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(北侖中學(xué) 浙江寧波 315800)

2011年數(shù)學(xué)高考中有關(guān)計(jì)數(shù)原理試題的評(píng)析

●吳文堯

(北侖中學(xué) 浙江寧波 315800)

計(jì)數(shù)問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中最具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題之一．計(jì)數(shù)原理包括分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理、排列與組合、二項(xiàng)式定理等.在中學(xué)數(shù)學(xué)中,因?yàn)槠渲R(shí)相對(duì)獨(dú)立、思維相對(duì)獨(dú)特，所以也占有其獨(dú)特的地位，也是數(shù)學(xué)高考必考的內(nèi)容之一.

1 教學(xué)要求與考查要求

1.1 考試內(nèi)容

分類計(jì)數(shù)加法原理、分步計(jì)數(shù)乘法原理；排列與組合；二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用．

1.2 考試要求

(1)理解分類計(jì)數(shù)加法原理、分步計(jì)數(shù)乘法原理，會(huì)用2個(gè)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題．

(2)理解排列、組合的概念，能用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式,并能解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題．

(3)能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決一些與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題．

2 命題特點(diǎn)和知識(shí)類型

2.1 命題特點(diǎn)

縱觀2011年全國(guó)及各省市的數(shù)學(xué)高考文、理試卷，對(duì)計(jì)數(shù)原理的考查主要有3種題型:有一定實(shí)際背景的計(jì)數(shù)問(wèn)題、與古典概率相結(jié)合的計(jì)數(shù)問(wèn)題、有關(guān)二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單計(jì)算問(wèn)題(如求展開(kāi)式中的某一項(xiàng)或其系數(shù)的大小等).對(duì)于二項(xiàng)式定理的考查通常出現(xiàn)在基礎(chǔ)小題中，對(duì)能力的要求相對(duì)較低；有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題的試題通常出現(xiàn)在最后的2道選擇題或最后的2道填空題中，有時(shí)其難度也可能是中檔題或稍難題，對(duì)能力的要求相對(duì)較高．

2.2 知識(shí)類型

(1)利用二項(xiàng)式定理求展開(kāi)式的某一項(xiàng)(或系數(shù))．

(2011年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析可先待定展開(kāi)式中含x15的項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則

點(diǎn)評(píng)這是一道比較典型的普通計(jì)算問(wèn)題.絕大多數(shù)考生能解決，但由于對(duì)運(yùn)算能力的要求比較高，要較快地得到準(zhǔn)確結(jié)論也不是很容易.在運(yùn)算前,明確每一步的運(yùn)算目標(biāo)是保證運(yùn)算準(zhǔn)確性及速度的必要條件．

(2)運(yùn)用計(jì)數(shù)原理及排列組合知識(shí)解決計(jì)數(shù)問(wèn)題．

例24位同學(xué)每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有

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A．12種 B．24種 C．30種 D．36種

(2011年全國(guó)數(shù)學(xué)高考文科試題Ⅱ第9題)

點(diǎn)評(píng)分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題最基本、最重要的方法.若能設(shè)計(jì)一個(gè)方案把“事情”做完，則一般由計(jì)數(shù)原理不難得到結(jié)論．

(3)在古典概率的計(jì)算中運(yùn)用計(jì)數(shù)原理.

例3從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于

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(2011年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

點(diǎn)評(píng)在古典概率的計(jì)算中，其“事件”總數(shù)的計(jì)算一般不成問(wèn)題，具有一定挑戰(zhàn)性的往往是如何計(jì)算滿足條件的“事件”個(gè)數(shù)，上述解法通過(guò)計(jì)算“剩下2個(gè)點(diǎn)的方法數(shù)”顯得比較機(jī)智！

3 亮點(diǎn)掃描

3.1 注重通法，淡化技巧

從例1、例2、例3及其解法中不難發(fā)現(xiàn)，雖然其題目特點(diǎn)、知識(shí)類型各不相同，但有一點(diǎn)是相同的，即都是有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題中的常規(guī)試題.從簡(jiǎn)潔中體現(xiàn)常規(guī)，突出考查通性通法，解決它們不需要高深的特殊技巧;特別是對(duì)于二項(xiàng)式定理的考查，體現(xiàn)了“平平淡淡才是真”的思想．許多省市的有關(guān)二項(xiàng)式定理的試題如同出一轍，例如廣東省理科的第10題、浙江省理科第13題、天津市理科第5題、陜西省理科第4題等．

