劉 巍 熊慧軍 王柏育

（1、長沙學(xué)院 信息與計算科學(xué)系，湖南 長沙 410003；2、湖南大學(xué) 數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟學(xué)院，湖南 長沙 410082）

基于插值理論的非線性矩陣方程

劉 巍1熊慧軍1王柏育2

（1、長沙學(xué)院 信息與計算科學(xué)系，湖南 長沙 410003；2、湖南大學(xué) 數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟學(xué)院，湖南 長沙 410082）

本文研究了非線性矩陣方程? ( X BX ) ? C )?1A的正定解。我們證明了該矩陣方程在Φ ( n ) = { X |Im? ( X BX ) > C}內(nèi)存在唯一正定解，構(gòu)造了相應(yīng)的迭代求解方法，并在最后給出了相應(yīng)的數(shù)值例子。

非線性矩陣方程；插值理論；正定矩陣

1 引言

本文研究非線性矩陣方程

的正定解，其中B,Q是n×n復(fù)正定矩陣，A是mnn復(fù)矩陣，C是mnmn復(fù)半正定矩陣，Im?(XBX)是以XBX為對角元的塊對角矩陣。

L.A.Sakhnovich在[1]中考慮了一類插值問題，并將這類插值問題轉(zhuǎn)化為求矩陣方程

在本文中，我們用 In表示n階正定矩陣， Cm×n表示m n復(fù)矩陣，?表示Kronecker積，X表示以X為對角元的m×m塊對角矩陣X > 0 (X ≥ 0 )表示X是（半）正定矩陣， X >Y(X ≥Y)表示X?Y是（半）正定矩陣，分別表示n階全體正定和半正定矩陣的集合。

2 主要結(jié)果及證明

我們記Y = XBX，則矩陣方程（1）可寫為

引理 1【4】如果 A ∈P(n)，則存在唯一的D∈P(n)，使得A = D2。定理 1【2】如果 A ∈ Cmn×n，Q∈P(n)，C∈P(m n)，且滿足，則矩陣方程（3）在內(nèi)有唯一正定解，且迭代序列收斂到這一正定解。定理2 如果，且滿足，則矩陣方程（1）在Φ′(n) ={X|Im?(XBX) >C}內(nèi)有唯一正定解。

證明：由定理1可知，矩陣方程在Φ(n)內(nèi)有唯一正定解Y，因為B∈P(n)，由引理1，存在唯一的D∈P(n)，使得 B = D2，結(jié)合Y = XBX，我們有 ( D XD )2= D YD，由 X ,D,Y ∈P(n)，可知存在唯一的X∈P(n)，使得

考慮迭代

定理3 如果 A ∈ Cmn×n，Q∈P(n)，C∈P(m n)，且滿足Ql>C，則迭代序列{Yk}收斂到矩陣方程（3）在Φ(n)內(nèi)的唯一正定解Y，即收斂到矩陣方程（1）在Φ ′( n)內(nèi)的唯一正定解

[1]L.A. Sakhnovich, Interpolation Theory and Its Applications, Mathematics and Its Applications, vol. 428, Kluwer Academic,Dordrecht, 1997.

[2]A.C.M.Ran,M.C.B.Reurings.A nonlinear matrix equation connected to interpolation theory. Linear Algebra Appl.,2004, 379:289-302.

[3]Sun Jiguang.Perturbation analysis of the matrix equationA.Linear Algebra Appl.,2003,372:33-51.

[4]Zhang F Z.Matrix theory:basic results and techniques.Springer-Verlag New York Inc,1999.

O241.6, O151.21

A

1673-2219（2011）08-0024-02

2011－04－10

湖南省教育廳基金資助科研項目(09C117). 長沙學(xué)院科學(xué)研究基金項目(CDJJ-07010204)作者簡介：劉?。?982－），講師，研究方向為數(shù)值代數(shù)。

（責(zé)任編校：何俊華）