馬新仿

(中國石油大學石油工程教育部重點實驗室，北京102249)

水力壓裂參數(shù)優(yōu)化的解析方法

馬新仿

(中國石油大學石油工程教育部重點實驗室，北京102249)

提出一種在支撐劑注入量受限的情況下(如海上油田的水力壓裂)，以無因次生產(chǎn)指數(shù)最大化為目標的水力壓裂裂縫參數(shù)優(yōu)化的解析方法。建立無因次生產(chǎn)指數(shù)、無因次裂縫導流能力和裂縫長度三者之間的解析關(guān)系式，用來確定最大無因次生產(chǎn)指數(shù)及其所對應(yīng)的最佳裂縫長度。所提方法計算簡單、方便、快捷。實例計算結(jié)果表明，在注入支撐劑質(zhì)量和地層條件一定的情況下，水力壓裂所形成的裂縫存在唯一的裂縫長度和寬度組合，使得無因次生產(chǎn)指數(shù)具有最大值。

水力壓裂;參數(shù)優(yōu)化;無因次生產(chǎn)指數(shù);裂縫長度;支撐劑

水力壓裂是油氣井增產(chǎn)增注的主要措施，為了進一步提高壓裂效果，必須優(yōu)化水力壓裂的裂縫參數(shù)，使油氣井產(chǎn)能最大［1-2］。目前水力壓裂裂縫參數(shù)的優(yōu)化主要以凈現(xiàn)值(NPV)為目標，該方法的特點是為了充分發(fā)揮儲層的生產(chǎn)潛能，一定程度上盡可能增加支撐劑的用量，以此來增加裂縫長度。但是，在某些情況下，如海洋油田的水力壓裂，由于條件的限制，支撐劑的用量有限，不能象陸上油田為追求油井產(chǎn)能而加大支撐劑的用量，這就需要在支撐劑質(zhì)量受限的情況下所形成的水力裂縫能最大程度發(fā)揮儲層的產(chǎn)能，使油井的生產(chǎn)達到最優(yōu)。如果支撐劑質(zhì)量或體積一定，在地層中所形成的裂縫的體積是一定的。在裂縫高度一定的情況下，裂縫長度和裂縫寬度就成了裂縫體積資源的爭奪者，裂縫長度越大，則裂縫寬度越小，而不同的裂縫長度和寬度對應(yīng)不同的油井產(chǎn)能，這就存在一個最佳的裂縫長度，使油氣井的產(chǎn)能最優(yōu)［3-7］。筆者在引入無因次生產(chǎn)指數(shù)和無因次裂縫導流能力的基礎(chǔ)上，建立無因次生產(chǎn)指數(shù)與無因次裂縫導流能力、裂縫長度三者之間的關(guān)系式，得到在支撐劑質(zhì)量一定的情況下，以無因次生產(chǎn)指數(shù)最大化為優(yōu)化目標的水力壓裂裂縫參數(shù)優(yōu)化的解析方法。

1 基本假設(shè)條件

(1)圓形封閉油藏中間一口井，生產(chǎn)時流體作擬穩(wěn)定滲流(如圖1);

圖1 油藏及垂直裂縫模型示意圖Fig.1 Sketch map for reservoir and vertical fracture model

(2)裂縫為垂直縫，裂縫面等效為矩形面，關(guān)于井筒對稱分布，且裂縫具有有限導流能力;

(3)裂縫高度等于或大于油層有效厚度，裂縫寬度為常數(shù);

(4)水力壓裂時給定注入支撐劑的質(zhì)量，支撐劑在裂縫中的孔隙度和滲透率保持不變。

2 計算公式推導

對于圓形封閉油藏，即泄油邊緣上沒有液體流過，擬穩(wěn)態(tài)條件下的生產(chǎn)指數(shù)公式［8］為

式中，ko為油層有效滲透率，μm2;Bo為原油體積系數(shù);h為油層有效厚度，m;μo為地層油的黏度，mPa·s;re為油井供油(泄油)邊緣半徑，m;rw為井眼半徑，m;s為表皮系數(shù);a為采用不同單位值的換算系數(shù)。

為了減小流體和地層性質(zhì)等因素對生產(chǎn)指數(shù)的影響，引入擬穩(wěn)態(tài)條件下的無因次生產(chǎn)指數(shù)［9］，其表達式為

對于水力壓裂井，可以把裂縫效應(yīng)綜合考慮到表皮效應(yīng)中，用擬表皮系數(shù)表示，則無因次生產(chǎn)指數(shù)的表達式可以變?yōu)?/p>

