周 峰，張學良，賈庭芳，溫淑花，吳 量

（太原科技大學機械電子工程學院，太原 030024）

在機械產(chǎn)品設計中，與產(chǎn)品相關的確定性因素和不確定因素常因為時間和環(huán)境的變化而發(fā)生細微變化，隨之影響了產(chǎn)品的質(zhì)量，降低了產(chǎn)品的可靠性及使用壽命［1］。常規(guī)可靠性優(yōu)化設計應用了概率理論，將影響產(chǎn)品質(zhì)量的確定性因素和不確定因素處理成不等式概率約束，以此保證其設計要求的可靠度。然而，常規(guī)的可靠性優(yōu)化設計并未能有效地反映出當產(chǎn)品的某些因素在制造和使用的過程中發(fā)生變化時，其質(zhì)量的可靠度也受到了影響。本文在可靠性理論和容差技術的基礎上引入6σ穩(wěn)健設計理論，用以彌補前者的不足之處，在保證要求的可靠度的前提下，使其可靠性對這些因素的微變不十分敏感，提高產(chǎn)品性能的穩(wěn)健性。

1 6σ的穩(wěn)健優(yōu)化設計理念

1.1 6σ穩(wěn)健設計概念

穩(wěn)健設計法又稱三次設計法［2］，是使設計的產(chǎn)品在制造和使用過程中，當產(chǎn)品結(jié)構有關參數(shù)發(fā)生變化，或者在規(guī)定的使用期內(nèi)其結(jié)構發(fā)生老化和變質(zhì)時均能保持產(chǎn)品功能穩(wěn)定的一種工程設計方法?；诖?，摩托羅拉公司為提高產(chǎn)品質(zhì)量，引入了一種現(xiàn)代質(zhì)量管理方法——6σ穩(wěn)健設計［3］。σ即為概率論中的標準差，用以描述結(jié)構參數(shù)偏離程度。6σ穩(wěn)健設計結(jié)合了可靠性理論和容差模型設計方法，它將產(chǎn)品質(zhì)量均值的波動限制在6σ范圍內(nèi)，在滿足各設計要求的情況下，能使得產(chǎn)品的可靠度達到99.9999998%.實質(zhì)是在優(yōu)化過程中，由于結(jié)合了可靠性理論和容差設計模型，使得響應均值遠離了約束，響應偏差減小。該優(yōu)化設計方法考慮了隨機變量的微變化對目標函數(shù)的影響。在優(yōu)化目標函數(shù)的過程中，能夠?qū)⒂绊懏a(chǎn)品質(zhì)量的相關因素控制在許可的范圍內(nèi)。不同σ水平對應不同的可靠度［4］和每百萬件產(chǎn)品缺陷數(shù)，見表1.

表1 各σ水平對應的可靠性和每百萬件產(chǎn)品缺陷數(shù)Tab.1 Sigma level corresponding with the reliability and product defects per million

