呂純海 譚 磊2)? 譚文婷

1)(蘭州大學理論物理研究所，蘭州 730000)

2)(蘭州大學磁學與磁性材料教育部重點實驗室，蘭州 730000)

(2010年2月3日收到;2010年5月5日收到修改稿)

壓縮真空中的電磁誘導透明*

呂純海1)譚 磊1)2)?譚文婷1)

1)(蘭州大學理論物理研究所，蘭州 730000)

2)(蘭州大學磁學與磁性材料教育部重點實驗室，蘭州 730000)

(2010年2月3日收到;2010年5月5日收到修改稿)

從主方程出發(fā)，通過解析求解密度矩陣非對角元，研究了壓縮真空中Λ型三能級原子的電磁誘導透明現(xiàn)象(EIT).研究結果表明:EIT顯著地依賴于相干光場的相位、壓縮真空的壓縮強度和壓縮相位.Λ型三能級原子不但有電磁誘導透明和慢光速現(xiàn)象，而且還會表現(xiàn)出對探測光的增益、快光速和反向光速效應;且Λ型三能級原子對探測光場的吸收和增益與探測光強度有關，這與普通真空中不同.

壓縮真空，電磁誘導透明，增益

PACS:42.50.Nn，42.65.－ k，32.80.Qk

1.引 言

電磁誘導透明(EIT)是一種由原子能級躍遷的相干相消所引起的非線性效應.自它由理論［1］提出并在實驗［2］上成功驗證以來，便成為研究光與物質相互作用的重要課題［3—5］，比如光速的調控、信息的儲存［6—8］以及激光物理［9］等.在近 20年的發(fā)展過程中，人們已經(jīng)在各種介質［10—12］和波段［13］下探索了 EIT的效應，并把原子系統(tǒng)從典型的三能級［1，14，15］推廣 到了四能級［16—18］、五能級［19］等情況，并發(fā)現(xiàn)了一些新的效應.最近，關于電磁誘導透明中的孤子行為也有報道［20］.但在這些研究中，原子系統(tǒng)所處的環(huán)境都只是熱庫場或普通真空，對于系統(tǒng)所處的環(huán)境是壓縮庫場的情況，尚未見文獻報道.

由于壓縮光場的雙光子關聯(lián)［21］，使得其相對于熱光場、相干態(tài)光場在其中一個正交分量上有較小的不確定度，在另一個正交分量上，則表現(xiàn)出比相干態(tài)光場和熱光場較大的不確定度.這使得壓縮光在精確測量［22］(引力波的測量)和提高通信中信號的信噪比［23］方面有著很大的應用.同時，壓縮光場與原子的相互作用，也會表現(xiàn)出特有的性質.Gardiner［24］的研究發(fā)現(xiàn)，壓縮真空中的二能級原子相位的衰減，在其中一正交分量上會受到抑制，而在另 一 正 交 分 量 上 則 會 加 強.Ritsch 等［25］和Carm ichael等［26］在研究壓縮真空中二能級原子共振吸收時，發(fā)現(xiàn)了探測光吸收光譜的線寬小于普通真空的情況.在國內，關于壓縮真空對原子的激光冷卻［27，28］和量子糾纏［29—33］等的影響也做了一定研究.日本 Akamatsu 等［34，35］實現(xiàn)了以壓縮真空作為探測光場的EIT，并觀察到了相應的慢光速效應.然而，理論上對壓縮真空中原子系統(tǒng)EIT還未有深入的研究.

基于此，本文將研究壓縮真空中Λ型三能級原子的EIT及其相關現(xiàn)象.考慮兩個統(tǒng)計獨立的寬帶壓縮真空［36］，從 Born-Markov 近似下［37，38］給出的主方程［39］出發(fā)，通過解析求解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時的密度矩陣元，利用數(shù)值和圖示法分析體系中各種參數(shù)對EIT的影響.研究結果表明:在壓縮真空中，原子既可能有一般的EIT和慢光速現(xiàn)象，同時還會出現(xiàn)對探測光場的增益、快光速以及反向光速效應.另外，原子對探測光場的吸收和增益會受到探測光強度的影響.對比在實驗上降低光的群速度的機制發(fā)現(xiàn)，背景場為壓縮真空時其能力要遠遠高于普通真空時的情形.

