鄧立赟 藍(lán)紅梅 劉 悅

(大連理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，大連 116024)

(2010年4月20日收到;2010年5月6日收到修改稿)

霍爾推力器磁場位形及其優(yōu)化的數(shù)值研究

鄧立赟 藍(lán)紅梅 劉 悅?

(大連理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，大連 116024)

(2010年4月20日收到;2010年5月6日收到修改稿)

基于麥克斯韋方程，在軸對稱假設(shè)下建立了霍爾推力器磁場的數(shù)學(xué)模型.用有限差分方法對模型進(jìn)行了離散.給出了數(shù)值求解模型的迭代法.通過對模型的數(shù)值求解，得到了相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果.通過對所得數(shù)值結(jié)果的分析，研究了磁場線圈電流變化對霍爾推力器磁場位形的影響.通過調(diào)整磁場線圈電流的大小找到了理想磁場位形.研究表明，對于理想磁場位形，內(nèi)通道的磁鏡比在3—3.5之間，外通道的磁鏡比在0.4—0.9之間;增加磁場線圈的電流，出口的磁場強(qiáng)度隨著增加，但不能增加磁鏡比.通道內(nèi)部的磁場強(qiáng)度幾乎不隨著磁場線圈電流的變化而變化.

霍爾推力器，磁場位形，磁場線圈電流，磁鏡比

PACS:52.75.Di，41.20.Gz

1.引 言

進(jìn)入21世紀(jì)以來，隨著人類探索宇宙空間范圍的拓展，傳統(tǒng)的化學(xué)火箭已不能滿足日益增加的對于深空探測的要求.為了克服傳統(tǒng)推進(jìn)技術(shù)的缺點(diǎn)，目前許多發(fā)達(dá)國家都在研究各種新型推進(jìn)技術(shù)以滿足未來太空探索的需要.新型推進(jìn)技術(shù)當(dāng)中，電推進(jìn)技術(shù)是最具應(yīng)用前景的，因此在目前研究中最為廣泛.霍爾推力器是最典型的電推進(jìn)器，由于其具有結(jié)構(gòu)緊湊、比沖大、效率高和壽命長等優(yōu)點(diǎn)，可以在未來的深空探測中應(yīng)用于衛(wèi)星姿態(tài)控制、航天器軌道修正、軌道轉(zhuǎn)移、動力補(bǔ)償?shù)热蝿?wù).

霍爾推力器主要是由同軸的圓柱形通道、陶瓷器壁、以及進(jìn)氣口處的陽極與噴射口處的陰極、用于產(chǎn)生磁場的線圈等組成.霍爾推力器的工作氣體主要選用氙氣，也有人選用氪氣.工作氣體通過進(jìn)氣口進(jìn)入通道，同時陰極產(chǎn)生的電子進(jìn)入通道對工作氣體進(jìn)行電離.陽極和陰極之間的電勢差產(chǎn)生電場，使氣體充分電離并加速等離子體中的帶電粒子(電子和離子).磁場線圈產(chǎn)生的磁場通過霍爾效應(yīng)磁化等離子體中的電子，使電子留在通道內(nèi)，而沒有磁化的離子噴出通道，從而產(chǎn)生推力.這就是霍爾推力器的工作原理.

由于霍爾推力器在未來的深空探測任務(wù)中有很好的應(yīng)用前景，因此受到廣泛研究.人們分別對霍爾推力器中等離子體的震蕩［1—5］、電子的反常遷移 和 輸 運(yùn)［6，7］、等 離 子 體 與 器 壁 材 料 的 相 互 作用［8—12］、等離子體鞘層［13—16］、二次電子發(fā)射［17—19］和磁場位形的效應(yīng)［20—25］等進(jìn)行了深入研究.

眾所周知，霍爾推力器是通過霍爾效應(yīng)來產(chǎn)生推力，而磁場是產(chǎn)生霍爾效應(yīng)的關(guān)鍵.同時，磁場位形對于霍爾推力器放電特性、使用壽命和效率等許多方面產(chǎn)生很大影響，所以對霍爾推力器磁場位形的研究非常重要，既對霍爾推力器的機(jī)理研究有理論指導(dǎo)意義，也對霍爾推力器的設(shè)計和實(shí)驗提供理論基礎(chǔ).2002年，Peterson等［20］研究了霍爾推力器的磁場結(jié)構(gòu).2003年，Garrigues等［21］用數(shù)值模擬的方法研究了霍爾推力器的磁場位形對壽命的影響.2005 年，Keidar和 Boyd［22］研究了霍爾推力器中的磁鏡效應(yīng).2009年，鄂鵬等［23］研究了霍爾推力器中的磁場位形，于達(dá)仁等［24］研究了霍爾推力器磁場位形對羽流的影響，耿少飛等［25］研究了霍爾推力器磁場對電子和離子的影響.