式中，sf為考慮裂縫存在時的擬表皮系數(shù)。

對式(3)進行適當?shù)淖儞Q，得

引入無因次導流能力［9］，即

式中，kf和k分別為裂縫和地層的滲透率，μm2;xf和w為分別為裂縫的單翼縫長和縫寬，m。

在注入支撐劑質(zhì)量一定的條件下，水力壓裂所形成的裂縫體積一定。根據(jù)假設(shè)條件和實際形成的裂縫高度hf，可以計算形成的單翼裂縫在油層厚度內(nèi)的體積為

式中，Vf為單翼裂縫在油層厚度內(nèi)的體積，m3;m為注入支撐劑的質(zhì)量，kg;ρprop為注入支撐劑的密度，kg/m3;φp為裂縫內(nèi)的支撐孔隙度。

由式(5)和(6)可以得到

將式(7)代入式(4)中，并進行適當變換，得到無因次生產(chǎn)指數(shù)的最終表達式為

對于給定的油藏條件和注入支撐劑的質(zhì)量，式(8)中分母的前3項為常數(shù)。令函數(shù)F(CfD)=0.5lnCfD則式(8)變?yōu)?/p>

如果要求壓裂后油氣井的產(chǎn)能最大，也就是要求壓裂后的無因次生產(chǎn)指數(shù)JD最大，由式(8)和(9)可知，只有函數(shù)F(CfD)最小時才成立。

Economides等［9］通過對Cinco－Ley曲線［10］的分析，回歸得到了如下表達式:

其中

于是

3 函數(shù)F(CfD)極小值的計算

3.1 無因次導流能力CfD取值范圍的確定

要確定函數(shù)F(CfD)的最小值，首先要確定CfD的取值范圍。

由式(7)可以得到

由此可見，在給定的假設(shè)條件下，CfD的取值范圍只與裂縫半長xf有關(guān)，與其他因素無關(guān)。所以裂縫半長xf的取值范圍決定了CfD大小。

由圖1可知，裂縫半長xf的最大范圍為穿透全油藏，即最大的裂縫半長xf為油藏半徑re。此時有

當裂縫半長xf最小時，CfD具有最大值。理論上即xf=0時，也就是不壓裂時CfD具有最大值，即

而在實際的水力壓裂施工過程中，裂縫半長不可能為0，為了方便計算，取最小裂縫半長為井筒半徑rw，則

式中，rw為井筒半徑，m。

3.2 函數(shù)F(CfD)極值的確定

為了確定函數(shù)F(CfD)的極值，首先繪制F(CfD)～CfD的半對數(shù)曲線，如圖2。

圖2 函數(shù)F(CfD)～CfD的半對數(shù)曲線Fig.2 Semi-log curve of F(CfD)function to CfD

從圖2中可以看出，CfD在一定范圍內(nèi)取值時，CfD和函數(shù)F(CfD)呈一一對應(yīng)關(guān)系，且函數(shù)F(CfD)具有最小值。根據(jù)式(9)，函數(shù)F(CfD)有最小值時的CfD所對應(yīng)的無因次生產(chǎn)指數(shù)JD有最大值，而根據(jù)式(7)可以計算不同CfD下的裂縫長度xf，說明裂縫長度和無因次生產(chǎn)指數(shù)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，且存在一個最佳的裂縫長度，對應(yīng)于最大的無因次生產(chǎn)指數(shù)。該裂縫長度即為水力壓裂優(yōu)化設(shè)計所需要得到的裂縫長度。

為了得到函數(shù)F(CfD)的最小值及所對應(yīng)的CfD值，對函數(shù)F(CfD)進行一階求導，并令其等于0，即

求解方程(16)可以得到，在圖2曲線范圍內(nèi)，當CfD=1.636時，函數(shù)F(CfD)有最小值，其最小值為1.619。

這說明對任何的水力壓裂作業(yè)，只要其設(shè)計的CfD取值范圍在圖2曲線的取值范圍內(nèi)都有唯一的裂縫長度xf，使得CfD=1.636，也就是有唯一的裂縫長度滿足函數(shù)F(CfD)的最小值1.619，此時無因次生產(chǎn)指數(shù)JD具有最大值。

4 實例計算

為了驗證方法的正確性，選用具體參數(shù)進行計算。其中:油藏半徑400 m，油藏厚度24 m，油藏滲透率0.5×10－3μm2，支撐劑質(zhì)量9 t，支撐劑密度2 650 kg/m3，裂縫孔隙度0.25，裂縫滲透率100 μm2，油井半徑0.1 m。

為了便于比較，這里同時對不同支撐劑質(zhì)量和地層滲透率的情況進行計算。表1是在地層滲透率為0.5×10－3μm2時不同支撐劑質(zhì)量條件下的計算結(jié)果;表2是支撐劑質(zhì)量為9 t時不同地層滲透率下的計算結(jié)果。