2.模型及其求解

考慮一個 Λ型三能級原子，一束弱探測光場Ep，ωp與原子的能級間電偶極矩耦合，失諧為Δ1;然后用另一束強控制光場Ec，ωc與原子能級間電偶極矩耦合，失諧為Δ2(圖1).整個系統(tǒng)處于兩個統(tǒng)計獨立的寬帶壓縮真空中［36］，其中心頻率分別與原子兩個躍遷能級近共振.在Schr?dinger繪景中哈密頓量為

圖1 Λ型三能級原子

其中，HS=HA+HI為原子與相干光場系統(tǒng)的哈密頓量.

在旋波近似下，原子與相干光場相互作用哈密頓量為

HR為壓縮真空的哈密頓量［37］，

HRS表示原子與壓縮真空的相互作用哈密頓量，

在 Born-Markov 近 似 下［37，38］，可 以 導 出Schr?dinger繪景下密度矩陣算符的主方程［39］

其中，非對角矩陣元 ρ31，ρ32，ρ21及其共軛已經(jīng)取成其緩變函數(shù)的形式［3，5］

并且 Ωc，Ωp，Δ1，Δ2，t都對 Γ 做了約化.M前面取正號時表示相位φ=2φL－φs=0，取負號時表示相位 φ=2φL－φs=π，φL和 φs分別代表相干光場(探測光和控制光)的相位和壓縮真空的壓縮相位.

從Bloch方程(8)可以看出，由于壓縮真空與原子的相互作用，密度矩陣元 ρ31，ρ13之間以及 ρ32，ρ23之間出現(xiàn)了直接耦合，而且還與相位φ有關.當M=0時，這種耦合消失，只是通過和的微分方程間接耦合起來.為了便于討論問題，假設每一個壓縮真空的中心頻率都與相應光場的頻率相同，即ωs1－ωp=0，ωs2－ωc=0，則 Bloch方程(8)存在穩(wěn)態(tài)解.在計算中，假設Δ2=0，并記Δ1為Δ.在此，我們認為第一個壓縮真空的中心頻率ωs1隨探測光場頻率ωp一起變化在實驗上是可行的.因為 Akamatsu 等［34，35］已經(jīng)實現(xiàn)了壓縮真空作為探測光的EIT實驗，那么同時調諧第一個壓縮真空中心頻率和另一束相干的探測光場也是可行的.當沒有探測光，只有強控制光場時，由于自發(fā)輻射的影響，穩(wěn)態(tài)時原子的布居將會全部轉移到基態(tài)能級上，此時 ρ32=ρ23=0;在壓縮真空中，這一結果仍然成立，其詳細討論可以參考文獻［36］.在EIT中，探測光的強度很弱，一般比控制光強度小 2—4 個數(shù)量級［2，11，34，35］，它對原子布居數(shù)幾乎沒有影響，因此我們可以作近似ρ11=1，ρ22=ρ33=0.在這種近似下，的微分方程組可近似取為:

因此，若EIT系統(tǒng)所處的環(huán)境為普通真空，密度矩陣元 ρ31，ρ13之間以及 ρ32，ρ23之間沒有耦合;若是壓縮真空，則將會通過M直接耦合起來.在二能級原子自發(fā)輻射中［24］，正是由于這種直接耦合，導致了原子極化的兩個正交分量以不同的速率衰減:其中一個分量的衰減被抑制，而另一個則被加強.同樣，在本文里，這種直接耦合將極大地改變EIT的性質，并出現(xiàn)一些新的效應.在Bloch方程(8)中取便可求得密度矩陣元的穩(wěn)態(tài)解

