].SPE 18298,1989.

[8] BABU D K,ODEH Aziz S.Appendices A and B of SPE18298[R].SPE 18334,1989.

[9] ODEH Aziz S,BABU D K.Transient flow behavior of horizontal wells:pressure drawdown and buildup analysis[R].SPE 18802,1990.

[10] ISSAKA M B,AMBASTHA A K.Drawdown and buildup pressure deriwative analyses for horizontal wells[R].SPE 24323,1992.

[11] 姚軍,李愛芬,陳月明,等.盒狀砂巖油藏中水平井試井分析方法[J].石油學(xué)報,1997,18(3):105-109.YAO Jun,L IAi-fen,CHEN Yue-ming,et al.Transient pressure analysis for horizontal well in box-shaped reservoir[J].Acta Petrolei Sinica,1997,18(3):105-109.

[12] 王德山,李兆敏,聶立新.水平分支井試井解釋方法研究[J].西南石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,29(1):70-74.WANG De-shan,L I Zhao-min,N IE Li-xin.Well test interpretation method for horizontal multilateral wells[J].Journal of Southwest Petroleum Unversity(Sicence&Technology Edition),2007,29(1):70-74.

[13] DAV IAU F,MOURONVAL G,BOURDAROT G,et al.Pressure analysis for horizontal wells[R].SPE 14251,1988.

(編輯 李志芬)

Horizontal well testing analysis in low-permeability reservoirs based on finite element method

FAN Dong-yan,YAO Jun,WANG Zi-sheng

(College of Petroleum Engineering in China University of Petroleum,Q ingdao266555,China)

Considering the threshold pressure gradient(TPG)phenomenon in low-permeability reservoirs,a mathematical unsteady flow model of horizontal well with TPG was established in box-shaped reservoir.The numerical solution of bottom pressure of horizontal well was obtained by using the Galerkin finite element method,which was verified by comparing with the classic Odeh solution.The results show that the horizontal well pressure and its derivative curves present an upward tendency when the TPG is considered.And the bigger the TPG,the more severe the curves upturned,namely,the greater pressure difference is required.Meanwhile,the effect of TPG on pressure derivative increases gradually,which is essentially different from the curve upturned when the pressure reaches the surrounding boundary.

horizontal well;low-per meability reservoir;threshold pressure gradient;finite element method;well testing analysis

TE 353

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2011.02.014

2010-05-20

國家“973”重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃項(xiàng)目(2006CB202400)

樊冬艷(1985-),女(漢族),江西南昌人,博士研究生,主要從事低滲透油藏水平井滲流理論及試井分析研究。

1673-5005(2011)02-0080-05