1.2.1 可靠性概率常規(guī)優(yōu)化設計數(shù)學模型

式中:F（x1，x2，x3，…，xn）—— 常規(guī)目標函數(shù)；

P{·}——約束條件的概率表達；

g（x）——不等式約束函數(shù)；

h（x）——等式約束函數(shù)；

ε—— 微量，ε ＞ 0；

Rg，Rh——不同約束條件的可靠度；

XL，i，XU，i—— 隨機變量 x 的上下限。

1.2.2 6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計數(shù)學模型

式中:m——約束條件數(shù)；

n——σ 水平；

w1，w2—— 權因子；

XL，i，XU，i—— 隨機變量 xi的上下限；

μxi—— 隨機變量 xi的均值；

μy——目標函數(shù)y的均值；

μgi——不同約束條件的均值；

σxi——隨機變量xi的標準差；

σy——目標函數(shù)y的標準差；

σgj——不同約束條件的標準差。

當n=6時，即為6σ穩(wěn)健設計。與常規(guī)確定性優(yōu)化方法相比，6σ穩(wěn)健設計的目標函數(shù)，加入了目標和約束條件的標準差。該方法不但能尋找到目標函數(shù)最優(yōu)解，而且還使得目標對設計參數(shù)變得不敏感。對于各約束，加入約束函數(shù)和設計參數(shù)的標準差，可使得最優(yōu)點在搜索的過程中遠離約束邊界，提升為6σ水平，以有效地增大可靠度，然而，設計參數(shù)的可行域也隨之而減小范圍。因此，要適當擴大設計參數(shù)可行域，就有必要在目標函數(shù)中加入約束條件的標準差。

1.2.3 均值和方差的近似計算

當確定性因素xi～N（）和不確定性因素～N（）彼此獨立時，將設計函數(shù)在均值處展開，取二次項可得目標函數(shù)或約束函數(shù)均值和方差的計算公式［2］:

2 PSO粒子群優(yōu)化算法

無論何種優(yōu)化設計模型都必須采用合適的優(yōu)化算法來獲取最佳的參數(shù)值以達到模型設計的最初目的。文獻［5］表明，如果目標函數(shù)和約束條件的非線性程度高些，現(xiàn)有的一些數(shù)值優(yōu)化軟件（如MATLAB）很難求得最優(yōu)解。很多優(yōu)化設計研究者也都是自行編制適于具體問題的算法來求搜索最優(yōu)解。因此，本文中將采用粒子群算法來搜索最優(yōu)解。

粒子群算法［6］按照個體（粒子）的適應度函數(shù)的大小進行調(diào)整，并利用“群體”和“進化”的概念［7］，讓每個粒子在n維搜索空間中以一定的速度飛行，使每個粒子的位置不斷發(fā)生變化，其飛行速度通過粒子本身飛行過的最好位置和群體中粒子的最好位置進行動態(tài)的調(diào)整。

設Xi=（xi1xi2…xin）為粒子i的在搜索空間中的位置，Vi=（νi1νi2…νin）為粒子 i的飛行速度，Pi=（pi1pi2…pin）為粒子i曾經(jīng)的最好適應值位置，即粒子在其飛行歷史中的最佳位置。

粒子飛行速度及其空間位置迭代方程可表示為:

式中，pij（t）為群體的最佳位置。下標“j”表示粒子的第“j”維；“i”表示粒子i；t表示第 t代；c1，c2加速常數(shù)，一般取值0 ～ 2，r1～ U（0，1），r2～ U（0，1）為彼此獨立的隨機函數(shù)。

PSO粒子群算法初始化步驟:

（1）給出粒子群的數(shù)量N；

（2）在［-xmax，xmax］范圍里各粒子依照均勻分布產(chǎn)生對應的粒子位置xij；

（3）在［-νmax，νmax］范圍里各粒子依照均勻分布產(chǎn)生對應的粒子飛行速度νij；

（4）對任意 i，設 yi=xi.

算法流程:

（1）根據(jù)上述過程，對粒子群的空間位置和飛行速度進行隨機的初始化；

（2）計算各粒子的適應函數(shù)值的大?。?/p>

（3）將各個粒子的適應值與其歷史中的最佳位置的適應值做比較。如果較好，即對單目標優(yōu)化而言，使目標值較小，且符合約束函數(shù)，則將該粒子作為當前的最佳位置；

（4）將各粒子的適應值與群體的最佳位置的適應值做比較。同（3），如果較好，則將其作為當前群體的最佳位置；

（5）據(jù)式（5），式（6）對粒子的飛行速度和空間位置進行迭代調(diào)整；

（6）群體中最佳位置的最優(yōu)值若沒有達到預計中的目標最小值，則返回（2）。

3 實例研究及結(jié)果分析

圖1 圓柱螺旋壓縮彈簧的工作圖Fig.1 The working diagram of cylindrical helical compression spring