其中

式中M前取正號時表示相位φ=0，取負號時表示相位 φ=π .由關系 μ31NAρ31=ε0χEp，其中NA為原子數(shù)密度(簡便起見，令，可以得到原子介質中線性極化率χ=χ′+iχ″的實部和虛部分別為

當M=N=0時，(11)式化簡為

這與普通真空結果相同.對比(13)和(14)式可以看出，壓縮真空中原子極化率與相位 φ、壓縮真空的壓縮強度M以及探測光Rabi頻率Ωp有關.由于χ′和χ″分別對應著原子對探測光的色散和吸收，考慮χ′和χ″的性質，即可對色散和吸收的性質作分析.群速度由公式

給出，分析χ′隨失諧Δ的變化趨勢，便可以定性地給出群速度的性質

在(14)式中，極化率隨失諧的函數(shù)關系只有一個可調參數(shù)，控制光拉比頻率Ωc;而在引入壓縮真空后的(13)式，可調參數(shù)又增加了相位 φ、壓縮真空的壓縮強度M、平均光子數(shù)N以及探測光的拉比頻率Ωp，其中相位φ=2φL－φs可以通過調節(jié)相干光場相位φL和壓縮真空的壓縮相位φs得到.因此，在壓縮真空情況下，EIT的可調參數(shù)更多，其物理效應也就更豐富.

3.壓縮真空中EIT和增益

首先，我們研究壓縮真空中控制光強度對EIT的影響.圖2表示在不同控制光Rabi頻率下(Ωc=0.5，5，10)，極化率兩分量隨失諧Δ的變化，其中相位φ=π.可以看出，控制光越強，EIT的線寬越大.而且對應的吸收曲線呈現(xiàn)出Autler-Townes雙峰.因為N?1，所以吸收峰的線寬即為普通真空中原子自發(fā)輻射所造成的自然線寬.這可以從綴飾態(tài)理論解釋，當強控制光與能級間電偶極矩耦合時，會使得原子能級發(fā)生Rabi分裂，在共振時其能級分裂的大小即為控制光 Rabi頻率 Ωc的大小，這也正和圖中所顯示的Autler-Townes雙峰的間距所對應.另外，從色散曲線可以看出，控制光強度，χ′越大 共振附近 隨失諧的變化率，越大光的群速度也就越慢.因此，在壓縮真空中同樣可以實現(xiàn)慢光速，達到對光速的控制.所有這些現(xiàn)象都與普通真空中的現(xiàn)象類似［1，3］.

但是，由于雙光子關聯(lián)造成(8)式中矩陣元的直接耦合，壓縮真空中的EIT還有其他更豐富的物理效應.下面我們對壓縮真空與普通真空的EIT現(xiàn)象作一對比.圖3是在同一組探測光和控制光參數(shù)下，針對壓縮真空N=M=0.002(圖3(a)，(b))和普通真空M=N=0(圖3(c)，(d))，各自極化率隨失諧Δ的變化曲線，其中相位φ=π.從圖中可以看出，壓縮真空并不會改變EIT窗口的大小和Autler-Townes雙峰的位置.這是因為，壓縮真空的存在，主要影響原子的極化效應;而對于三能級原子來說，EIT的各種現(xiàn)象來源于原子兩個躍遷途徑之間的相干相消，主要受控制光 Rabi頻率的調制.兩種真空情況下的控制光參數(shù)一致，那么其表現(xiàn)出來的EIT窗口以及綴飾態(tài)的Autler-Townes雙峰，也就自然相同.但是從極化率的變化范圍來看，壓縮真空中的極化率的數(shù)值要比普通真空大3個數(shù)量級(圖3(b)和(d)所示)，在同樣條件下，壓縮真空中吸收峰的高度是普通真空的近1600倍，原子對探測光的吸收遠大于普通真空情形;同時，對比圖3(a)(c)，和 的色散曲線 壓縮真空中的也比普通真空大近1600倍，在壓縮真空中實現(xiàn)對光的群速度的控制，其能力要遠遠大于普通真空.到目前為止，通過實驗EIT效應已經(jīng)成功地把光的群速度降低到17 m/s［12］.如果我們把背景場換為壓縮真空，在其他參數(shù)保持不變的情況下，對比圖3(a)和(c)的數(shù)值結果可以看出，壓縮真空中光的群速度可以降低到1.1 cm/s(17/1600 m/s)或更低，大大提高對光的群速度的控制能力.這對拓展EIT在光的群速度調控和量子信息儲存方面的應用研究有很大幫助.

