李世深 孫斌

1 廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西 南寧 530004

2 中鐵二十工程局集團(tuán)第四工程公司，山東 青島 266061

考慮剪切變形波形鋼腹板組合箱梁抗彎剛度實(shí)用計(jì)算方法

李世深1孫斌2

1 廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西 南寧 530004

2 中鐵二十工程局集團(tuán)第四工程公司，山東 青島 266061

本文假設(shè)組合箱梁的彎矩M全部由翼板來承擔(dān)，剪力Q由波形剛腹板來承擔(dān)，按照考慮剪切變形的Timoshen梁ko彎曲理論，推導(dǎo)出考慮波形剛腹板剪切變形的彎曲剛度計(jì)算式，在此基礎(chǔ)上，將彎矩M按三角級(jí)數(shù)展開并近似取第一項(xiàng)，利用三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，得到簡(jiǎn)單的考慮波形剛腹板剪切變形對(duì)抗彎剛度折減系數(shù)表達(dá)式。通過驗(yàn)證模型，驗(yàn)證了這種等效在集中荷載和均布荷載下具有良好的精度。

波形剛腹板；組合箱梁；抗彎剛度；實(shí)用計(jì)算方法

引言

波形鋼腹板組合箱梁由兩種不同性質(zhì)的材料組成，同時(shí)，波形鋼腹板具有縱向褶皺效應(yīng)[3]，其抗彎抗扭剛度計(jì)算跟傳統(tǒng)箱梁有區(qū)別，而結(jié)構(gòu)剛度在設(shè)計(jì)計(jì)算或者研究分析中會(huì)涉及，本文分析波形鋼腹板組合箱梁彈性階段抗彎和抗扭剛度，為彎扭分析作準(zhǔn)備。

1 考慮波形鋼腹板剪切變形對(duì)截面抗彎剛度的折減系數(shù)

圖1是一個(gè)波形鋼腹板組合箱梁簡(jiǎn)支梁橋及斷面。如圖2，在計(jì)算豎向撓度V時(shí)，把梁看成這樣的整體梁式受力構(gòu)件：彎矩M由翼板完全承受，剪力Q由波形鋼腹板承受[1]。

圖1 波形鋼腹板組合箱梁簡(jiǎn)支梁橋及斷面

圖2 豎向撓曲位移

豎向撓度V由兩部分組成：由作用于翼板的彎矩M所產(chǎn)生的撓度VM，及作用于波形鋼腹板的剪力Q所產(chǎn)生的撓度VQ。VM可以按照初等梁理論進(jìn)行計(jì)算，而計(jì)算VQ時(shí)假設(shè)截面上剪應(yīng)力均勻分布，計(jì)算圖示如圖2：

其中，B0為只考慮混凝土翼板面積的截面抗彎剛度，下文簡(jiǎn)稱為未折減剛度。如圖2所示，設(shè)上、下翼板面積分別為F1和F2，到中性軸的距離分別為h1和h2，忽略翼板截面繞本身形心軸的慣性矩，則：

將式（1-1）和式（1-2）代入下式：

其中，B為考慮波形鋼腹板剪切變形的截面抗彎剛度，下文簡(jiǎn)稱折減后剛度。

比較式（1-5）和式（1-6）得：

μ為考慮波形鋼腹板剪切變形對(duì)截面抗彎剛度的折減系數(shù)。

由μ的表達(dá)式可以看到，μ與波形鋼腹板抗剪剛度與翼板抗彎剛度之比K/B0有關(guān)；μ與波形鋼腹板剪應(yīng)力分布，即剪應(yīng)力分布不均的校正系數(shù)k1有關(guān)。

μ還與截面的彎矩M有關(guān)，而彎矩M是坐標(biāo)z的函數(shù)，所以μ也是坐標(biāo)z的函數(shù)；截面截面的彎矩M(z)由約束條件和力邊界條件確定，跨中作用有集中荷載的簡(jiǎn)支梁，彎矩M(z)為雙折線；滿跨分布均布荷載的簡(jiǎn)支梁，彎矩M(z)為拋物線；分布荷載p(z)為坐標(biāo)z的一次或者更高次函數(shù)，彎矩M(z)將會(huì)是三次或者以上拋物線。在分析計(jì)算中，每次都根據(jù)截面彎矩M(z)來確定μ顯得比較麻煩。鑒于實(shí)際荷載為離散隨機(jī)分布，截面彎矩M(z)分布規(guī)律復(fù)雜，在實(shí)際分析中，我們可以將截面彎矩M(z)按三角級(jí)數(shù)進(jìn)行展開，利用三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，得到μ的實(shí)用計(jì)算方法：