3.1 算例

設計一圓柱螺旋壓縮彈簧［7］（見圖1），要求其質(zhì)量最小。彈簧材料為65 Mn，最大工作載荷Pmax為40 N，最小工作載荷為0 N，載荷變換頻率fr為20 Hz，彈簧壽命為104h，彈簧鋼絲直徑d的取值范圍為小于4 mm大于1 mm，中徑D的取值范圍為小于30 mm大于10 mm，工作圈數(shù)n不小于4.5圈，彈簧旋繞比不應小于4，彈簧兩端固定。工作溫度為50℃，彈簧變形量不小于10 mm.

3.2 常規(guī)優(yōu)化模型的建立

3.2.1 確定設計變量

影響彈簧質(zhì)量參數(shù)有彈簧鋼絲直徑d，彈簧中徑D和彈簧有效圈數(shù)n.它們都是彼此獨立的參數(shù)，故取這三個參數(shù)作為設計變量，按連續(xù)設計變量處理:

3.2.2 建立目標函數(shù)

要優(yōu)化的單目標是彈簧重量，要求其最小，圓柱螺旋彈簧的重量可表示為:

式中，r——彈簧材料密度，對于鋼材r=7.8×10-6kg/mm3

n1—— 死圈數(shù)，常數(shù) n1=1.5 ～ 2.5，現(xiàn)取 n1=2.

將已知參數(shù)代入公式，整理得目標函數(shù)為:

3.2.3 約束條件

（1）彈簧的最大切應力發(fā)生在彈簧內(nèi)側(cè)，因此，強度條件約束可表示為:

（2）一般彈簧在確定載荷下會產(chǎn)生一些形變，因此，它需要滿足的剛度條件為:

其中，kF——彈簧剛度。

（3）穩(wěn)定性條件約束［8］

為避免發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，可采取控制高徑比。對兩端固定的彈簧，一般穩(wěn)定性指標b≤5.3，用公式表示為:

其中，H=540d4/D2+1.5d

（4）兩端固定的彈簧不共振條件約束為:

其中，fb—— 自振頻率，fb=3.356 × 105d/nD2

（5）彈簧旋繞比C=D/d，故約束條件為:

其中，依據(jù)題目取C=4.0.

（6）對 d，n，D 的限制

由dmin≤d≤dmax，nmin≤n≤nmax，Dmin≤D≤Dmax，可得約束條件:

3.3 6σ穩(wěn)健優(yōu)化模型的建立

在常規(guī)模型的基礎上，可以很方便建立6σ穩(wěn)健優(yōu)化模型，根據(jù)式（7）確定變量如下:

因此，建立穩(wěn)健優(yōu)化模型如式（16）所示。其中，w1，w2據(jù)實例情況分別取為0.35，0.65.

表2 圓柱螺旋彈簧優(yōu)化計算結(jié)果Tab.2 Experimental results of cylindrical helical spring optimization

3.4 優(yōu)化方法及結(jié)果分析

根據(jù)建立的優(yōu)化設計數(shù)學模型及6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計數(shù)學模型，采用粒子群智能優(yōu)化方法進行尋優(yōu)，并利用Isight集成MATLAB平臺進行可靠度分析。表2給出了常規(guī)優(yōu)化方法和6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計方法的對比。

4 結(jié)論

6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計是融合了可靠性理論和基于容差模型的穩(wěn)健設計理論，充分考慮了有關產(chǎn)品的確定性和不確定因素對產(chǎn)品性能的影響，將設計提高到了6σ水平，使其可靠度達到了近100%，提升了產(chǎn)品性能在這些因素發(fā)生變化時的不敏感性。將該方法應用于圓柱螺旋彈簧的優(yōu)化設計中得到了很好的設計結(jié)果。與常規(guī)優(yōu)化方法結(jié)果相比，彈簧的可靠性和穩(wěn)健性都得到了較大的提高。

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