趙 輝 張書畢 張秋昭

(1)中國礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測繪學(xué)院，徐州 221008 2)國土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測國家測繪局重點實驗室，徐州221008)

基于加權(quán)總體最小二乘法的GPS高程擬合*

趙 輝1，2)張書畢1)張秋昭1，2)

(1)中國礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測繪學(xué)院，徐州 221008 2)國土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測國家測繪局重點實驗室，徐州221008)

在GPS高程擬合中，針對傳統(tǒng)最小二乘方法不能解決系數(shù)矩陣存在誤差的問題，提出了一種基于加權(quán)總體最小二乘的擬合方法。對平面和二次曲面多項式建立更加合理的擬合模型，并給出了相應(yīng)的迭代算法。實例計算表明，加權(quán)最小二乘方法能夠得到更好的估計參數(shù)，高程異常值擬合精度也相應(yīng)提高。

GPS高程;多項式擬合;EIV模型;最小二乘;加權(quán)總體最小二乘

1 引言

在實際工程應(yīng)用中，我國高程系統(tǒng)普遍采用正常高。傳統(tǒng)水準(zhǔn)測量獲取基于似大地水準(zhǔn)面的正常高，而GPS定位技術(shù)，也可以得到基于WGS84參考橢球的大地高，且操作簡單方便［1］。用GPS定位技術(shù)獲取的正常高去滿足工程應(yīng)用需要，需進行高程系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換，也就必須要知道測點的高程異常值。

對于大多數(shù)工程應(yīng)用，由于測區(qū)范圍不大，高程異常變化平緩，多項式擬合便可滿足精度要求［2］。該方法的基本原理是將高程異常值與平面坐標(biāo)近似描述為多項式關(guān)系，利用同時已知大地高和正常高的公共點組成誤差方程，根據(jù)最小二乘原理求解多項式系數(shù)。然而采用經(jīng)典的Gauss-Markov模型，并不能解決在系數(shù)矩陣中含有誤差的問題。如果觀測向量和系數(shù)陣都存在誤差，那么最小二乘解將不再最優(yōu)，而是有偏的［3］。為此，本文引入基于加權(quán)總體最小二乘(WTLS)的GPS高程多項式擬合，并利用實例數(shù)據(jù)對算法可行性進行驗證。

2 總體最小二乘

2.1 EIV函數(shù)模型

觀測變量含有誤差的EIV(Errors-In-Variable)線性函數(shù)關(guān)系式為［4，5］

其中，y為含有隨機誤差ey的n維觀測向量，A為含有隨機誤差EA的n×m維系數(shù)矩陣，x為m維待估參數(shù)向量。隨機誤差具有如下統(tǒng)計性質(zhì)：

式中，vec表示矩陣列向量化算子，協(xié)因數(shù)陣Qy=，QA=。在總體最小二乘準(zhǔn)則下，可解得顧及系數(shù)陣誤差的參數(shù)估計

對于多元同方差的EIV模型，觀測值權(quán)陣Py和系數(shù)矩陣權(quán)陣PA均為單位陣，可采用迭代法解算參數(shù)估值［6，7］：

2.2 加權(quán)總體最小二乘

對于廣義總體最小二乘(GTLS)中的系數(shù)陣權(quán)陣，按

通過迭代可求解參數(shù)的WTLS估計，并進行精度評定。迭代步驟如下［8，9］：

3 考慮系數(shù)陣誤差的多項式高程擬合

GPS高程擬合多用平面和二次曲面多項式，考慮到由于系數(shù)陣存在誤差，本文引入基于加權(quán)總體最小二乘的解算方法。

二次曲面多項式擬合函數(shù)模型為：

式中，ζi為平面坐標(biāo)(xi，yi)點的高程異常，ai(i=0，…，5)為多項式待估參數(shù)?？蓪懗尚稳缡?1)的矩陣形式，式中

設(shè)平面坐標(biāo)和高程異常值具有同等精度，σx= σy=σζ。對于平面多項式，只需取系數(shù)陣A的前3列。由于第一列為常數(shù)，從而可令P0第一列為零，則

4 實例分析

采用某市20個GPS聯(lián)測水準(zhǔn)的高程數(shù)據(jù)，分析總體最小二乘對多項式GPS高程擬合的可行性與有效性，取均勻分布的前10個點為擬合公共點，其余10個點為外部檢核點。點位分布如圖1所示。

為保證計算精度，先對坐標(biāo)數(shù)據(jù)進行標(biāo)準(zhǔn)化處理，組成觀測方程。分別采用傳統(tǒng)最小二乘、總體最小二乘和加權(quán)最小二乘求得平面和曲面多項式的擬合參數(shù)，表1和表2中列出了3種方法的參數(shù)估值與單位權(quán)中誤差。

