●

(黃巖中學(xué) 浙江黃巖 318020)

2011年數(shù)學(xué)高考數(shù)列試題分類評析

●金克勤

(黃巖中學(xué) 浙江黃巖 318020)

1 教學(xué)要求與考查要求

數(shù)列是高考的重要內(nèi)容之一，主要考查數(shù)列的概念和幾種表示方法。要求理解等差、等比數(shù)列的概念，掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式，了解等差、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，能利用等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和，能運(yùn)用數(shù)列的等差或等比關(guān)系解決實(shí)際問題．

2 數(shù)列的命題特點(diǎn)與知識類型

數(shù)列內(nèi)容在高考試卷中占的比重較大，分值占10%～15%，大多數(shù)省份的數(shù)學(xué)試題中數(shù)列呈現(xiàn)出一個大題一個小題的趨勢，著重考查等差和等比數(shù)列.縱觀近幾年浙江省數(shù)學(xué)高考試題，我們發(fā)現(xiàn)浙江考題與全國卷、其他省市卷數(shù)列題有區(qū)別，具有十分明顯的特色，前幾年只考小題，2011年只考大題，共14分，占10%左右．對數(shù)列的考查主要著眼于數(shù)列的基礎(chǔ)知識與基本方法，作為中檔題，回避了遞推數(shù)列和復(fù)雜的不等關(guān)系的論證，主要揭示等差和等比數(shù)列內(nèi)在的本質(zhì)性知識，形成浙江卷數(shù)列題的特色．

從全國卷和其他省市卷的數(shù)列題分析，客觀題主要考查了等差、等比數(shù)列的基本概念和性質(zhì)，突出了“小、巧、活、新”的特點(diǎn)，屬容易題或中檔題．主觀題的考查2011年除了陜西省只考到一個等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式和福建省只在第16題的第(1)小題中考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式外，其他省份數(shù)列都有一道大題出現(xiàn)，且以中等和難度較大的綜合題出現(xiàn)，其中重慶和北京將數(shù)列放在壓軸題的位置．從知識類型上看，考查的主要內(nèi)容為：(1)等差、等比數(shù)列的概念與基本運(yùn)算；(2)數(shù)列的通項(xiàng)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和關(guān)系的運(yùn)用；(3)等差數(shù)列與等比數(shù)列的判斷與證明；(4)等差數(shù)列與等比數(shù)列前n項(xiàng)和及可利用錯位相減法或裂項(xiàng)法求和的數(shù)列前n項(xiàng)和；(5)簡單的遞推關(guān)系；(6)數(shù)列與不等式、三角函數(shù)等的聯(lián)系．自浙江省單獨(dú)命題以來，對數(shù)列的考查可以說是逐漸發(fā)展提高的過程，從只考小題，到只考大題，而大題以中等題形式出現(xiàn)，這一顯著變化似乎是一種信號，具有一定的導(dǎo)向作用．

縱觀2011年的數(shù)列題，體現(xiàn)了?？汲Ｐ碌拿}特點(diǎn).命題很有新意、不落俗套,考生初看到這樣的考題，感覺親切、熟悉，但順利解決需要動一番腦筋，需要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底、極強(qiáng)的推理運(yùn)算和論證能力．這類試題對概念和思維的考查力度較大，對學(xué)生探索能力、思維能力、運(yùn)算能力和推理論證能力要求較高，具有較強(qiáng)的選拔功能．以數(shù)列題考查運(yùn)算能力與推理論證能力成為浙江卷的一大特點(diǎn)．

3 亮點(diǎn)掃描

3.1 重視基本概念的考查

例1設(shè){an}是各項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai，ai+1的矩形面積(i=1，2，…)，則{Ai}為等比數(shù)列的充要條件是

( )

A．{an}是等比數(shù)列

B．a(chǎn)1，a3，…，a2n-1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數(shù)列

C．a(chǎn)1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列

D．a(chǎn)1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列且公比相同

(2011年上海市數(shù)學(xué)高考理科試題)

3.2 突出基本公式的運(yùn)用

例2設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和，且a1=1，a4=7，則S5=________.

(2011年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

評析本題直接明了地考查等差數(shù)列的基本內(nèi)容，S5=5a1+10d，而

3d=a4-a1=6，d=2，

所以

S5=25.

同理可得

本題的背景是數(shù)列1，3，5，7，9，…

例3已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，n∈N*.若a3=16，S20=20,則S10的值為________.

