張楠

（重慶電子工程職業(yè)學(xué)院汽車工程系，重慶401331）

Mathematica在《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中的應(yīng)用初探

張楠

（重慶電子工程職業(yè)學(xué)院汽車工程系，重慶401331）

數(shù)學(xué)是高等教育中重要的基礎(chǔ)課程，其重要性和基礎(chǔ)理論價值得到普遍公認(rèn)。但由于數(shù)學(xué)學(xué)科本身的課程特點，特別是利用傳統(tǒng)教學(xué)方法很難引起學(xué)生興趣的問題，因此教師須更新教學(xué)理念和教學(xué)手段，使高等數(shù)學(xué)知識更加直觀地呈現(xiàn)在課堂內(nèi)容之中，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；同時將理論知識傳授與實踐教學(xué)相結(jié)合，將Mathematica軟件應(yīng)用在教學(xué)過程中，讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，更加深刻地掌握所學(xué)內(nèi)容。

高等數(shù)學(xué)；教學(xué)改革；Mathematica軟件

數(shù)學(xué)被公認(rèn)為是高度抽象的學(xué)科。對數(shù)學(xué)科學(xué)的傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方法，都是從公理體系出發(fā)，沿著“定義→定理→證明→推論”的邏輯演繹道路行進(jìn)。公理化體系的建立，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，使數(shù)學(xué)成為有別于其他自然科學(xué)的學(xué)科。

但是必須認(rèn)識到，數(shù)學(xué)的抽象來源于對具體數(shù)學(xué)現(xiàn)象的歸納和總結(jié)。數(shù)學(xué)教學(xué)中要教會學(xué)生采用歸納與演繹并重的方法和實驗的手段來學(xué)習(xí)和理解高等數(shù)學(xué)，強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行觀察和研究，發(fā)現(xiàn)問題，通過自己的分析思考最終使問題得到解決，從而更加深入地理解和掌握數(shù)學(xué)的概念與方法[1]。

本文結(jié)合實際學(xué)習(xí)和科研應(yīng)用的經(jīng)驗，介紹了基于Methematica軟件平臺的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式，并對其在課堂教學(xué)環(huán)境中的具體應(yīng)用形式進(jìn)行有益探索。

1 Methematica軟件簡介

Mathematica是一款科學(xué)計算軟件，由Stephen Wolfram創(chuàng)建的Wolfram Research研發(fā)，它很好地結(jié)合了數(shù)值和符號計算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)與其他應(yīng)用程序的高級連接；其功能強(qiáng)大，可以同時完成數(shù)值計算、符號演算、圖像制作和編程等各項功能。隨著時間的推移，Mathematica在相當(dāng)廣泛的技術(shù)和其他領(lǐng)域顯示出其重要性，目前已被應(yīng)用于諸多科學(xué)領(lǐng)域，包括物理、生物、社會學(xué)及其他學(xué)科。同時Mathematica還被廣泛地應(yīng)用于教學(xué)，從高中到研究生院有數(shù)以百計的課程。

2 Methematica軟件在教學(xué)環(huán)節(jié)中的應(yīng)用初探

高等數(shù)學(xué)課程有其固有的特點：高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性。抽象性是數(shù)學(xué)最基本的特點，嚴(yán)密的邏輯性是數(shù)學(xué)理論的歸納和整理中必須遵循的規(guī)則。但這也造成了課程講授內(nèi)容高度的概念化和理論化，學(xué)生不易接受，甚至對基本概念的傳授都有很大的難度。這時借助Mathematica的函數(shù)計算與圖形演示功能就可以很直觀地展示原本顯得刻板的數(shù)學(xué)概念，能夠有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性?！皹O限”是學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)之初就要掌握的數(shù)學(xué)概念，“極限”思想是微積分的基本思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等都需借助于“極限”來定義。本文就以講授極限部分課程內(nèi)容時的實踐經(jīng)驗為例來介紹如何將Mathematica軟件應(yīng)用于《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)之中。

