王國(guó)良

（遼寧石油化工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，遼寧撫順113001）

廣義Markov切換系統(tǒng)在有界轉(zhuǎn)移概率下的H∞控制

王國(guó)良

（遼寧石油化工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，遼寧撫順113001）

研究了連續(xù)廣義Markov切換系統(tǒng)在有界轉(zhuǎn)移概率下的H∞控制。通過(guò)采用保守性較小的估計(jì)不等式，得到了連續(xù)廣義Markov切換系統(tǒng)正則，無(wú)脈沖，隨機(jī)穩(wěn)定且具擾動(dòng)系數(shù)γ的充分條件。給出了H∞控制器求解條件。最后，通過(guò)仿真算例驗(yàn)證了所得結(jié)論的有效性。

廣義Markov切換系統(tǒng)； 有界轉(zhuǎn)移矩陣；H∞控制

廣義系統(tǒng)又叫奇異系統(tǒng)，隱式系統(tǒng)，微分代數(shù)系統(tǒng)［1］，由于其較正常系統(tǒng)能更好的描述實(shí)際系統(tǒng)而被廣泛研究。許多實(shí)際系統(tǒng)比如電力和機(jī)械系統(tǒng)都是廣義系統(tǒng)［2－3］。關(guān)于連續(xù)廣義系統(tǒng)的結(jié)果也很多［4－6］。當(dāng)廣義系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有突然變化時(shí)，我們就需要用廣義Markov系統(tǒng)來(lái)描述這種突變，并產(chǎn)生了許多重要的結(jié)果［7－9］。但是，前面所提關(guān)于Markov切換系統(tǒng)的結(jié)果都需要精確的道轉(zhuǎn)移概率。最近，Boukas E K［10］研究了離散Markov切換系統(tǒng)的在有界轉(zhuǎn)移概率下的H∞控制，文獻(xiàn)［11］考慮了連續(xù)廣義Markov切換系統(tǒng)在全部知道或者部分知道轉(zhuǎn)移概率下的鎮(zhèn)定問(wèn)題。

本文重新討論了連續(xù)廣義Markov切換系統(tǒng)在有界轉(zhuǎn)移下的H∞控制問(wèn)題。通過(guò)采用較文獻(xiàn)［10－11］保守性較小的不等式去估計(jì)連續(xù)廣義Markov切換系統(tǒng)中的ETPj，以線性矩陣不等式（LMIs）的形式給出了系統(tǒng)隨機(jī)容許且滿足H∞性能的充分條件［12］，并給出了相應(yīng)的H∞控制器設(shè)計(jì)方法。最后，通過(guò)仿真算例驗(yàn)證了所得結(jié)論的有效性。

符號(hào)說(shuō)明：M＊表示一個(gè)任意矩陣M與其轉(zhuǎn)置之和，即

1 問(wèn)題描述

考慮如下連續(xù)廣義Markov切換系統(tǒng)

其中分別是系統(tǒng)的狀態(tài)，控制輸入，輸出和干擾輸入。矩陣E是奇異矩陣且滿足rank（E）＝r＜n。參數(shù)η（t）是右連續(xù)的Markov鏈，在有限集合S＝｛1，2，…，N｝中取值且轉(zhuǎn)移概率如下：

其中Δt＞0，，而且轉(zhuǎn)移概率λij≥0，任取i，j∈S，i≠j且

為了簡(jiǎn)化描述，對(duì)于η（t）＝i∈S，矩陣Aη（t）簡(jiǎn)記為Ai，等等。

假設(shè)1：系統(tǒng)（1）的轉(zhuǎn)移概率未知但有界，具體如下：

其中i≠j。

從假設(shè)1中，可以看出當(dāng)僅僅知道轉(zhuǎn)移矩陣中

假設(shè)系統(tǒng)（1）中u（t）≡0和ω（t）≡0，并給出如下定義。

定義1［8］：

1）系統(tǒng)（1）是正則的，如果對(duì)每一個(gè)模態(tài)i∈S，多項(xiàng)式det（sE－Ai）都不恒等于零。

2）系統(tǒng)（1）是無(wú)脈沖的，如果對(duì)每一個(gè)模態(tài)i∈S，有det（det（sE－Ai））＝rank（E）。

3）系統(tǒng)（1）是隨機(jī)穩(wěn)定的，如果對(duì)任意初始條件x0和η0，存在正實(shí)數(shù)M（x0，η0）使得式（5）成立：

4）系統(tǒng)（1）是隨機(jī)容許的，如果它是正則，無(wú)脈沖而且隨機(jī)穩(wěn)定。

定義2：給定正實(shí)數(shù)γ＞0，系統(tǒng)（1）隨機(jī)容許且滿足H∞性能，如果系統(tǒng)（1）隨機(jī)容許且

在零初始條件和任何非零ω（t）∈L2［0，∞）成立。

本文H∞控制的目的是設(shè)計(jì)控制器（7），使相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)隨機(jī)容許并且滿足（6）

其中Ki是要設(shè)計(jì)的控制器增益。

引理1：給定正實(shí)數(shù)γ＞0，系統(tǒng)（1）隨機(jī)容許且滿足H∞性能，如果存在矩陣Pi滿足如下LMIs

對(duì)所有模態(tài)i∈S成立。

2 主要結(jié)果

定理1： 給定正實(shí)數(shù)γ＞0，系統(tǒng)（1）在有界概率（4）下隨機(jī)容許且滿足H∞性能，如果存在矩陣Xi和正定矩陣Tij＞0滿足如下LMIs