(2011年天津市數(shù)學(xué)高考文科試題)

評析這道題同樣是直接考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算，不需要任何技巧，直接進(jìn)行運(yùn)算．設(shè)公差為d，則

a3=a1+2d，S20=20a1+190d=20，

解得

a1=20，d=-2，

于是

S10=10a1+45d=110．

返璞歸真用最基本的方法解決基本問題，是高考解題的重要原則．

3.3 強(qiáng)調(diào)性質(zhì)的靈活運(yùn)用

例4在等差數(shù)列{an}中，a3+a7=37，則a2+a4+a6+a8=________.

(2011年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題)

評析本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，直接運(yùn)用性質(zhì)便可得

a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=74．

例5已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a10=

( )

A．1 B．9 C．10 D．55

(2011年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

評析本題的亮點(diǎn)在于給出的條件Sn+Sm=Sn+m，而求a10的值，所采用的方法為特殊化：令m=1，則

Sn+1=Sn+1，an+1=Sn+1-Sn=1，

解得a10=1.故選A．

3.4 緊扣考綱要求考查重點(diǎn)內(nèi)容

考綱中明確指出數(shù)列的重點(diǎn)是對等差、等比數(shù)列概念及性質(zhì)的考查，各地試卷很好地體現(xiàn)了考綱的精神．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn；

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

評析本題的最大亮點(diǎn)是題目簡潔、表達(dá)樸素、內(nèi)涵豐富．主要考查了等差與等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，也考查了其他數(shù)列(能裂項(xiàng)相消)的前n項(xiàng)和，結(jié)合不等式的知識考查了二項(xiàng)式定理、數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容．

解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由

得

(a1+d)2=a1(a1+3d).

an=na，

從而

由a2n-1=2n-1a，得

要比較An與Bn的大小，實(shí)際上是比較2n與n+1的大小，可以用數(shù)學(xué)歸納法或二項(xiàng)式定理來比較An與Bn的大?。绠?dāng)n≥2時(shí)，

從而當(dāng)agt;0時(shí)，Anlt;Bn；當(dāng)alt;0時(shí)，Angt;Bn．

3.5 注重在知識交匯處考查

例7設(shè)1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4,a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________．

(2011年江蘇省數(shù)學(xué)高考理科試題)

評析本題的亮點(diǎn)在于等差、等比數(shù)列與不等式結(jié)合，在知識的交匯點(diǎn)上進(jìn)行考查，這是高考試題的一個特點(diǎn)．

解由題意可知

1=a1≤a1≤a2≤a1q≤a2+1≤a1q2≤

a2+2≤a1q3，

即

1=a1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3.

要使q最小，只需使a2最小，于是

解得

例8在數(shù)1和100之間插入n個實(shí)數(shù)，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記做Tn，再令an=lgTn，n≥1.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=tanan·tanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

(2011年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

評析本題的亮點(diǎn)是結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列，同時(shí)在對數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算、兩角差的正切公式的運(yùn)用.當(dāng)數(shù)列求和與三角變換有機(jī)地結(jié)合起來，考查學(xué)生靈活運(yùn)用基本知識解決問題的能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新思維能力．

解(1)設(shè)t1，t2，…，tn+2構(gòu)成等比數(shù)列，其中t1=1，tn+2=100，則

Tn=t1·t2·…·tn+2,

且

Tn=tn+1·tn+1·…·t1，

所以

利用等比數(shù)列性質(zhì)

ti·tn+3-i=t1·tn+1=100(1≤i≤n+2)，

可得

因此

an=lgTn=n+2(n≥1)．

(2)由題意及第(1)小題計(jì)算結(jié)果，知

bn=tan(n+2)·tan(n+3)(n≥1).

因?yàn)?/p>

所以

于是

4 復(fù)習(xí)建議

4.1 夯實(shí)基礎(chǔ)知識

(1)數(shù)列的概念.

(2)等差數(shù)列.

掌握等差數(shù)列的定義，能夠根據(jù)定義判定一個數(shù)列是否為等差數(shù)列．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d；推廣形式為an=am+(n-m)d.掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式．一個數(shù)列成為等差數(shù)列的充要條件，如Sn=An2+Bn及an+1+an-1=2an等．

掌握等差數(shù)列的基本性質(zhì)，如若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，以及Sk，S2k-Sk，S3k-S2k,…,成等差數(shù)列等．

(3)等比數(shù)列.