2.1 直觀展示教學(xué)內(nèi)容并實現(xiàn)課堂即時互動

高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中一個比較突出的問題是對概念、定理等基本內(nèi)容進(jìn)行講解時，高度的理論化、概念化及抽象化不利于學(xué)生理解與掌握。同時，學(xué)生在課堂上被動地接受知識，也造成課堂氣氛沉悶，學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容感到枯燥乏味。教師要在講授過程中對這類基本知識進(jìn)行具體化形象化的表述，通過舉例直觀地加以展現(xiàn)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時也通過舉例引導(dǎo)學(xué)生在課堂上與教師進(jìn)行互動，讓學(xué)生由被動接受的客體轉(zhuǎn)換為主動探索的主體。

極限是一個系統(tǒng)的知識體系，本文以幾個概念的講解過程為例展示如何在課程中使用Mathematica軟件。

自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限有如下定義：設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時有定義，如果對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。?，總存在著正數(shù)X，使得對于適合不等式|x|＞X的一切x，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f (x)－A|＜ε，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時的極限，記作f(x)=A或f(x)－A(當(dāng)x→∞)[3]。

如果對此定義按照書本內(nèi)容單純進(jìn)行文字性的講解，無疑會讓學(xué)生感到很枯燥。但如能配以一個函數(shù)的真實圖形加以說明就會十分直觀，學(xué)生也能更好理解。比如對于函數(shù)有其函數(shù)圖形可用Mathematica軟件繪制，如圖1所示。學(xué)生可以直觀地看到在其自變量趨于無窮大時，極限趨于0。

圖1 Mathematica繪制的函數(shù)圖形

除了要進(jìn)行演示，在課堂上還要與學(xué)生進(jìn)行互動，使之由被動接受的客體轉(zhuǎn)換為主動求知的主體。這就需要設(shè)定必要的教學(xué)環(huán)節(jié)吸引學(xué)生主動參與。極限中有左極限和右極限的概念，并且當(dāng)左右極限都存在，但不相等時，不存在。在講授這部分內(nèi)容時，教師可以預(yù)先找一個具有以上性質(zhì)的函數(shù)。如：f(x)=e1/x，當(dāng)x→0時，其左右極限存在且不等。先讓學(xué)生自己用Mathematica軟件求其左右極限，并發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象（如圖2所示），然后再進(jìn)行分析講解。這樣不僅能夠激發(fā)學(xué)生主動探索的興趣與能力，也為教師講授教學(xué)內(nèi)容做好鋪墊。

圖2 用Mathematica計算函數(shù)f(x)=e的極限

2.2 開展高等數(shù)學(xué)實驗引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)

高等數(shù)學(xué)的重要特點之一是其本身有著廣泛的應(yīng)用性，在高職教學(xué)中尤其要強(qiáng)調(diào)和重視應(yīng)用性的特點。通過課堂教學(xué)使學(xué)生掌握基本概念和理論知識后，要讓學(xué)生通過實踐深化這一概念，認(rèn)識到高等數(shù)學(xué)雖然“高深”但距離我們的實際生產(chǎn)生活并不遙遠(yuǎn)，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識的目的是實現(xiàn)其應(yīng)用價值。通過使用Mathematica軟件在課后讓學(xué)生開展高等數(shù)學(xué)實驗，利用數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實問題，可以很好地實現(xiàn)此目的。

仍以學(xué)習(xí)極限知識為例，我們通過讓學(xué)生研究生活中常見的銀行利息問題，便可以在加深其對極限知識理解的同時，體會其在應(yīng)用中的現(xiàn)實意義。

首先給出一個真實的利率問題：假設(shè)一位顧客在銀行開設(shè)了一個a0元的存款賬戶，銀行每年會按照利率r支付利息。用an表示n年后在顧客賬戶中的存款總額。根據(jù)利率計算公式知：an=(1+r)na0。

我們設(shè)定的問題是：若銀行改為每月結(jié)算一次利息，每月利率為r/12，n年后的本息之和是多少？若銀行每天結(jié)算一次利息，每天利息為r/365，n年后的本息之和是多少？若銀行每小時、每分鐘、每秒鐘結(jié)算一次利息本息又是多少？不失一般性，設(shè)銀行每年結(jié)算m次利息，每個結(jié)算周期的利率為r/m，n年后的本息之和為多少？