表1 不同支撐劑質(zhì)量下的計算結(jié)果Table 1 Calculated results for different proppant mass

表2 不同滲透率下的計算結(jié)果Table 2 Calculated results according to different reservoir permeability

從表1和表2的計算結(jié)果來看，CfD的取值范圍均在圖2曲線的取值范圍內(nèi)，說明在此條件下，CfD和無因次生產(chǎn)指數(shù)JD存在著一一對應(yīng)關(guān)系，這說明裂縫長度xf與無因次生產(chǎn)指數(shù)JD之間存在唯一最佳的裂縫長度，使生產(chǎn)指數(shù)JD最大。

從表2還可以看出，在注入支撐劑量一定的情況下，地層滲透率越大，得到的最佳裂縫越短，地層滲透率越小，裂縫長度越大。這和傳統(tǒng)的“低滲透地層壓長窄縫，高滲透地層壓短寬縫”的觀點一致。同時，地層滲透率越大，得到的最佳無因次生產(chǎn)指數(shù)越小，但滲透率與無因次生產(chǎn)指數(shù)的乘積kJD隨著滲透率的增加而增加，這說明經(jīng)過水力壓裂后高滲透地層具有較大的產(chǎn)量。

為了驗證在不同情況下計算的最佳裂縫長度對應(yīng)的無因次生產(chǎn)指數(shù)最大，分別改變裂縫長度，并計算不同裂縫長度下的無因次生產(chǎn)指數(shù)。圖3是在地層滲透率為0.5×10μm時不同支撐劑質(zhì)量下裂縫長度與無因次生產(chǎn)指數(shù)的關(guān)系曲線。

圖3 不同支撐劑質(zhì)量下xf與JD的關(guān)系Fig.3 Relation between calculated xfand JDfor different proppant mass

圖4是支撐劑質(zhì)量為9 t時不同地層滲透率下的裂縫長度與無因次生產(chǎn)指數(shù)的關(guān)系曲線。

圖4 不同油藏滲透率下xf與JD的關(guān)系Fig.4 Relation between calculated xfand JDfor different reservoir permeability

從圖3和圖4可以明顯看出，在不同條件下，無因次生產(chǎn)指數(shù)最大值所對應(yīng)的裂縫長度都是優(yōu)化計算的最佳裂縫長度，這證明了前面理論和方法的正確性。

5 結(jié)論

(1)建立的無因次生產(chǎn)指數(shù)、無因次裂縫導流能力和裂縫長度三者之間的解析關(guān)系式可以確定不同CfD值所對應(yīng)的函數(shù)F(CfD)的最小值，也就是無因次生產(chǎn)指數(shù)JD的最大值。

(2)實例計算結(jié)果表明，在注入支撐劑質(zhì)量和地層條件一定的情況下，只要CfD的值滿足10－2～105，水力壓裂所形成的裂縫就存在唯一的裂縫長度，使得無因次生產(chǎn)指數(shù)具有最大值。

(3)在同等條件下，地層滲透率越大，得到的最佳無因次生產(chǎn)指數(shù)越小，但滲透率與無因次生產(chǎn)指數(shù)的乘積kJD隨著滲透率的增加而增加，說明經(jīng)過水力壓裂后高滲透地層比低滲透地層具有較大的產(chǎn)量。(4)該方法和常用的數(shù)值模擬方法相比，具有計算簡單、方便、快捷的特點。由于該方法考慮了支撐劑注入質(zhì)量的限制，因此對受施工環(huán)境和條件限制的海洋低滲透油氣田的水力壓裂優(yōu)化設(shè)計有較好的實用性。

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(編輯 修榮榮)

Analytical method for parameter optimization in hydraulic fracturing

MA Xin-fang
(MOE Key Laboratory of Petroleum Engineering in China University of Petroleum，Beijing 102249，China)

An analytical method for optimizing fracture geometry size was presented，which can obtain the maximal dimensionless productivity idex(PI)considering the limited proppant mass.The analytical expression considering the dimensionless PI，dimensionless fracture conductivity and fracture length was given，by which the optimal fracture length and the maximal dimensionless PI can be calculated.This method is more simple，more convenient and faster than simulation.The calculated results show that there is only one optimal fracture length corresponding to the maximal dimensionless PI when the mass of injected proppant is fixed in known formation.

hydraulic fracturing;parameter optimization;dimensionless productivity idex;fracture length;proppant

TE 357.1

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2011.01.020

2010－04－20

“863”國家高科技研究發(fā)展計劃項目(2006AA06Z226)

馬新仿(1972－)，男(漢族)，湖北天門人，副教授，博士，主要從事采油工程理論與技術(shù)以及油氣藏增產(chǎn)改造方面的研究。

1673-5005(2011)01-0102-04