李麗

(1.同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海201804；2.德州學(xué)院計算機(jī)系，山東德州253023)

模糊隨機(jī)供需變量的VM I的訂貨量模型

李麗1，2

(1.同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海201804；2.德州學(xué)院計算機(jī)系，山東德州253023)

VM I（Vendor Managed Inventory，供應(yīng)商管理庫存）環(huán)境是一個不確定的環(huán)境。由于不能準(zhǔn)確地刻畫需求與供給的變化，使得供應(yīng)商不能很好解決按需訂貨問題，庫存成本居高不下。文章將ADI（Advance Demand Information，預(yù)求信息）和準(zhǔn)時到貨率描述為模糊隨機(jī)變量，更客觀地反映了市場情形。為了在模糊隨機(jī)環(huán)境下得到供應(yīng)商的訂貨量，基于模糊隨機(jī)理論，對傳統(tǒng)EOQ模型進(jìn)行了擴(kuò)展，提出了模糊隨機(jī)供需變量的VM I的訂貨量模型。對特殊的模糊隨機(jī)供需變量的情形，不僅能夠得出最優(yōu)訂貨量，有效降低庫存費(fèi)用，而且能夠分析供應(yīng)商的費(fèi)用隨庫存管理費(fèi)用變化的情況，使得在不確定環(huán)境下決策時能利用更多的信息。

供應(yīng)商管理庫存；模糊隨機(jī)變量；預(yù)求信息；準(zhǔn)時到貨率；最優(yōu)訂貨量

0 引言

VMI（Vendor Managed Inventory，供應(yīng)商管理庫存）是一種在購買商占優(yōu)的市場環(huán)境中出現(xiàn)的一種供應(yīng)鏈庫存管理模式[1]（Tyan和Wee，2003）。在生產(chǎn)提前期（對客戶來說，稱需求提前期）長的供應(yīng)鏈中，常采用VMI的管理模式，如圖1。需求提前期較長的客戶在需要之前下訂單時的需求信息，為預(yù)求信息（Advance Demand Information，ADI）。購買商為了幫助供應(yīng)商更好地感知需求，借助于電子商務(wù)，為供應(yīng)商提供ADI（如購買商公布的生產(chǎn)計劃信息）。例如Ford公司和GM公司向其供應(yīng)商發(fā)布ADI并且每周更新訂單[2]。

VMI中，由于供應(yīng)商管理庫存，用戶和供應(yīng)商之間合作，雙方可以更好地兼顧供應(yīng)和需求以減少大量冗余庫存。對于需求和準(zhǔn)時到貨率，由于企業(yè)積累了用于擬合其概率分布的歷史數(shù)據(jù)，雖然數(shù)據(jù)有限并且不完全可靠，但用隨機(jī)變量來描述有一定的合理性。另外，需求和準(zhǔn)時到貨率還是庫存管理中不能清晰界定的信息，可以按照專家的經(jīng)驗(yàn)估計其值，用模糊變量來描述也有其合理性?？梢哉f需求及準(zhǔn)時到貨率的模糊性、隨機(jī)性是交織在一起出現(xiàn)的。而在一些文獻(xiàn)中，需求和供應(yīng)被看作隨機(jī)變量或模糊變量，這樣刻畫很難準(zhǔn)確描述企業(yè)真實(shí)情況。當(dāng)有最多兩年的歷史數(shù)據(jù)時，ADI和準(zhǔn)時到貨率等都可以被刻劃為模糊隨機(jī)變量?；谀：S機(jī)變量建模得到的結(jié)果與實(shí)際情況接近，因而更加實(shí)用。因此，本文研究模糊隨機(jī)供需變量的VMI的訂貨量模型。