3.2 重視思想，考查能力

各地試卷均非常重視對(duì)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本數(shù)學(xué)思想方法的考查，分類討論的思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的利器，在試卷中都有所體現(xiàn)．

例4有5本不同的書，其中語(yǔ)文書有2本，數(shù)學(xué)書有2本，物理書有1本．若將其隨機(jī)的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率

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(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

點(diǎn)評(píng)解決此題的關(guān)鍵是如何求出滿足條件的擺放方法數(shù).對(duì)這個(gè)問(wèn)題的背景考生都比較熟悉，題型是一個(gè)典型的有關(guān)“不相鄰排列”問(wèn)題，考生們感到比較糾結(jié)的是如何能做到“2本語(yǔ)文書互不相鄰且2本數(shù)學(xué)書也互不相鄰”．若用直接法解之,顯然要用“插”的方法;若用“正難則反”的方法解之，則顯然可用“捆”的對(duì)策．在具體操作過(guò)程中,若注意分類討論思想及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，則不難得到問(wèn)題的解法．

3.3 背景新穎，名題新編

縱覽2011年各地高考數(shù)學(xué)試卷，其中有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題的試題有的背景設(shè)計(jì)新穎、構(gòu)思巧妙，給人以眼前一亮的感覺(jué)．但其數(shù)學(xué)本質(zhì)是不會(huì)改變的，它的原形往往是大家所熟悉的經(jīng)典問(wèn)題．

圖1

例5給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色．當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如圖1所示.由此推斷，當(dāng)n=6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有________種，至少有2個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有________種(結(jié)果用數(shù)值表示).

(2011年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解設(shè)n個(gè)正方形時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案數(shù)為f(n)，則f(1)=2，f(2)=f(1)+1=3，f(3)=f(2)+f(1)=5,f(4)=f(3)+f(2)=8,f(5)=f(4)+f(3)=13，f(6)=f(5)+f(4)=21.由于給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色的總的著色方法數(shù)為26=64,所以至少有2個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案的方法數(shù)為64-21=43.

點(diǎn)評(píng)本題新穎、別致的問(wèn)題情境確實(shí)給人耳目一新的感覺(jué)，這無(wú)疑是2011年湖北省數(shù)學(xué)高考試題的最大亮點(diǎn)之一，具有很好的選拔功能，考查學(xué)生的探究能力也很給力．

事實(shí)上，當(dāng)n=k+1時(shí)滿足條件的染過(guò)色的k+1個(gè)正方形組可這樣操作得到：把n=k時(shí)所有圖形的下方再補(bǔ)一個(gè)白色正方形，得到f(k)個(gè)滿足條件的染過(guò)色的k+1個(gè)正方形組，再把n=k時(shí)最下面的一個(gè)正方形為白色的下方再補(bǔ)一個(gè)黑色正方形，得到f(k-1)個(gè)滿足條件的染過(guò)色的k+1個(gè)正方形組，所以

f(k+1)=f(k)+f(k-1),

因此這個(gè)問(wèn)題的原形即為大家熟知的名題——斐波那契數(shù)列,無(wú)非是把兔子問(wèn)題改成了染色問(wèn)題而已．

3.4 交匯整合,綜合應(yīng)用

以往的計(jì)數(shù)問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)比較單一,2011年各地?cái)?shù)學(xué)高考試題的有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題中也出現(xiàn)了一些與其他知識(shí)的綜合、交匯.這也是2011年高考數(shù)學(xué)試卷的新亮點(diǎn)之一.