圖3 不同真空下的 EIT (a)，(b)為壓縮真空 N=M=0.002，φ =π;(c)，(d)為普通真空 M=N=0(Ωp=0.0001，Ωc=4.Ωc，Ωp，Δ 均以普通真空中自發(fā)輻射速率 Γ 為單位)

圖4給出的是相位φφπ時，EIT曲線在不同探測光強度下 (Ωp=0.0002，0.00015，0.0001)的性質.當系統(tǒng)的環(huán)境由普通真空換為壓縮真空后，極化率兩分量隨探測光Rabi頻率增大而減小.從曲線的演變可以看出，慢光速和吸收峰的高度都對探測光Rabi頻率Ωp的變化極其敏感.EIT的這些相關效應受到探測光本身強度(Rabi頻率大小)的調制，在普通真空中是不會出現(xiàn)的，為壓縮真空所特有.對比(13)和(14)式，正因為壓縮真空的存在，M=N=0.002，Bloch方程(8)式中原子密度矩陣元之間出現(xiàn)耦合，極化率才與探測光強度有關.而當M=N=0時，回到普通真空，即(14)式，極化率完全獨立于探測光光強.在同樣的控制光強度下(Ωc=4)，對于普通真空情況，原子介質對探測光的吸收系數(shù)不大于0.5(圖3(d));而在壓縮真空中(圖3(b))，其最大值接近800.由圖4(b)中吸收峰隨Ωp的變化規(guī)律可知，通過適當調節(jié)探測光的強度，其吸收峰的高度還會更大.這使得壓縮真空中的EIT窗口更加明顯.除此之外，壓縮真空的壓縮強度 M的變化同樣會對EIT產(chǎn)生影響.從圖5顯示的是在不同壓縮強度下 (M=0.001，0.0015，0.002)，極化率隨失諧Δ的函數(shù)曲線，其中相位φ=π.從圖5中可以看出，壓縮強度越大，原子對探測光的吸收越強(圖5(b));同時，探測光場在共振附近的色散性質，即探測光的群速度也極大地依賴于M的取值(圖5(a)).其效應類似于探測光強度的影響.

圖4 不同探測光強度下的EIT (N=M=0.002，Ωc=2，相位φ=π.Ωc，Ωp，Δ均以普通真空中自發(fā)輻射速率Γ 為單位)(a)χ′—Δ 圖，(b)χ″—Δ 圖

圖5 不同壓縮強度下的EIT (Ωp=0.0001，Ωc=2，N=0.002，φ =π.Ωc，Ωp，Δ 均以普通真空中自發(fā)輻射速率Γ 為單位)(a)χ′—Δ 圖，(b)χ″—Δ 圖