近似取第一項(xiàng)，并令展開彎矩M(z)與實(shí)際彎矩在跨中相等，得

將式（1-1 0）代入式（1-8）得

2 荷載分布差異的影響分析

彎矩M(z)按三角級(jí)數(shù)進(jìn)行展開，項(xiàng)數(shù)取得越多就能越精確滿足荷載邊界條件，而式（1-11）是只取一項(xiàng)的情況，其不能精確滿足荷載邊界條件，而只能近似等效，實(shí)際上，式（1-11）要求荷載邊界應(yīng)為正弦分布荷載。當(dāng)荷載為集中荷載或是均布荷載時(shí)，式（1-1 1）只能近似的計(jì)算，為了說明這種近似計(jì)算帶來的誤差在工程中是可以接受，計(jì)算結(jié)果也是偏于安全的，采用模型進(jìn)行分析，該模型是文獻(xiàn)[2]的試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

按照經(jīng)典梁理論[4]，并引入抗彎剛度折減系數(shù)μ，得到簡(jiǎn)支梁的荷載、跨中撓度和抗彎剛度三者的關(guān)系式為：

其中B0是只考慮混凝土翼板面積的截面抗彎剛度，為不計(jì)腹板剪切變形影響的截面抗彎剛度，下文簡(jiǎn)稱為未折減剛度，此時(shí)μ =1；

當(dāng)μ按照式（1-11）計(jì)算時(shí)，μB0表示考慮波形鋼腹板剪切變形的截面抗彎剛度，也為本文提出抗彎剛度近似計(jì)算方法，下文有提到本文方法系按照式（1-11）的近似計(jì)算，考慮波形鋼腹板剪切變形的截面抗彎剛度下文亦簡(jiǎn)稱為折減后剛度；

提出這樣的假設(shè)在試驗(yàn)或者有限元分析時(shí)，荷載、跨中撓度和抗彎剛度總遵循著式（1-1 2）和式（1-1 2）計(jì)算格式，剪切變形或者其他影響因素都?xì)w結(jié)到抗彎折減系數(shù)μ上，B0始終為只考慮混凝土翼板面積的截面抗彎剛度，而不同方法μB0代表的意義就不同。通過試驗(yàn)可以得到梁的荷載與跨中撓度，將其代入式（1-12）和式（1-12），這樣可以計(jì)算出剛度μB0，此時(shí)μB0的意義為截面的實(shí)際抗彎剛度；有限元分析亦可以得到不同荷載等級(jí)下跨中節(jié)點(diǎn)的位移，也將其代入式（1-12）和式（1-12）得到有限元的剛度μ B0。

(1) 驗(yàn)證模型

為文獻(xiàn)[2]的試驗(yàn)?zāi)Ｐ?。模型尺寸，如圖3所示。波形鋼腹板尺寸：波高為24mm，波長為144mm，斜板段長度32 mm和直板段長度40mm，板厚為2mm，板的高度為307mm。

圖3 模型尺寸（單位:mm）

材料性質(zhì)列于表1。

表1 材料性質(zhì)

建立有限元模型：本節(jié)分析的是波形剛腹板剪切變形的影響，單元選擇應(yīng)能夠保證剪切變形得到正確模擬，shell181可以考慮剪切變形影響的單元，所以采用shell181來模擬波形鋼腹板，而混凝土翼板比波形鋼板厚，采用和shell181同階的實(shí)體單元solid45來模擬；不考慮預(yù)應(yīng)力筋作用；利用對(duì)稱性，只建立1/ 4模型，在對(duì)稱面施加對(duì)稱約束即可。模型的約束邊界條件為簡(jiǎn)支，所以只約束支座處節(jié)點(diǎn)x，y方向的平動(dòng)自由度，z方向可以自由伸縮；集中力等效為一定面積內(nèi)分布荷載，以避免應(yīng)力集中。模型采用映射網(wǎng)格劃分，總共3260個(gè)solid45單元，245個(gè)shell181單元。圖4為有限元模型。

圖4 試驗(yàn)?zāi)Ｐ廷裼邢拊Ｐ?/p>

（a）跨中集中荷載

本節(jié)分析波形鋼腹板剪切變形對(duì)截面抗彎剛度的折減問題，原則上只要通過式（1-12）和式（1-13）獲得試驗(yàn)或者有限元模型的抗彎剛度即可，但為了更直觀反映剪切變形影響的規(guī)律，我們用未折減剛度和折減后剛度，通過式（1-1 2）和式（1-1 3）計(jì)算各荷載等級(jí)下不計(jì)腹板剪切變形對(duì)抗彎剛度折減的撓度值和本文方法計(jì)算的撓度值，并將其與有限元法的撓度值、試驗(yàn)撓度值列于表2進(jìn)行比較。

表2 簡(jiǎn)支梁受跨中集中荷載的撓度比較

其中，試驗(yàn)撓度值為文獻(xiàn)[2]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。有限元法的撓度值是提取有限元模型跨中底板中間節(jié)點(diǎn)和波形剛腹板兩側(cè)節(jié)點(diǎn)，共三個(gè)節(jié)點(diǎn)的y方向位移平均值。

圖5 模型Ⅰ集中荷載—跨中撓度曲線

從圖5荷載—跨中撓度曲線圖可以看出：在試驗(yàn)荷載范圍內(nèi)，簡(jiǎn)支梁跨中撓度值與荷載是線性關(guān)系，說明簡(jiǎn)支梁在試驗(yàn)加載過程中還處于彈性階段；有限元模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合。