例6設(shè)A(0，0),B(4，0)，C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).記N(t)為平行四邊形ABCD內(nèi)部(不含邊界)的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則函數(shù)N(t)的值域?yàn)?/p>

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A．{9,10,11} B．{9,10,12}

C．{9,11,12} D．{10,11,12}

(2011年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖2

解如圖2,當(dāng)t=0時(shí),平行四邊形ABCD恰為正方形,其中內(nèi)部的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為9個(gè),即N(0)=9,否定選項(xiàng)D.同理N(1)=12,可否定A.由N(2)=11可否定選項(xiàng)B.故選C.

點(diǎn)評(píng)雖然問(wèn)題的情境較新,且涉及函數(shù)概念、平面區(qū)域、計(jì)數(shù)方法等內(nèi)容.若有分類討論的意識(shí)及解答選擇題的正確對(duì)策，則不難找到正確答案．若改為填空題,又該如何解決呢？讀者不妨試一試！

( )

(2011年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖3

點(diǎn)評(píng)乍一看，本題給人的感覺(jué)有點(diǎn)嚇人，所涉及的知識(shí)點(diǎn)也比較多；其實(shí)按照題目的要求，明確解題的目標(biāo),先計(jì)算向量的個(gè)數(shù)，再得到平行四邊形的個(gè)數(shù)，然后由等積變換得到面積為2的平行四邊形的個(gè)數(shù)，最后到達(dá)理想的彼岸，其思路還是比較自然的．

4 復(fù)習(xí)建議

4.1 重視思想,注意數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用

數(shù)學(xué)問(wèn)題中的難題之所以成為難題，其主要原因往往是試題的題型、情景對(duì)考生來(lái)說(shuō)可能是全新的，但解決問(wèn)題所用的思想方法必然不會(huì)是全新的，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)滲透在教學(xué)的全過(guò)程中，使學(xué)生在學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的同時(shí)，能領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想方法.在解決具有一定挑戰(zhàn)性的計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，可用分類討論的思想方法把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化；用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想把陌生問(wèn)題熟悉化；用數(shù)形結(jié)合的思想方法把抽象問(wèn)題具體化．

4.2 重視常用解題方法和技巧的訓(xùn)練

在復(fù)習(xí)中要注重通性通法的教學(xué)、淡化技巧，這是我們已經(jīng)達(dá)成的共識(shí)；但也不能從一個(gè)極端走向另一個(gè)極端.淡化技巧不等于不要技巧，一定的解題技能技巧還是需要的.筆者認(rèn)為求解有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題的常用方法和技巧(不妨稱為“八字訣”)，還是需要通過(guò)一定的訓(xùn)練掌握的.

分——注意利用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理解題．對(duì)于一個(gè)比較復(fù)雜的計(jì)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題,在通常情況下，可通過(guò)“分類”、“分步”等手段分解成若干個(gè)易于解決的小問(wèn)題，然后各個(gè)擊破之．

特——從特殊的元素、位置入手解題．附條件的排列組合應(yīng)用問(wèn)題往往涉及一些特殊的元素或位置；對(duì)特殊的元素和位置作特殊的照顧，則容易找到通向成功之路的入口處．

反——利用“正難則反”的原則解題．當(dāng)問(wèn)題的正面情況錯(cuò)綜復(fù)雜，即正面進(jìn)攻很難奏效時(shí)，可考慮從問(wèn)題的反面入手，有時(shí)會(huì)幫你進(jìn)入“柳暗花明”的境界．

等——利用概率相等解題．充分利用各元素在每個(gè)位置上出現(xiàn)的概率相等，有時(shí)可以直搗題目結(jié)論．

化——注意用轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)解題．許多計(jì)數(shù)問(wèn)題.表面上看似乎是風(fēng)馬牛不相及，若能用轉(zhuǎn)化的思想方法剝?nèi)テ渫獍b，則會(huì)發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)是相同的，僅僅是問(wèn)題的“情境”不同而已．轉(zhuǎn)化思想是我們通向成功彼岸的指路明燈，對(duì)此要引起特別的重視．

捆——解決若干元素必須排在一起的重要解題技巧．

插——解決若干元素必須互不相鄰的重要解題技巧．

推——運(yùn)用遞推關(guān)系解決排列組合應(yīng)用問(wèn)題．遞推方法是把復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題、未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題的重要手段之一，也是應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)解題的重要體現(xiàn)．