下面我們就可以引導(dǎo)學(xué)生利用Mathematica軟件解決這個問題。

（1）首先讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的概念：當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，要在深入調(diào)查研究、了解對象信息、做出簡化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號和語言，把它表述為數(shù)學(xué)式，也就是數(shù)學(xué)模型。然后用通過計算得到的模型結(jié)果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗。這個建立數(shù)學(xué)模型的全過程就稱為數(shù)學(xué)建模。然后就可以建立計算本息之和的數(shù)學(xué)模型，此問題建模十分簡單

（2）讓學(xué)生先計算一個特殊情況：存款為1元，年利率為10%，存期為10年，利用Mathematica軟件計算以下不同情況的本息和（如圖3所示）：

從計算結(jié)果可以看出,隨著結(jié)算次數(shù)的增加，1元存款10年后的本息總額越來越接近自然對數(shù)e。當(dāng)m趨于無窮大時，結(jié)算周期變?yōu)闊o窮小，這意味著銀行連續(xù)不斷地向顧客支付利息，這種存款方式稱為連續(xù)復(fù)利結(jié)算。

（3）在連續(xù)復(fù)利情況下，利用上面學(xué)過的極限知識和e的極限形式定義式：啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：

圖3 用Mathematica計算得到的本息和

對于一般情況，可知：

這樣就得到了連續(xù)結(jié)算方式下的n年后的本息額計算公式:bn=a0ern。

上面的實例意在說明通過利用Mathematica軟件指導(dǎo)學(xué)生針對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練，學(xué)生利用極限的知識解決了現(xiàn)實生活中的實際問題，使理論應(yīng)用于實踐，同時又通過實踐加深了對理論的理解和認(rèn)識，學(xué)生通過這樣的過程逐步實現(xiàn)自主學(xué)習(xí)，鞏固了課堂上學(xué)到的內(nèi)容。

3 建議與展望

利用各類軟件輔助教學(xué)在高等院校中已經(jīng)受到了廣泛的重視并正在各類課程中得到推廣。但在基礎(chǔ)學(xué)科，特別是數(shù)學(xué)類學(xué)科教學(xué)中的實踐相對有限。作者在對Mathematica軟件研究使用的基礎(chǔ)上，結(jié)合《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)內(nèi)容和特點，提出利用此軟件輔助教學(xué)的設(shè)想和初步的實踐方案，為改善促進(jìn)高職院校數(shù)學(xué)課程講授形式和方法提供了一個現(xiàn)實可行的思路。

[1]李衛(wèi)國.高等數(shù)學(xué)實驗課[M].北京：高等教育出版社,2000.

[2]Wolfram Research.Wolfram Mathematica歷史及背景[EB/OL]. [2010-10-29].http://www.wolfram.com/products/mathematica/ history.html

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2000:48

責(zé)任編輯 王榮輝

Investigation of Mathematica in Advanced Mathematics Teaching Processes

ZHANG Nan
(Chongqing College of Electronic Engineering,Chongqing 401331,China)

Mathematics is an important basic course in higher education,the importance and basic theoretical value are universally recognized.Because of the characteristics of mathematics itself and limit of teaching object and methods of higher vocational colleges,mathematics,especially advanced mathematics in traditional teaching process is difficult to arouse students’interest.Teachers need to renew the teaching conception and methods,which make the advanced mathematics knowledge more intuitive to present in teaching processes,in order to stimulate students’interest in learning.For combining theory with practice,let the students use the knowledge to solve practical problems,which promotes them master what they have learned in classes deeper.Applying Mathematica in teaching processes is a beneficial attempt for the reform of advanced mathematics teaching methodologies.

advanced mathematics；teaching reform；Mathematica

G642

A

1674－5787（2011）01－0089－03

2010-12-28

張楠(1981—)，男，河北秦皇島人，博士，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究。