1 模糊隨機(jī)供需變量及其數(shù)學(xué)描述

1.1 模糊隨機(jī)需求的數(shù)學(xué)描述

Liu Y和Liu B[2]（2003年）給出了獨(dú)立同分布的模糊隨機(jī)變量的概念，同時也給出了模糊隨機(jī)變量的純量期望值算子的定義。

定義1[2]（Liu Y和Liu B，2003）假設(shè)ξ是一個從概率空間(Ω,A,Pr)到模糊變量集合的函數(shù)。如果對于R上的任何Borel集B，Cr{ξ(ω)∈B}是ω的可測函數(shù)，則稱ξ為一個模糊隨機(jī)變量。

VMI中，下游企業(yè)的ADI是供應(yīng)商確定訂貨量的一個因素。由于從供應(yīng)商確定訂貨量到下游企業(yè)實(shí)際使用這批訂貨，經(jīng)歷的時間較長，原預(yù)測的市場情形可能變?yōu)橄掠纹髽I(yè)減產(chǎn)（與訂貨時預(yù)測的數(shù)量相比）、增產(chǎn)等。各情形下的需求量管理者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可估計，各種市場情形服從的概率分布由歷史數(shù)據(jù)可統(tǒng)計。用模糊隨機(jī)變量刻畫需求是合適的。根據(jù)定義1，設(shè)需求是一個從概率空間(Ω,A,Pr)到模糊變量構(gòu)成的集合的函數(shù)。為正的模糊變量（例如三角模糊變量、梯形模糊變量等）。假設(shè)與訂貨時間點(diǎn)下游企業(yè)發(fā)布的生產(chǎn)計劃相比，不確定市場環(huán)境下存在種隨機(jī)市場情形，如下游企業(yè)減產(chǎn)、產(chǎn)量與訂貨點(diǎn)公布的計劃相近、增產(chǎn)等，用ωi表示第i種市場情形（如用表示下游企業(yè)減產(chǎn)），每種情形發(fā)生的概率分別為p1，p2，…，pn。i=1,2,…，n可將需求表示為如下形式：

根據(jù)Liu和Liu[3]的定義，由于式（1）中的為正的模糊變量，則的期望值為的隸屬函數(shù)為ui，根據(jù)Liu[4]的定理，則：

因此，本文給出在一定訂貨批量下，模糊隨機(jī)需求的期望值的計算公式：

（1）式定義的需求可看作是最簡單形式的模糊隨機(jī)需求。模糊隨機(jī)需求還可以表示為關(guān)于隨機(jī)變量的其它形式的模糊變量。

1.2 模糊隨機(jī)準(zhǔn)時到貨率的數(shù)學(xué)描述

生產(chǎn)提前期長的行業(yè)的生產(chǎn)環(huán)節(jié)存在對訂單產(chǎn)品的順利生產(chǎn)有很大的影響的不確定因素。假設(shè)不確定生產(chǎn)環(huán)境下存在n種隨機(jī)情形，如機(jī)組產(chǎn)能穩(wěn)定、瓶頸工序積壓、機(jī)器發(fā)生故障等，用表示第i種隨機(jī)生產(chǎn)情形，每種生產(chǎn)情形發(fā)生的概率分別為根據(jù)定義1，本文將準(zhǔn)時到貨率表示為如下形式：

（4）式定義的模糊隨機(jī)準(zhǔn)時到貨率可看作是最簡單形式的模糊隨機(jī)變量。模糊隨機(jī)準(zhǔn)時到貨率也可以被刻畫為其他模糊隨機(jī)變量形式。

3 問題描述、假設(shè)及符號

當(dāng)前，VMI中，下游的購買商對上游供應(yīng)商的產(chǎn)品滿足市場需求的速度提出了很高的要求，越來越多的企業(yè)要求供應(yīng)商采用JIT(Just In Time，準(zhǔn)時化)供應(yīng)。供應(yīng)商為了及時響應(yīng)需求，防止不能按時交貨，通常要儲備大量的庫存，以應(yīng)付需求量的增加以及上游生產(chǎn)商交貨的不穩(wěn)定，造成了高額的運(yùn)行成本，嚴(yán)重影響了企業(yè)的競爭力。