其中

對(duì)所有模態(tài)i∈S成立。

證明：由式（3）和（4）可知

由式（14）可以得到式（16）蘊(yùn)涵式（13）

注釋1：ETPj在廣義Markov切換系統(tǒng)中是奇異的，并會(huì)給控制器的求解帶來(lái)一些問(wèn)題，文獻(xiàn)［11］通過(guò)不等式的放縮，解決了控制器的求解問(wèn)題。在本文中，通過(guò)不等式（14）來(lái)估計(jì)ETPj。令可以得到所以有即本文采用的不等式要比文獻(xiàn)［11］中方法的保守性小。

定理2：給定正實(shí)數(shù)γ＞0存在控制器（7）使得相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)（1）在有界轉(zhuǎn)移概率（4）下隨機(jī)容許且滿足H∞性能，如果存在矩陣Xi，Yi和正定矩陣Tij＞0滿足如下LMIs

其中對(duì)所有模態(tài)i∈S成立?？刂破髟鲆鎸?duì)所有模態(tài)如下

證明：將定理1中的Ai用Ai＋BiKi替換。結(jié)合式（19），以及利用類似定理1的證明方法，可以得到定理2。

3 數(shù)值算例

例1：考慮形如系統(tǒng)（1）的一個(gè)系統(tǒng)，參數(shù)如下

假設(shè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣如下：

采用文獻(xiàn)［11］的設(shè)計(jì)方法，不論γ取何值，H∞控制器（7）都沒(méi)有解。但是，當(dāng)γ＝1時(shí)，利用定理2，可以得到控制器（7）的增益如下：

4 結(jié)束語(yǔ)

以LMI的形式給出了連續(xù)廣義Markov切換系統(tǒng)隨機(jī)容許且滿足H∞性能指標(biāo)的一個(gè)保守較小的充分條件。基于所得結(jié)果，進(jìn)一步給出了H∞控制器的設(shè)計(jì)方法，即能夠使對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)不但能隨機(jī)容許，而且H∞范數(shù)小于給定的正數(shù)γ。最后通過(guò)一個(gè)仿真算例驗(yàn)證了所給結(jié)果的優(yōu)越性。

［1］Dai L.Singular control systems［M］.Berlin：Springer－Verlag，1989.

［2］Campbell S L.Singular systems of dirential equations［M］.London：Pitman，1980.

［3］Muller P C.Linear mechanical descriptor systems：identification，analysis and design［C］//In：Preprints of IFAC.Conference on control of independent systems.France：Belfort，1997：501－506.

［4］Xu S Y，Dooren P V，Stefan R，et al.Robuststability and stabilization for singular systems with state delay and parameter uncertainty［J］.IEEE transaction on automatic control，2002，47（7）：1122－1128.

［5］Lu G P，Ho D W C.Generalized quadratic stability for continuous－time singular systems with nonlinear perturbation［J］.IEEE transaction on automatic control，2006，51（5）：818－823.

［6］Zhu S Q，Zhang C H，Cheng Z L，et al.Delay－dependent robust stability criteria for two classes of uncertain singular time－delay Systems［J］.IEEE transaction on automatic control，2007，52（5）：880－885.

［7］Wu Z G，Su H Y，Chu J.Delay－dependent control of singular Markovian jump systems with time delay［J］.Optimal control application and methods，2009，30（5）：443－461.

［8］Xu S Y，Lam J.Control and filtering of singular systems［M］.Berlin：Springer－Verlag，2006.

［9］Lam J，Shu Z，Xu S Y，et al.Robustcontrol of descriptor discrete－time Markovian jump systems［J］.International journal of control，2007，80（3）：374－385.

［10］Boukas E K.Control of discrete－time Markov jump systems with bounded transition probabilities［J］.Optimal control application and methods，2009，30（5）：477－494.

［11］Boukas E K.On stability and stabilization of continuous－time singular Markovian swithcing systems［J］.IEE proceeding control theory and applications，2008，2（10）：884－894.

［12］閆俊榮，郭西進(jìn).Delta算子不確定系統(tǒng)的魯棒H2/H∞控制［J］.石油化工高等學(xué)校學(xué)報(bào)，2007，20（3）：29－33.

（Ed.：WYX，Z）

Control of Continuous－Time Singular Markovian Jump Systems With Bounded Transition Probabilities

WANG Guo－liang
（School of Information and Control Engineering，Liaoning Shihua University，F(xiàn)ushun Liaoning113001，P.R.China）

TheH∞control of continuous－time singular Markovian jump systems（SMJSs）with bounded transition probabilities was discussed.Improved sufficient condition for continuous－time SMJSs to be regular，impulse－free and stochastically stable withγ－disturbance attenuation is established via less conservative estimated inequality.The condition for the existence ofH∞controller is established.Finally，an example is presented to show the effectiveness of the proposed approaches.

Singular Markovian jump systems；Bounded transition probabilities；H∞control

.Tel.：＋86－413－6860726；e－mail：gliangwang＠yahoo.com.cn

TP202

A

10.3696/j.issn.1006－396X.2011.01.022

2010－09－26

王國(guó)良（1981－），男，山東濰坊市，講師，博士。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60974004；60904009）。

1006－396X（2011）01－0093－04

Received26September2010；revised15October2010；accepted4November2010