本文基于麥克斯韋方程，在軸對稱假設(shè)下建立了霍爾推力器磁場的數(shù)學(xué)模型，模型中包含有鐵物質(zhì)，使得其具有很強(qiáng)的非線性，很難求解.本文用有限差分法對模型進(jìn)行了離散，給出了數(shù)值求解模型的迭代法，并對模型進(jìn)行了數(shù)值求解，得到了相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果.通過對所得數(shù)值結(jié)果的分析，研究了磁場線圈電流變化對霍爾推力器磁場位形的影響.

2.霍爾推力器磁場的數(shù)學(xué)模型

對于霍爾推力器的磁場，由麥克斯韋方程有

(1)式中磁場B可以用磁矢勢A表示

根據(jù)霍爾推力器的結(jié)構(gòu)，霍爾推力器的磁場可以認(rèn)為是軸對稱的.在軸對稱的假設(shè)下，在柱坐標(biāo)系 (r，θ，z)中，磁矢勢A只有θ分量，而且只是r和z的函數(shù)，因此，磁矢勢A可以表示為

電流密度J可以表示為

將(5)式代入(4)式有

由(7)式有

將(3)，(6)和(7)式代入(2)式有

方程(10)的邊界條件為

圖1 霍爾推力器剖面圖

方程(8)，(9)和(10)與上述邊界條件組成了霍爾推力器磁場的數(shù)學(xué)模型.

在實(shí)際計算中，計算區(qū)域是一個包含推力器剖面的一個矩形區(qū)域，計算區(qū)域的邊界離推力器足夠遠(yuǎn)，我們?nèi)【嗤屏ζ髯銐蜻h(yuǎn)處為無窮遠(yuǎn)，并在這個邊界上采用上面的邊界條件.

推力器區(qū)域如圖1所示.其中，有3個磁場線圈分別定義為1號線圈，2號線圈，3號線圈，相應(yīng)的電流分別為 NI1，NI2和 NI3，灰色區(qū)域則為鐵物質(zhì)區(qū)域.

計算區(qū)域中有鐵物質(zhì)，而鐵物質(zhì)的相對磁導(dǎo)率需要通過圖2所示的μ—B曲線得到.方程(10)中的磁導(dǎo)率μ在計算區(qū)域中是一個有空間分布的函數(shù).在沒有鐵物質(zhì)的區(qū)域里，我們?nèi)〈艑?dǎo)率為真空磁導(dǎo)率;在有鐵物質(zhì)的區(qū)域里，先通過μ—B曲線計算出相對磁導(dǎo)率，再乘以真空磁導(dǎo)率作為鐵物質(zhì)區(qū)域的磁導(dǎo)率.

圖2 μ—B曲線

在計算霍爾推力器磁場的時候，需要在上述邊界條件下求解方程(8)，(9)和(10)，這時需要用到磁導(dǎo)率μ;而利用μ—B曲線計算相對磁導(dǎo)率μ時，需要知道磁場B.因此，這是一個具有很強(qiáng)非線性的偏微分方程邊值問題，需要數(shù)值求解，并且需要用迭代法.強(qiáng)非線性使得求解很難.

3.數(shù)值方法

首先，用有限差分法對模型進(jìn)行離散.方程(10)的差分格式如下:

方程(8)的差分格式如下:

方程(9)的差分格式如下:

在離散的過程中，假設(shè)r方向和z方向的空間步長相等，都是h.整理(11)式得

其中

方程(14)是個具有很強(qiáng)非線性的代數(shù)方程組.為了求解這個方程組，我們構(gòu)造如下的迭代法:

7)輸出結(jié)果.

4.數(shù)值結(jié)果與討論

我們用上面的迭代法計算了3個磁場線圈在不同電流情況下產(chǎn)生的磁場，通過改變3個磁場線圈電流的大小試圖找到理想磁場位形.

理想磁場位形的判斷條件為:1)在通道的中間存在磁場零點(diǎn);2)磁場在通道出口處沿軸向增加;3)存在磁透鏡位形的磁場.

圖3表示當(dāng)3個磁場線圈電流分別為NI1=200 A，NI2=350 A和NI3=35 A時整個計算區(qū)域的磁場位形.

圖3 整個計算區(qū)域磁通 NI1=200 A，NI2=350 A，NI3=35 A

圖4 霍爾推力器磁通 NI1=200 A，NI2=350 A，NI3=35 A

圖4表示當(dāng)3個磁場線圈電流分別為NI1=200 A，NI2=350 A和NI3=35 A時霍爾推力器的磁場位形.可以看到，在通道中間存在磁場零點(diǎn).磁場零點(diǎn)的存在使電子被束縛在磁阱里，能夠更好地增加電子對氣體的電離，提高電離效率.