造成企業(yè)庫存量大、庫存成本高的原因有很多，除了需求和供給的不確定因素外，還有一個原因是VMI企業(yè)沒有一個合適的訂貨量模型。企業(yè)在不確定的環(huán)境下運(yùn)營，訂貨量模型不合適的結(jié)果是要么有可能發(fā)生缺貨，不能及時滿足需求，要么造成庫存量大，庫存成本居高不下。在供需變量為模糊隨機(jī)變量的VMI中，供應(yīng)商面臨的問題是，如何在滿足對下游企業(yè)供應(yīng)的基礎(chǔ)上，決策最優(yōu)的不允許缺貨的訂貨量，使存儲系統(tǒng)總費(fèi)用最?。?/p>

由于JIT供應(yīng)下，供應(yīng)商缺貨將導(dǎo)致包括產(chǎn)品相應(yīng)的利潤、下游企業(yè)因缺貨而停產(chǎn)、失去供應(yīng)鏈的長期合作伙伴等損失，這些損失遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了產(chǎn)品的存儲成本。因此，在這里視為不允許缺貨的模型。具有一定生產(chǎn)周期的行業(yè)一般采用定期訂貨模式，因此，本文假設(shè)定期訂貨、一次性到貨。

假設(shè)一對一的供應(yīng)鏈，即購買商只從一家供應(yīng)商處采購，而供應(yīng)商也只為這一家購買商供貨，購買商的銷售量就是供應(yīng)商的采購量，且供應(yīng)商是這種關(guān)系的主導(dǎo)者。單一產(chǎn)品。此外，假設(shè)具有預(yù)算資金和存儲空間的約束。

為了表述問題的方便，列出其它一些符號。

T以周為單位的周期（采購量消耗期）；

L訂貨提前期；

B1供應(yīng)商每周期最大的資金約束；

B2供應(yīng)商的最大存儲量；

c1供應(yīng)商單位產(chǎn)品的訂貨、生產(chǎn)準(zhǔn)備、生產(chǎn)及配送成本之和；

h供應(yīng)商的單位產(chǎn)品的存儲成本。

4 模型的建立

VMI模式下（如圖1），供應(yīng)商根據(jù)組織內(nèi)生產(chǎn)部門的供應(yīng)信息和組織外企業(yè)的需求信息做訂貨決策。根據(jù)傳統(tǒng)庫存控制理論和EOQ模型的思想，決策VMI的訂貨量時，與訂貨量有關(guān)的因素為持有庫存量、最小存儲系統(tǒng)總費(fèi)用、可用資金、最大庫存容量、需求量等。經(jīng)典EOQ是針對單個企業(yè)而言的，訂貨模式如圖2。經(jīng)典EOQ模型假設(shè)需求為確定值，而很多情況下需求量為模糊隨機(jī)變量；經(jīng)典EOQ模型假設(shè)當(dāng)存儲降為零時，可以立即得到補(bǔ)充并且所要補(bǔ)充的數(shù)量全部同時到位，而很多行業(yè)生產(chǎn)周期長，無法隨時補(bǔ)貨。經(jīng)典EOQ模型沒有供應(yīng)變量，而VMI中準(zhǔn)時到貨率也作為決策訂貨量的一個模糊隨機(jī)變量。因此需對EOQ模型進(jìn)行擴(kuò)展。