不同相位下 (φφ=0，π)極化率隨失諧 Δ的變化如圖6所示.相干光相位和壓縮真空的壓縮相位將直接影響到EIT與探測光增益(吸收系數(shù) χ″<0)之間的轉變(圖6(b)).當φφ=0時，對應的吸收系數(shù)則會反轉，變?yōu)樨撝?也就是說，探測光場在原子介質中不但不會被吸收，相反，還會被增益.由圖6(a)中χ′的變化趨勢可知，探測光的色散的變化率由正變?yōu)樨?，光的群速度將出現(xiàn)反向光速、甚至快光速現(xiàn)象.從而，調節(jié)壓縮強度和相位，能夠實現(xiàn)由慢光到快光，再到反向光速的轉換.而且由圖6可以看出，兩種情況下的極化率圖像幾乎都有各自關于χ′=0和χ″=0的對稱:圖6(b)中，在共振附近探測光的增益趨于零，而在原有的Autler-Townes雙峰位置，其增益則為最大;在色散性質方面，圖6(a)所顯示的曲線也關于χ′=0近乎對稱.相位φ=2φL－φs由相干光相位φL和壓縮真空的壓縮相位φs共同決定，調節(jié)φL或φs都可以改變φ的取值(0或π).在普通真空中，EIT不會受到探測光場相位的調制.而這里正是由于(8)式中壓縮真空雙光子關聯(lián)M的出現(xiàn)，導致壓縮真空中EIT或增益受探測光相位的調制，在本文里，即為調節(jié) φL，φs使得 φ 等于 0或π.

圖6 IET和增益(相位φ =π對應著EIT(虛線)，φ =0對應著增益(實線) Ωp=0.0001，Ωc=2，N=M=0.001. Ωc，Ωp，Δ 均以普通真空中自發(fā)輻射速率 Γ 為單位)(a)χ′—Δ 圖，(b)χ″—Δ 圖

如圖7所示，當φ=0時，光的群速度以及增益都會受到其他參數(shù)的調制.其中圖7(a)，(c)分別為色散性質隨探測光強度和壓縮強度的變化，據(jù)此可以對探測光的群速度做定性分析.圖7(a)中Rabi，7(c)隨探測光 頻率增大而增大 圖 中.隨壓縮真空壓縮強度增大而減小 由于此，群速度可以是反向光速或快光速增大探測光的強度或減小壓縮真空壓縮強度，便能實現(xiàn)群速度由反向光速到快光速的轉變.探測光的這種增益、反向光速和快光速效應，對于普通真空情況也有可能出現(xiàn)，例如Λ型中原子電偶極矩為負值［40］，或者原子能級為 V 型［14，15］的情形.但是，它們的機理并不相同.文獻［40］中是由于電偶極矩μ31為負值，由關系式 μ31NAρ31=ε0χEp可知 χ的符號必定取反，從而表現(xiàn)出上述效應;在V型三能級原子中，此類效應是由于兩個激發(fā)能級有大的布居所引起的［14］;在本文里，則是由于壓縮真空的雙光子關聯(lián)造成原子的兩個不同躍遷分量的耦合所致.而且，前兩種情況下的這些效應并不會與探測光的強度和相位有關，這也是壓縮真空中與普通真空之間最大的區(qū)別.

上面的結果并不難理解.因為對于給定的M，N和Ωc，當ΩP?1時，極化率可以簡化為:由于在壓縮真空中M和N都較小，K1，K2可以近似

圖7 相位φ=0時，原子介質對探測光的色散和增益 (a)，(b)為不同探測光強度下的χ′，χ″—Δ圖，其他參量分別為:N=M=0.002，Ωc=4;(c)，(d)為不同壓縮強度下 χ′，χ″—Δ 圖，其中 Ωp=0.0001，Ωc=4，N=0.002 (Ωc，Ωp，Δ均以普通真空中自發(fā)輻射速率Γ為單位)

另外，在上面的分析中平均光子數(shù)N很小，由使得(13)式中得以成立，從而圖8可知，當平均光子數(shù)N增大時，對極化率的影響也很明顯，這與(16)式的結果相符.因此，壓縮真空的平均光子數(shù) N，也可以明顯地對探測光的吸收、增益以及群速度進行調制.最后，必須指出，上面針對(15)式的討論需要在合適的平均光子數(shù)N下才有意義.因為本文中探測光 Rabi頻率 ΩP≈10－4，并非無窮小量，所以在壓縮真空為最大壓縮強度M=N(N+1)下，平均光子數(shù)應該滿足N?ΩP得到(16)式，使得上述基于(16)式的定性分析得以成立.