圖5表示當(dāng)3個磁場線圈電流分別為NI1=200 A，NI2=350 A和NI3=35 A時霍爾推力器通道內(nèi)的磁場位形.由圖5可以看出，在通道的出口處為磁透鏡位形的磁場，磁透鏡磁場能夠?qū)﹄x子起到匯聚作用，減小羽流散射角，提高推進(jìn)器的效率.

根據(jù)文獻(xiàn)［22］，磁鏡比定義為 Bw/B0，其中 Bw表示器壁處的磁場強(qiáng)度，B0表示通道出口處中心磁場強(qiáng)度.此時通過計算，內(nèi)外通道磁鏡比分別為3.2730，0.6077，出口處中心磁場大小為 234×10－4T.

圖5 霍爾推力器通道內(nèi)的磁通 NI1=200 A，NI2=350 A，NI3=35 A

圖6 霍爾推力器通道中心的磁場 NI1=200 A，NI2=350 A，NI3=35 A

圖6為磁場通道中心從陽極區(qū)域沿軸向到出口處磁場強(qiáng)度的變化.可以看出磁場沿軸向從陽極區(qū)域到出口處不斷增加，即在此組磁場線圈電流下找到了理想磁場位形.

經(jīng)過大量數(shù)值計算，我們在10組電流強(qiáng)度下找到了理想的磁場位形，表1給出了相應(yīng)的內(nèi)外通道磁鏡比和通道出口中心處的磁場強(qiáng)度.從表中可以看出，在理想磁場位形下，隨著磁場線圈電流強(qiáng)度的增加，通道出口處磁場強(qiáng)度也隨之增加，但是內(nèi)外通道磁鏡比并沒有隨著電流強(qiáng)度的增加而增加.

圖7分別給出了5組參數(shù)下通道中央沿軸向的磁場分布.由圖7可以看出，在理想磁場位形下，磁場隨著電流強(qiáng)度的增加而增加，但磁場強(qiáng)度的增加主要在通道出口處附近，通道內(nèi)部磁場幾乎不會受到磁場線圈電流大小的影響.

表1 理想磁場位形中的磁鏡比和出口磁場強(qiáng)度

5.結(jié) 論

了霍爾推力器磁場的數(shù)學(xué)模型.由于模型中包含有鐵物質(zhì)，使得其具有很強(qiáng)的非線性，很難求解.本文采用有限差分法對模型進(jìn)行了離散，給出了數(shù)值求解模型的迭代法，并對模型進(jìn)行了數(shù)值求解，得到了相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果.通過對所得數(shù)值結(jié)果的分析，研究了3個磁場線圈中電流的變化對霍爾推力器磁場位形的影響.通過調(diào)整磁場線圈電流的大小可以找到理相的磁場位形，在理想的磁場位形下內(nèi)通道的磁鏡比在3—3.5之間，外通道的磁鏡比在0.4—0.9之間.理想磁場位形下，增加磁場線圈的電流，通道出口處的磁場強(qiáng)度隨著增加，但不能增加磁鏡比.同時通道內(nèi)部的磁場強(qiáng)度幾乎不會隨著磁場線圈電流的變化而變化.

感謝哈爾濱工業(yè)大學(xué)于達(dá)仁教授及其研究團(tuán)隊的老師和學(xué)生們給予的幫助和支持，感謝大連理工大學(xué)等離子體理論與模擬科技創(chuàng)新團(tuán)隊的老師和同學(xué)提出的寶貴意見.

本文基于麥克斯韋方程，在軸對稱假設(shè)下建立

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PACS:52.75.Di，41.20.Gz

Numerical study on Hall thruster magnetic configuration and its optimization

Deng Li-Yun Lan Hong-Mei Liu Yue?
(School of Physics and Optoelectronic Technology，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China)
(Received 20 April 2010;revised manuscript received 6 May 2010)

Based on Maxwell's equations，under axis-symmetric assumption，a mathematical model of the magnetic field of a Hall thruster is established.A finite difference method is used for discretizing the model.An iterative method for numerically solving the model is given.The numerical results are obtained.From analysis of the results，the effect of the current in the magnetic field coils on the magnetic configuration of a Hall thruster is investigated.Through adjusting the current，the ideal magnetic configurations are found.It was shown that，for ideal magnetic configuration，the magnetic mirror ratio in the inner channel is between 3 and 3.5，and the magnetic mirror ratio in the outer channel is between 0.4 and 0.9.With the increasing of the current in the magnetic field coils，the magnetic field at the exit of the channel increases，but the magnetic mirror ratio cannot be increased.The magnetic field in the inner channel hardly changes with change of the currents in the magnetic field coils.

Hall thruster，magnetic configuration，current in magnetic field coil，magnetic mirror ratio

?通訊聯(lián)系人.E-mail:liuyue@dlut.edu.cn

?Corresponding author.E-mail:liuyue@dlut.edu.cn