常見訂貨量模型問題的研究多為確定型的和隨機(jī)型的，本文研究模糊隨機(jī)型訂貨量模型。本文模型與傳統(tǒng)EOQ模型不同的是需求量為模糊隨機(jī)變量，同時又添加了準(zhǔn)時到貨率變量，而且準(zhǔn)時到貨率也是模糊隨機(jī)變量。解決模糊隨機(jī)庫存問題的主要方法是對經(jīng)典庫存模型進(jìn)行擴(kuò)展。Das等[5]（2004）研究了模糊隨機(jī)環(huán)境下的庫存問題。然而這些研究只給出了適用于一些特殊的模糊隨機(jī)環(huán)境下的庫存優(yōu)化方法，沒有給出需求與供應(yīng)的模糊隨機(jī)變量下的需求與供應(yīng)相平衡的庫存模型。為此，本文需在分析供應(yīng)商的訂貨量模型（Order Quantity Model，OQM）邏輯的基礎(chǔ)上，利用模糊隨機(jī)數(shù)學(xué)方法，對EOQ模型進(jìn)行擴(kuò)展，建立需VMI的訂貨量模型。本文考慮的模型的邏輯如圖3。由持有庫存、單位持有費(fèi)用等確定值和模糊隨機(jī)需求、準(zhǔn)時到貨率等參數(shù)確定訂貨量；以最小庫存費(fèi)用為目標(biāo)，約束為資金和庫存容量限制。

模糊隨機(jī)環(huán)境下的定期訂貨、不允許缺貨的VMI模型的存儲狀態(tài)圖如圖4。[T0，T+T0]為一個存儲周期，也是采購量的消耗周期。T0時刻結(jié)束生產(chǎn)并運(yùn)到倉庫；T0時刻庫存量迅速增加至最大存儲量B2，并停止生產(chǎn)及運(yùn)送；[T0，T+T0]時間內(nèi)以存儲滿足需求，存儲以速度r軇'減少。至T+T0時刻存儲降為最低，進(jìn)入下一個存儲周期。

易知，在[T0，T+T0]時間內(nèi)，T時段內(nèi)的總費(fèi)用包括供應(yīng)商每次訂貨的訂貨費(fèi)、生產(chǎn)準(zhǔn)備、生產(chǎn)、配送及存儲費(fèi)用。設(shè)訂貨費(fèi)、生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)、生產(chǎn)及配送費(fèi)用之和為c1。單位產(chǎn)品的存儲成本為h，平均存儲量為故存儲費(fèi)為故[T0，T+T0]時間內(nèi)總費(fèi)用為：

決策目的是尋找最優(yōu)訂貨量Q，使得供應(yīng)商的費(fèi)用期望值達(dá)到極小。因此目標(biāo)函數(shù)為：

假設(shè)在月初訂貨，已知I后，決策者確定訂貨量Q。根據(jù)Liu Y和Liu B（2003）[12]的定理，由于i（i=1,2,…，T+L）為模糊隨機(jī)變量并且有有限期望值。若對每個ω∈Ω，各模糊變量i（ω）（i=1,2,…，T+L）相互獨(dú)立，則理想狀態(tài)下的公式為：

從圖4可見，訂貨提前期為[0，T0]，存儲量應(yīng)恰好滿足這段時間的需求，故定期檢查庫存量，當(dāng)時不補(bǔ)充，當(dāng)時補(bǔ)充。上式變?yōu)槿缦录s束，即

假設(shè)B1為每周期最大的資金約束。如果決策者希望VMI下產(chǎn)品供應(yīng)商每次的訂貨成本、生產(chǎn)準(zhǔn)備、生產(chǎn)、配送成本與供應(yīng)商的庫存持有成本之和不超過可得到的每周期成本之和，則關(guān)于資金預(yù)算的約束為：

如果決策者希望定期檢查時倉庫的實(shí)際庫存量與到貨量之和不超過最大庫存，則關(guān)于最大庫存量的約束如下：

關(guān)于決策變量的非負(fù)約束為：

構(gòu)造下列VMI的模糊隨機(jī)期望值模型。

即：

4 模型的求解

如果假設(shè)VMI模式下，供應(yīng)商估計的下游企業(yè)的一個周期內(nèi)總需求為，其中ρ1為正態(tài)隨機(jī)變量，記為ρ1～N(a,σ2)，ρ1的概率密度函數(shù)為∞