圖8 不同平均光子數(shù)下探測光的色散和增益 (Ωp=0.0001，Ωc=2，φ=0，對于每一組數(shù)據(jù)都有M=N，表示壓縮真空處于最大壓縮強度.Ωc，Ωp，Δ均以普通真空中自發(fā)輻射速率 Γ為單位)(a)χ′—Δ圖，(b)χ″—Δ圖

4.結 論

本文主要研究了Λ型三能級原子在兩個統(tǒng)計獨立的壓縮真空中的EIT現(xiàn)象.在一定的近似下，我們得到了密度矩陣元的解析表達式，并由此可以得到探測光在原子介質中的極化率.實驗上，控制光場的強度一般比探測光強度大2—4個數(shù)量級，因此這種近似是合理的.由于極化率的實部和虛部分別描述原子介質對光場的色散和吸收性質，因此可以由此分析原子對探測光場傳播性質的影響.

從結果可以看出，相對于普通真空來說，壓縮真空與原子的相互作用使得探測光在介質中除了具有EIT性質外，還使探測光具有增益、快光速和反向光速的性質.首先，探測光的相位和壓縮真空的壓縮相位將直接影響到系統(tǒng)的性質:對于φ=0，原子對探測光呈現(xiàn)出增益以及快光速和反向光速的效應;對于φ=π，則是一般的EIT和慢光速效應.其次，在壓縮真空中原子對探測光場的吸收、增益和群速度與光場本身的強度有關.另外，EIT的相關效應，受壓縮真空的壓縮度影響，壓縮強度越大，吸收或增益越明顯，光的群速度也受到調制.這些效應都是壓縮真空與原子之間相互作用性質造成的.相對于普通真空來說，壓縮真空中降低光速的能力，要遠遠高于普通真空.

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PACS:42.50.Nn，42.65.－ k，32.80.Qk

Electromagnetically induced transparency in squeezed vacuum*

Lü Chun-Hai1)Tan Lei1)2)?Tan Wen-Ting1)
1)(Institute of Theoretical Physics，Lanzhou University，Lanzhou 730000，China)
2)(Key Laboratory for Magnetism and Magnetic Materials of Ministry of Education，Lanzhou University，Lanzhou 730000，China)
(Received 3 February 2010;revised manuscript received 5 May 2010)

We studied the electromagnetically induced transparency，where the three-level atom ofΛ-type is put in two statistically independent squeezed vacuums.We start from the master equation containing the decay of the atom to the squeezed vacuums，and solve the non-diagonal densitymatrix element analytically，finding that it is strongly dependent on the squeezing degree and the phase of the squeezed vacuum.There is also a dependence on the intensity and phase of the probe beam，which would not appear in the normal vacuum case.By coup ling with squeezed vacuums，the atom would not only experience electromagnetically induced transparency and slow group velocity，but also induce a fast group velocity，backward group velocity and a gain in the probe light field.Besides，the absorption and gain can be modulated by the intensity of probe light.

squeezed vacuum，electromagnetically induced transparency，light gain

*國家自然科學基金(批準號:10704031)、國家基礎科學人才培養(yǎng)基金(批準號:J0630313)、蘭州大學理論物理與數(shù)學純基礎科學基金(批準號:LZU05001)和甘肅省自然科學基金(批準號:3ZS061-A25-035)資助的課題.

?通訊聯(lián)系人.E-mail:tanlei@lzu.edu.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.10704031)，the National Science Foundation for Fostering Talents in Basic Research of the National Natural Science Foundation of China(Grant No.J0630313)，the Fundamental Research Fund for Physics and Mathematics of Lanzhou University，China(Grant No.LZU05001)，and the Natural Science Foundation of Gansu Province，China(Grant No.3ZS061-A25-035).

?Corresponding author.E-mail:tanlei@lzu.edu.cn