劉永平 孟鵬飛

（①蘭州理工大學數(shù)字制造技術與應用省部共建教育部重點實驗室，甘肅蘭州 730050;②蘭州理工大學機電工程學院，甘肅蘭州 730050）

巴斯噶蝸線是法國數(shù)學家為解決阿基米德斜向問題而發(fā)明的一種蚌線，這種蝸線在機器中具有獨特的作用，通常作為特定場合使用的凸輪輪廓曲線。巴斯噶蝸線型齒輪就是根據(jù)上述背景提出的，是一種新型的非圓齒輪，即變傳動比齒輪，它以巴斯噶蝸線作為齒輪的節(jié)曲線參數(shù)方程［1］。

文獻［1］的初步研究結果表明，巴斯噶蝸線型齒輪是可以實現(xiàn)變傳動比的。這種齒輪可用于在機床往復運動機構、農用機械（谷物收割機、插秧機分插機構）、紡織機械引緯機構、冶金行業(yè)連鑄機等裝置中，實現(xiàn)周期性往復運動［2］;另外，根據(jù)巴斯噶蝸線的運動特性，這種蝸線型齒輪還可以用于設計微沖擊振動的無曲軸發(fā)動機和壓縮機，具有傳動效率高、運動平穩(wěn)、工作可靠等優(yōu)點。

據(jù)國內外相關資料來看［2－4］，有關巴斯噶蝸線型齒輪及其共軛的非圓齒輪的研究，目前僅局限于簡單的理論分析和計算模擬。本文通過對巴斯噶蝸線型齒輪及其共軛的非圓齒輪的嚙合特性及數(shù)字制造技術研究，為這類齒輪的設計、制造、測量及應用提供較為系統(tǒng)的理論基礎，以進一步拓展非圓齒輪的研究和應用范圍。

1 巴斯噶蝸線的定義及性質

如圖1所示，在極坐標系中，半徑為b/2、圓心為（b/2，0）的發(fā)生圓上任一點的向徑方向上，與該點距離為l的點的軌跡稱為巴斯噶蝸線［5］。其數(shù)學方程為r=bcosθ+l，式中，b為發(fā)生圓的直徑，l為定長。當b和l的取值不同時，巴斯噶蝸線的形狀也不同，主要有以下4種情況，如圖2所示:

（1）當 l≥2b 時，Pascal蝸線為全凸封閉節(jié)曲線，如圖2a所示;

（2）當 b＜l＜2b時，Pascal蝸線為無卷曲的內凹曲線，如圖2b所示;

（3）當 l=b時，Pascal蝸線為心臟曲線，如圖2c所示;

（4）當l＜b時，Pascal蝸線為有卷曲的內凹曲線，如圖2d所示。

2 巴斯噶蝸線型齒輪的節(jié)曲線

2．1 巴斯噶蝸線型齒輪副的節(jié)曲線方程

對外嚙合傳動的非圓齒輪副，若主動輪1的節(jié)曲線是一巴斯噶蝸線，則該節(jié)曲線方程為［1］

根據(jù)微分幾何，它上面各點的曲率半徑計算公式為

設與其共軛的從動輪2的階數(shù)為n2，則齒輪2節(jié)曲線封閉的條件為

此時齒輪副的中心距a為

則從動輪2的節(jié)曲線方程為

外嚙合齒輪副的傳動比為

主動輪1的節(jié)曲線弧長為

為方便計算，令 L=l+b，Sa=l－ b，k=Sa/L。L稱為長軸，Sa稱為短軸，k為長短軸比率。則l=（L+Sa）/2，b=（L－Sa）/2。將其轉換在直角坐標系中，計算弧長，可得

另外，根據(jù)節(jié)曲線的封閉性和輪齒在節(jié)曲線上的均布性，其弧長還必須滿足條件［6－8］

因此，在設計這種齒輪時，當主動輪齒數(shù)z1、模數(shù)m、長短軸比率k確定后，就可以根據(jù)式（8）和（9）求解出L的值，得出其主動輪節(jié)曲線方程。然后由式（5）得出從動輪節(jié)曲線方程。

2．2 巴斯噶蝸線型齒輪的傳動比

當 n2=1，k=0、0．2、1/3、2/3、1、1．5、2 時，由公式（5）和（6）計算并繪制蝸線齒輪副傳動比曲線，如圖3所示。考慮到蝸線節(jié)曲線全凸的條件:k≥1/3。從圖中可以看出，在k=0時，蝸線是心臟線，其節(jié)曲線存在內凹且有尖點，傳動比曲線變化幅度較大;當0＜k＜1時，傳動比的幅度（Ai12）隨著k值的變大而變小，即Ai12和i12成反比;當k=1時，蝸線節(jié)曲線變?yōu)閳A，傳動比為一定值;當k＞1時，傳動比的幅度（Ai12）隨著k值的變大而變大，即Ai12和i12成正比。

當 k=2/3，n2=1、2、3、4、5 時，蝸線齒輪副的傳動比函數(shù)曲線如圖4所示?？梢钥闯觯攌為定值時，傳動比的幅度（Ai12）隨著n2值的變大而變小，即Ai12和i12成反比。