表1 VM I庫存系統(tǒng)參數(shù)值

可分析供應(yīng)商的費(fèi)用隨庫存管理費(fèi)用變化的情況。具體方法為：將Q的值固定，將、I和Q的值代入（6）式并化簡，得的表達(dá)式。由約束2（即（9）式）得h的取值范圍。由于是關(guān)于h的函數(shù)，可作圖表示當(dāng)Q取某特定值時，供應(yīng)商的費(fèi)用隨h變化的情況。還可將視h為變量，將E、c1、I、B1和B2的值代入（13）式。由約束1、3和約束4，得到Q的范圍，作圖分析供應(yīng)商的費(fèi)用隨h和Q變化的情形。通過分析供應(yīng)商的存儲系統(tǒng)總費(fèi)用隨庫存管理費(fèi)用變化的情況，為企業(yè)決策最優(yōu)訂貨量提供更進(jìn)一步的依據(jù)。圖5為假設(shè)Q=3700時的供應(yīng)商的費(fèi)用隨變化的情況。圖6為供應(yīng)商的費(fèi)用隨h、Q變化的情況。

當(dāng)模糊隨機(jī)需求中的d1,d2,…，dn的隸屬函數(shù)復(fù)雜，并且隨機(jī)市場情形因素服從某種概率分布時，難以用解析方法求解該復(fù)雜模型。這時可利用模糊隨機(jī)模擬與智能算法相結(jié)合的辦法求解。

5 結(jié)論

目前VMI模式在制造業(yè)、燃料流通業(yè)、零售業(yè)等諸多行業(yè)中普遍存在。VMI中存在著大量的模糊隨機(jī)不確定性。在經(jīng)典的經(jīng)濟(jì)訂購批量問題中，假設(shè)需求是一個確定數(shù)，并且假設(shè)當(dāng)存儲降為零時，可以立即得到補(bǔ)充并且所要補(bǔ)充的數(shù)量全部同時到位。而在這些行業(yè)中，需要研究定期訂貨、ADI和準(zhǔn)時到貨率為模糊隨機(jī)變量、一次性到貨的訂貨量模型。因此針對VMI應(yīng)用中遇到的具體難題，本文將需求量、準(zhǔn)時到貨率變量刻畫為模糊隨機(jī)變量，以更真實(shí)而準(zhǔn)確地反映企業(yè)現(xiàn)實(shí)環(huán)境，考慮需求與供給的平衡，將傳統(tǒng)EOQ模型進(jìn)行了擴(kuò)展，使得庫存控制理論的應(yīng)用范圍更廣、適用性更強(qiáng)。對特殊情形得出了模型的解析解，討論了供應(yīng)商的庫存費(fèi)用隨單位庫存持有費(fèi)用及訂貨量變化的情形，為企業(yè)決策最優(yōu)訂貨量提供更進(jìn)一步的依據(jù)。

[1]Tyan J,Wee Hui-Ming.Vendor Managed Inventory:a Survey of the Taiwanese Grocery Industry[J].Journal of Purchasing and supply Management,2003,(9).

[2]Liu Y K,Liu B.Fuzzy Random Variables:a Scalar Expected Value Operator[J].Fuzzy Optimization and Decision Making,2003,2(2).

[3]Liu B,Liu Y.Expected Value of Fuzzy Variables and Fuzzy Expected Value Models[J].IEEE Transactions Fuzzy Systems,2002,10(4).

[4]Liu B.Uncertainty Theory:an Introduction to its Axiomatic Foundations[M].Berlin：Springer-Verlag,2004.

[5]Das K.,Roy T.,Maiti M.Multi-item Stochastic and Fuzzy-stochastic Inventory Models under Two Restrictions[J].Computers&Operations Research,2004,（31）.

F224

A

1002－6487（2011）07－0058-04

李麗（1968-），女，山東德州人，博士，教授，研究方向：供應(yīng)鏈管理、信息管理與信息系統(tǒng)。

(責(zé)任編輯/易永生)