岳 超,孫道椿

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

Dirichlet級數(shù)與隨機(jī)Dirichlet級數(shù)在半平面內(nèi)的增長性

岳 超,孫道椿*

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

采用Knopp-Kojima的方法,研究了Dirichlet級數(shù)與隨機(jī)Dirichlet級數(shù)在右半平面內(nèi)的增長性,得到了級由系數(shù)表示的充分必要條件.并且得到了隨機(jī)Dirichlet級數(shù)在右半平面內(nèi)的級與任意水平半帶形內(nèi)的級在一定條件下幾乎必然相等的結(jié)論.

Knopp-Kojima方法; 隨機(jī)Dirichlet級數(shù); 級; 水平半帶形

1 Dirichlet級數(shù)在半平面內(nèi)的增長性

考慮Dirichlet級數(shù):

(1)

如果[k,k+1)∩{n}=,那么令∞.

下面給出Dirichlet級數(shù)的Knopp-Kojima公式.

引理1[6]對于級數(shù)(1),有

對于級數(shù)(1),若σu=0,則級數(shù)(1)是右半平面內(nèi)的一解析函數(shù).當(dāng)σ>σu=0時,令

,t

并定義它在右半平面內(nèi)的級為:

引理3[6]設(shè){an}和{bn}是2個復(fù)數(shù)列,那么對于任意的自然數(shù)k和n,

其中Anj=an+an+1+…+an+k.

其中K(ε)是一個與ε和f(s)有關(guān)的正數(shù).

于是當(dāng)σ>0時,

于是就得到了不等式的左邊.

下面證明不等式的右邊.設(shè)nk+p

從而,當(dāng)σ>0時,

因此

從而

其中K1(ε)是一個與ε和f(s)有關(guān)的正數(shù).對上不等式兩邊同乘以4eσ,令K(ε)=4K1(ε)即得結(jié)論.

推論1 對于級數(shù)(1),在定理1的條件下,則

引理4[6]設(shè)p>0,σ>0及>0,

(1)σ-p+σ,當(dāng)σ=時達(dá)到極小值

定理2 設(shè)Dirichlet級數(shù)(1)滿足σu=0,則

證明考慮ρ<+∞的情形.先證上式右端是函數(shù)f(s)在右半平面Re(s)>0內(nèi)有級ρ的必要條件.由推論1,?ε>0,當(dāng)σ>0充分小時,對任意的正整數(shù)k,

其中C是和σ無關(guān)的正常數(shù).于是

這與所設(shè)矛盾,因此在ρ<+∞的情形,就證明了f(s)在右半平面Re(s)>0內(nèi)有級ρ的必要條件.不難看出所證明的f(s)有級ρ的必要條件也是充分條件.在ρ=+∞的情形可類似作出證明.

2 隨機(jī)Dirichlet級數(shù)在半平面內(nèi)的a.s.增長性

考慮概率空間(Ω,,P),其中Ω=[0,1],是由[0,1]上的所有Lebesgue可測集E組成,而P[E]就是Lebesgue測度.引用文獻(xiàn)[7]的Ramdemacher函數(shù)序列{εn(ω)}及Steinhaus函數(shù)序列{γn(ω)} (n=0,1,2…),其中γn(ω)=exp(2i?n(ω)).這兩序列分別可看做(Ω,,P)上的獨立隨機(jī)變量序列,并且

?n(ω)的值在[0,1]上均勻分布.

考慮隨機(jī)Dirichlet級數(shù):

(2)

以下就f1(s,ω)的情形給予討論,f2(s,ω)情形可完全類似給出.與隨機(jī)級數(shù)(2)對應(yīng)的Dirichlet級數(shù)仍記為式(1)的形式.

[k,k+1)∩{n}={nk,nk+1,…,nk+pk}≠,

(3)

若[k,k+1)∩{n}=,則令a.s.

并在右半平面內(nèi)定義級數(shù)(2)的級為:

因為{εn(ω)}是獨立的隨機(jī)變量序列,所以ρ(ω)幾乎必然是一常數(shù),記為ρ.

級數(shù)(2)在任意水平半帶形內(nèi)的級表示為:

其中α,β(α<β)為任意實數(shù).

首先由引理2得到下面的推論:

引理P-Z[8]設(shè)E是Ω中滿足P[E]>0的任何事件，則可選取N=N(E),使得對任何的數(shù)N′>N,有

而無論復(fù)數(shù)cn為何.

證明必要性:由定理2,只需證明

首先證明ρ<+∞時的情形.由推論2,得

則對任意的ε>0,當(dāng)σ>0充分小時,M(σ,ω)≤exp{σ-(ρ+ε)},a.s.,由隨機(jī)變量序列{εn(ω)}的定義,得

|an|e=|anεn(ω)|e,a.s.

(4)

所以

|an|e=|anεn(ω)|e≤m(σ,ω)≤

M(σ,ω)≤exp{σ-(ρ+ε)} a.s.

(pk+1)exp{σ-(ρ+ε)},

即

由引理4,得

由引理2,得

由引理4,得

證明設(shè)上式左邊上極限為ρa(bǔ).s.,當(dāng)ρ=0時,上式顯然成立.下設(shè)0<ρ≤+∞,顯然有

成立.由推論2,對區(qū)間(α0,β0)?,則下面不等式依然成立,即

從而

從而

上述的N=N(E)是按照引理P-Z選定的,于是當(dāng)σ>0時,

又由于級數(shù)(2)在右半平面內(nèi)絕對收斂,從而

(σ>0),

所以當(dāng)σ為充分小的正數(shù)時,

從而，當(dāng)σ>0充分小,n≥N時,

|an|e≤3exp{σ-ρ′}.

3(pk+1)exp{σ-ρ′},

與定理的條件相矛盾,從而假設(shè)不成立,即

定理4得證.

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Keywords： Knopp-Kojima method; random Dirichlet series; order; horizontal half zone

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

THEGROWTHSOFDIRICHLETSERIESANDRANDOMDIRICHLETSERIESINTHEHALFPLANE

YUE Chao, SUN Daochun

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

By the method from Knopp-Kojima, the growths of Dirichlet series and random Dirichlet series in the right half plane are studied. The necessary and sufficient conditions of the orders, which are expressed by the coefficients, are obtained.It is shown that the growth of random Dirichlet series in the right half plane is almost the same as what in the horizontal half zone under some conditions.

2009-11-12

國家自然科學(xué)基金項目(10471048)

* 通訊作者，sundch@scnu.edu.cn

1000-5463(2011)02-0023-05

O174.5

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