掌握等比數(shù)列的定義，能夠根據(jù)定義判定一個數(shù)列是否為等比數(shù)列．掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1；推廣形式為an=amqn-m．掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

掌握等比數(shù)列的基本性質(zhì)：如若m+n=p+q，則am·an=ap·aq，以及Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…成等比數(shù)列．

4.2 掌握基本方法

(1)基本量法：由于等差、等比數(shù)列是由首項(xiàng)與公差、公比確定的，因此凡涉及等差、等比數(shù)列的問題，總可以通過等差、等比數(shù)列的基本量結(jié)合相關(guān)的知識去解決問題．運(yùn)用基本量法必須與數(shù)列的性質(zhì)密切配合，只有這樣才能達(dá)到靈活應(yīng)用的程度，才能發(fā)揮無窮的活力．2個重要數(shù)列問題都可以運(yùn)用基本量法解決，不要人為地追求技巧，要返璞歸真．

(2)掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的常見求法：觀察歸納法、累加消項(xiàng)法、累積消項(xiàng)法、迭代法等已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出它的一個通項(xiàng)公式時(shí)，通常用觀察法，然后歸納猜想．觀察是一切能力的基礎(chǔ)，在數(shù)列學(xué)習(xí)中顯得尤其重要．

(3)掌握數(shù)列求和的常見方法：公式法、拆項(xiàng)求和法、轉(zhuǎn)化求和法、裂項(xiàng)求和法、錯位相減法、倒序相加法等．

4.3 領(lǐng)會基本思想

數(shù)列中涉及很多數(shù)學(xué)思想，需要注意領(lǐng)會以下幾種數(shù)學(xué)思想．

(1)函數(shù)思想：數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型．復(fù)習(xí)中要理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，弄清等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，抓住等差數(shù)列的特征，掌握前n項(xiàng)和公式，弄清它與二次函數(shù)的關(guān)系．理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，弄清等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．

(2)方程思想：運(yùn)用數(shù)列基本量法解題需根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式構(gòu)建方程或方程組求解，方程思想貫穿于數(shù)列學(xué)習(xí)和解題的始終．

(3)轉(zhuǎn)化與化歸思想：解決等差、等比數(shù)列問題都可以歸結(jié)為研究首項(xiàng)和公差、公比問題；非等差、等比數(shù)列的問題常通過構(gòu)造輔助數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求解；將一般的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列問題，是轉(zhuǎn)化與化歸的重要目標(biāo)．

(4)遞推思想：遞推是數(shù)列的本質(zhì)性內(nèi)涵，雖然遞推數(shù)列不是高考涉及的內(nèi)容，但是遞推思想和方法在解決數(shù)列問題中的作用是很大的.涉及數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系問題，常采用遞推思想來解決．

(5)分類討論思想：數(shù)列中滲透分類討論的思想．例如由Sn求an，要分n=1和n≠1進(jìn)行討論；在數(shù)列求和中有時(shí)需要進(jìn)行奇偶分析討論；有些數(shù)列的通項(xiàng)公式是分段表示，解題過程需要討論；在討論數(shù)列是否是等差或等比數(shù)列時(shí)，要考慮條件在什么時(shí)候成立等等．

(6)特殊化思想：有些數(shù)列問題，在一般情況下解決思維受阻或者解決比較困難時(shí)，我們可以把問題退到特殊情形，研究在特殊情況下的問題，從中尋找規(guī)律，或探求問題成立的條件，然后再到一般問題中去檢驗(yàn)或驗(yàn)證，也可以借鑒研究特殊情形的方法去研究一般性問題．

4.4 關(guān)注重點(diǎn)題型

(1)基本運(yùn)算題.

基本運(yùn)算題是等差數(shù)列和等比數(shù)列的重要題型，通常涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，常常運(yùn)用基本量法解決．

(2)推理論證題.

數(shù)列題除了考查數(shù)列的知識外，還考查分析問題能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、思維能力．

(3)情境創(chuàng)新題.

縱觀浙江省和其他省市高考試題，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列試題豐富多彩，呈現(xiàn)方式多樣，內(nèi)涵深刻，有些是引入新概念、定義新數(shù)列給出的.解決這類問題只要認(rèn)真理解題意，信息遷移，根據(jù)題設(shè)條件就可以解決．

(4)知識交匯題.

從高考試題發(fā)展的情況看，數(shù)列與其他主干知識交匯的考題正在增多，因此要重視不等式與其他知識的綜合．

在數(shù)列復(fù)習(xí)中，重視通性通法的復(fù)習(xí)與訓(xùn)練是數(shù)列復(fù)習(xí)的重點(diǎn)．要突出2條主線：一條是基礎(chǔ)知識主線；另一條是思想方法主線．要以等差、等比數(shù)列這2個主干知識為載體，以通項(xiàng)及求和公式為主渠道，用好數(shù)列中基本量的關(guān)系，靈活運(yùn)用這2個數(shù)列的性質(zhì)，注重挖掘這2個重要數(shù)列的教學(xué)價(jià)值，還數(shù)列的本來面目．