驗(yàn)證模型的剪跨比為1/13.7＜1/10，在相同的荷載等級(jí)下，剛度未折減的撓度值比試驗(yàn)和有限元的撓度值偏小，誤差為14.8%，說明在此剪跨比下，波形鋼腹板剪切變形仍引起截面的抗彎剛度較大折減，而忽略剪切變形影響計(jì)算得到的截面抗彎剛度偏于剛性。

從式（1-13）看出，截面剛度EI正比于荷載與撓度的比值F/VC，因此，荷載—跨中位移曲線各個(gè)直線斜率的比值就是截面的剛度比。取未折減的截面抗彎剛度為1，可以求得折減后剛度為0.757，試驗(yàn)剛度為0.848，有限元?jiǎng)偠葹?.857。將試驗(yàn)剛度當(dāng)做簡(jiǎn)支梁的實(shí)際抗彎剛度，比較折減后截面抗彎剛度與實(shí)際抗彎剛度的差值，就可以得到采用式（1-11）近似計(jì)算引起的誤差。在集中荷載作用下，驗(yàn)證模型采用式（1-11）計(jì)算折減后剛度比實(shí)際抗彎剛度要小10.7%。而未折減抗彎剛度比實(shí)際抗彎剛度大17.9%。若不考慮剛度折減，偏于剛性，考慮剛度經(jīng)折減后，偏于柔性，且誤差值較小，說明此例可采用式（1-11）給出的折減系數(shù)計(jì)算抗彎剛度。

(b)均布荷載

仍采用試驗(yàn)?zāi)Ｐ廷瘢瑢⒓泻奢d轉(zhuǎn)化為沿垮均勻分布的線荷載，荷載等級(jí)分為2.083N/mm，4.166 N/mm，6.249 N/ mm。撓度計(jì)算結(jié)果列于表3。

表3 簡(jiǎn)支梁受均布荷載的撓度比較

圖6 模型Ⅰ均布荷載—跨中撓度曲線

仍采用前面的方法，取未折減的截面抗彎剛度為1，可以求得折減后剛度為0.754，有限元計(jì)算的剛度為0.835。在均布荷載作用下，驗(yàn)證模型采用式（1-11）對(duì)剛度進(jìn)行折減后比實(shí)際抗彎剛度要小9.7%。而未折減抗彎剛度比實(shí)際抗彎剛度大19.8%。均布荷載作用下，本例采用式（1-11）計(jì)算截面抗彎剛度誤差較小，且結(jié)果偏剛性。

從圖5和圖6可以得到可以看出這樣的規(guī)律：試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜔o論是在集中荷載還是均布荷載作用下，未折減截面抗彎剛度偏大，而考慮剪切變形折減后結(jié)構(gòu)剛度偏小，未折減和折減后兩條荷載—跨中撓度曲線包絡(luò)著有限元計(jì)算得到的荷載—跨中撓度曲線。折減后的曲線與有限元的曲線比較靠近，說明采用式（1-11）給出的折減系數(shù)計(jì)算抗彎剛度都有較好的精度。

3 結(jié)論

本文按照考慮剪切變形的Timoshenko梁彎曲理論推導(dǎo)出，考慮波形剛腹板剪切變形的撓度計(jì)算式和剛度計(jì)算式，在此基礎(chǔ)上，將彎矩M按三角級(jí)數(shù)展開并近似取第一項(xiàng)，利用三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，得到簡(jiǎn)單的考慮波形剛腹板剪切變形對(duì)抗彎剛度折減系數(shù)表達(dá)式。計(jì)算方法最大特點(diǎn)是使用簡(jiǎn)單的正弦分布荷載來等效實(shí)際復(fù)雜隨機(jī)的荷載分布，通過驗(yàn)證模型，驗(yàn)證了這種等效在集中荷載和均布荷載下具有良好的精度。實(shí)際荷載分布具有隨機(jī)離散性，其分布引起的內(nèi)力較集中荷載和均布荷載都要接近于正弦分布規(guī)律，或者研究中需要將位移或者內(nèi)力按照三角級(jí)數(shù)的情形，計(jì)算精度將進(jìn)一步提高。

[1]水口和之，等.本谷橋的設(shè)計(jì)與施工.橋梁基礎(chǔ)[M].1998（9）2-10

[2]王文.波形剛腹板箱梁扭轉(zhuǎn)效應(yīng)和畸變效應(yīng)的分析與模型試驗(yàn)研究[D].湖南大學(xué).2007.5

[3]Mohamed Elg，aaAlynand Sesha，driRobert W.Hamilton Bending Strength of Steel Beams with Corrugated We.bsJ[oJ]urnal of Structural Engineering, Vol.123, No.6, June 1997, pp.772-782

[4]孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)（Ⅰ）[M].北京：高等教育出版社.2001

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.12.022

李世深(1984-)，男，工學(xué)碩士，廣西崇左市，廣西大學(xué)土木建筑學(xué)院。