2．3 巴斯噶蝸線型齒輪的凸凹性

由第1節(jié)分析可知，對于這種類型的齒輪，其節(jié)曲線的凸凹性和k值有關。當k≥1/3時，該齒輪的節(jié)曲線全凸;特別的，當k=1時，蝸線成為半徑為l的圓;當0＜k＜1/3時存在內凹但無卷曲;當k=0時，蝸線成為心臟線;當k＜0時，出現(xiàn)卷曲，這種情況無法滿足齒輪的傳動要求。下面討論一下與其相嚙合的從動輪的凸凹性。

為了計算方便，引入新的符號d。d稱為相對中心距。

令ε為偏心率，則

由此可得

由文獻［3］可知，從動輪的曲率半徑為

由于a＞r1，式（13）中分子總是正值，所以與蝸線齒輪嚙合的非圓齒輪2的節(jié)曲線上不出現(xiàn)內凹部分的條件，是分母大于等于零，即

對式（14）求導可知，此式最小值是在θ1=0，r1=l+b時取得，將其代入式（14）得

由式（12）及（15）知，當 n2=1、2、3、4 時，k≥1/3就能保證與蝸線齒輪共軛的非圓齒輪節(jié)曲線為凸。

3 巴斯噶蝸線型齒輪的齒形設計

由于非圓齒輪的齒形隨著輪齒所處的節(jié)曲線位置不同而不同。因此，不論是用齒形法或用解析法來求齒形均較麻煩。為了作圖簡便，可利用“折算齒形”來繪制［9］。如圖5所示，若非圓齒輪上A點是第一個輪齒的中點，該齒的對稱軸與A點節(jié)曲線的法線方向一致，則該齒的齒形近似于半徑為ρA（節(jié)曲線上A點的曲率半徑）的圓柱齒輪齒形，而該圓柱齒輪的齒數(shù)ZA稱為“折算齒數(shù)”。

折算齒數(shù)按如下公式計算

其中，A點的曲率半徑即ρA為

同理可計算出B點以及其他等分點處的曲率半徑，并用與其相對應的圓柱齒輪齒廓來代替該等分點處的齒廓。

4 巴斯噶蝸線型齒輪的CAM實例分析

為了驗證上述研究內容的正確性，下面列舉實例對巴斯噶蝸線型齒輪及其CAM技術進行分析。設給定初始參數(shù):b=20 mm、l=34 mm、m=3 mm、z1=25、n1=1、n2=2。由于l≤2b，故主動輪節(jié)曲線不是全凸的，存在一定的內凹。其節(jié)曲線、齒頂線、齒根線如圖6所示。該齒輪各個等分點處的曲率半徑ρ和折算齒數(shù)ZA如表1所示。

表1 主動輪齒形參數(shù)

根據(jù)表1數(shù)據(jù)，利用CAXA軟件繪制出主動輪的各個輪齒齒形，如圖7a所示;其三維仿真結果如圖7b所示。

同理，可以計算并繪制出與蝸線齒輪共軛嚙合的從動輪，其中z2=54，齒輪副中心距a=110.031 mm，齒輪副嚙合狀態(tài)及齒形圖如圖8所示?？梢钥闯?，從動輪也是一非圓齒輪。

5 結語

巴斯噶蝸線型齒輪是一種新型的非圓齒輪傳動機構，具有與傳統(tǒng)非圓齒輪（橢圓齒輪、偏心圓齒輪）不可替代的傳動特性。本文根據(jù)非圓齒輪嚙合原理，通過對巴斯噶蝸線型齒輪節(jié)曲線的參數(shù)化設計、傳動特性分析、齒形設計、CAM分析及加工仿真，系統(tǒng)研究了這類齒輪的嚙合特性及數(shù)字制造技術，驗證了這類齒輪傳動的可行性及可加工性，為其實際應用提供了較為系統(tǒng)的理論基礎，具有較高的實用價值。

［1］劉永平，吳序堂，李鶴岐．常見的凸封閉節(jié)曲線非圓齒輪副設計［J］．農業(yè)機械學報，2007，38（6）:143 －146．

［2］廖偉，趙勻，方明輝．巴斯噶蝸線齒輪在分插機構上的應用和參數(shù)優(yōu)化［J］．浙江理工大學學報，2009，26（3）:547 －550．

［3］任廷志，程愛明，景奉儒．蝸線齒輪及其共軛齒輪的幾何分析與仿真［J］．機械工程學報，2006，42（9）:71－77．

［4］BAIR B W．Computer aided design of non－standard elliptical gear drives［J］．Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，2002，216（4）:473－483．

［5］《數(shù)學手冊》編寫組．數(shù)學手冊［M］．北京:人民教育出版社，1979．

［6］吳序堂，王貴海．非圓齒輪及非勻速比傳動［M］．北京:機械工業(yè)出版社，1997．

［7］TONG S H，YANG C H．Generation of identical noncircular pitch curves［J］．Transactions of the ASME，Journal of Mechanical Design，1998，120（2）:337－341．

［8］BAIR B W．Computer aided design of elliptical gears［J］．Transactions of the ASME，Journal of Mechanical Design，2002，124（6）:787－793．

［9］LITVIN F L．Gear geometry and applied theory［M］．NJ:Prentice－Hall，1994．