由表1和表2可以看出，3種方法對平面擬合和二次曲面擬合參數(shù)求解，采用傳統(tǒng)最小二乘和總體最小二乘兩者計算結(jié)果并無太大差別。然而加權(quán)總體最小二乘單位權(quán)中誤差都有所提高，參數(shù)估值的精度更好。

圖2為加權(quán)總體最小二乘平面和二次多項式擬合殘差，從圖2可以看出最大殘差為6 cm，大多數(shù)在2 cm附近。圖3為傳統(tǒng)最小二乘與總體最小二乘、加權(quán)總體最小二乘擬合殘差的較差，可以看出總體最小二乘法對殘差提高不大，而加權(quán)總體最小二乘法可提高2 mm左右。

表1 平面擬合參數(shù)結(jié)果及精度(單位：m)Tab.1 Plane fitting results and their accuracy with some method(unit：m)

圖1 GPS水準(zhǔn)點位分布Fig.1 Distribution of GPS leveling points

圖2 WTLS擬合殘差Fig.2 Residuals of fitting with WTLS

圖3 LS與TLS、WTLS擬合結(jié)果較差Fig.3 Comparison among the fitting results with LS、TLS and WTLS

表2 二次曲面擬合參數(shù)結(jié)果及其精度(單位：m)Tab.2 Quadric surface fitting results and accuracy with three methods(unit：m)

5 結(jié)語

傳統(tǒng)最小二乘方法在系數(shù)陣存在誤差的情況下，并不能很好地估計多項式系數(shù)參數(shù)。考慮到估計系數(shù)陣含有誤差和觀測變量不等精度，采用了更加合理的加權(quán)總體最小二乘方法。根據(jù)實例計算結(jié)果，加權(quán)總體最小二乘方法的單位權(quán)中誤差更小，檢核點殘差也相應(yīng)減小。在GPS高程擬合中，加權(quán)總體最小二乘法可以提高精度。

1 李征航，黃勁松.GPS測量與數(shù)據(jù)處理［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2010.(Li Zhenghang and Huang Jinsong.GPS surveying and data processing［M］.Wuhan：Wuhan University Press，2010)

2 徐紹銓，等.GPS測量原理及應(yīng)用［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2008.(Xu shaoshuai，et al.The principle and application of GPS surveying［M］.Wuhan：Wuhan University Press，2008)

3 邱衛(wèi)寧，等.測量數(shù)據(jù)處理理論與方法［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2008. (Qiu Weining，et al.The theory and method of surveying data processing［M］.Wuhan：Wuhan University Press， 2008)

4 Chi Lun Cheng，Mastrondrdl N and Palge C.Total least squares and errors-in-variables modeling［J］.Computational Statistics and Data Analysis，2007，52：1 076-1 079.

5 王樂洋，許才軍，魯鐵定.病態(tài)總體最小二乘模型的正則化算法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(信息科學(xué)版)，2010，35(11)：1 346-1 350.(Wang Leyang，Xu Caijun and Lu Tieding.Ridge estimation method in Ill-posed weighted total least squares adjustment［J］，Geomatices and Information Science of Wuhan University，2010，35(11)：1 346-1 350)

6 Burkhard Schaffrin.A note on constrained total least-squares estimation［J］.Linear Algebra and its Applications，2006，417：245-258.

7 Schaffrin B and Felus Y A.On the multivariate total leastsquares approach to empirical coordinate transformations.three algorithms［J］.Journal of Geodesy，2008，82(6)：373-383.

8 Schaffrin B and Wieser A.On weighted total least-square adjustment for linear regression［J］.Journal of Geodesy，2008，82：415-421.

9 陳瑋嫻，等.加權(quán)總體最小二乘在三維激光標(biāo)靶擬合中的應(yīng)用［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2010，(5)：90-96.(Chen Weixian，et al.Application of weighted total leastsquares to target fitting of three-dimensional laser scanning［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2010，(5)：90 -96)

GPS HEIGHT FITTING OF WEIGHTED TOTAL LEAST-SQUARES ADJUSTMENT

Zhao Hui1，2)，Zhang Shubi1)and Zhang Qiuzhao1，2)

1)School of Environment and Spatial Informatics，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221008 2)Key Laboratory for Land Environment and Disaster Monitoring of SBSM，Xuzhou 221008

In GPS height fitting，a new method of Weighted Total Least-Squares adjustment(WTLS)is presented for solving the error of coefficient matrix.A more reasonable fitting model of plane and quadric polynomial is established，and the corresponding iterative algorithm is given.The examples of calculations show that the polynomial parameter is more reasonable and the solved height anomaly is more accurate.

GPS height;polynomial fitting;errors-in-variables model;least square;weighted total least-square

1671-5942(2011)05-0088-04

2011-03-14

江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃項目(CXLX11-0323)

趙輝，男，1987年生，碩士，研究方向：GNSS理論及應(yīng)用研究.E-mail：zhaohui@cumt.edu.cn

P207

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