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(上虞市教研室 浙江上虞 312300)

“動(dòng)手”學(xué)幾何
——簡(jiǎn)談立體幾何教學(xué)中宜加強(qiáng)手工實(shí)驗(yàn)操作

●陳堯明

(上虞市教研室 浙江上虞 312300)

先從一道2010年浙江省數(shù)學(xué)高考試題說起：

圖1

(1)求二面角A′-FD-C的余弦值；

(2)點(diǎn)M,N分別在線段FD,BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A′重合，求線段FM的長(zhǎng).

分析第(1)小題不難用傳統(tǒng)方法或者向量法求解.第(2)小題是翻折問題，觀察翻折之前和翻折之后的不變量，就可以找到解決問題的突破口.利用A′M=CM和A′N=CN，再在空間直角坐標(biāo)系中就可以求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，從而求出線段FM的長(zhǎng)度.

此題屬于中檔題.從學(xué)生的答題情況看，得分率并不高，不少學(xué)生對(duì)于第(2)小題束手無策，不知從何下手．筆者私下問過幾個(gè)考生，大多感覺圖形經(jīng)過2次翻折后很難想象空間圖形是怎樣的，空間線段之間的數(shù)量關(guān)系自然無從談起，也就是說學(xué)生空間想象能力相當(dāng)缺乏．在此,不禁要追問并反思我們的教學(xué)行為，為什么從小在積木堆里長(zhǎng)大的學(xué)生通過若干年的課堂教學(xué)(尤其是高中教學(xué))，空間想象能力反而弱化了呢？我們的教學(xué)方式是不是太形式化了？是不是被公理化體系“綁架”了呢？還美其名曰：提高學(xué)生的邏輯思維能力？

課標(biāo)理念強(qiáng)調(diào)：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，否則會(huì)將生動(dòng)、活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)淹沒在形式化的海洋里”.“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式．這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為教師引導(dǎo)下的‘再創(chuàng)造’過程”.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理應(yīng)是學(xué)生自己的生活實(shí)踐，數(shù)學(xué)教學(xué)則更應(yīng)與學(xué)生的生活充分地融合在一起.從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景出發(fā)，向他們提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)和交流的機(jī)會(huì)，讓他們?cè)谧约旱纳钪袑ふ覕?shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)和掌握數(shù)學(xué)，讓其置身于現(xiàn)實(shí)的問題情境之中，充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)就在我們身邊，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力．幾何直觀能力是課標(biāo)提出的立體幾何教學(xué)目標(biāo)之一，直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算更是課標(biāo)對(duì)立體幾何提出的教學(xué)要求.

在立體幾何課堂教學(xué)中，讓學(xué)生有意識(shí)地動(dòng)手操作，比一比，量一量，折一折，做一做，讓學(xué)生在具體的操作情境中，理解幾何概念與性質(zhì)的形成和發(fā)展，進(jìn)而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高課堂教學(xué)的實(shí)效性,這對(duì)當(dāng)代學(xué)生顯得更有價(jià)值.那么目前立體幾何教學(xué)中學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作的現(xiàn)狀又如何呢？為此,筆者有意識(shí)地從當(dāng)?shù)仉S機(jī)選取了2所高中就此問題作一調(diào)查.

調(diào)查問卷的結(jié)果不容樂觀.在“立體幾何哪一部分較難掌握”中,有39.7%的學(xué)生選擇了“點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系”；在“根據(jù)敘述準(zhǔn)確畫出圖形”中,有68%的學(xué)生選擇“有時(shí)要畫錯(cuò)”，有16%的學(xué)生選擇“經(jīng)常畫錯(cuò)”；在平時(shí)考試中有31%的學(xué)生認(rèn)為涉及空間想象時(shí)失分較多．在與任課教師的訪談中，他們深有感觸地說：“在講解異面直線時(shí)，學(xué)生畫不出異面直線的幾種常見形式，而且常常將異面直線畫成相交直線，將應(yīng)該畫成虛線的地方畫成了實(shí)線”．

由此可見，幫助學(xué)生逐步形成空間想像能力，建立良好的空間觀念，是立體幾何教學(xué)的中心．那么如何建立良好的空間觀念呢？筆者以為在教學(xué)中不妨加強(qiáng)手工實(shí)驗(yàn)操作．因?yàn)閺臄?shù)學(xué)本質(zhì)上講，“數(shù)學(xué)是一個(gè)‘動(dòng)態(tài)思維的實(shí)驗(yàn)過程’，是數(shù)學(xué)真理的抽象概括過程，邏輯演繹體系則是這個(gè)過程的一種自然結(jié)果．在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程中，數(shù)學(xué)對(duì)象的豐富、生動(dòng)且富于變化的一面才得以充分展示”.在此,筆者就立體幾何教學(xué)過程中如何加強(qiáng)手工實(shí)驗(yàn)操作談?wù)勛约旱膸c(diǎn)看法.

1 在認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征中加強(qiáng)手工實(shí)驗(yàn)操作

三維空間是人類生存的現(xiàn)實(shí)空間.人們認(rèn)識(shí)周圍的事物，常常需要通過描述事物的形狀、大小，并用恰當(dāng)?shù)姆绞奖磉_(dá)事物之間的關(guān)系．通常采用直觀感知、操作確認(rèn)來認(rèn)識(shí)空間圖形.

學(xué)生在義務(wù)教育階段只是對(duì)圓柱(錐)體、正(長(zhǎng))方體有了一個(gè)初步的接觸和整體的了解.而在“認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)”這一節(jié)中，學(xué)生的整體認(rèn)知的對(duì)象卻大大延拓了，不僅要認(rèn)知它們的結(jié)構(gòu)特征，而且還要求能畫出空間幾何體的三視圖、直觀圖，目的是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、幾何直觀能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力．因此在教學(xué)中若能從操作實(shí)踐角度入手，先布置學(xué)生用積木或紙板搭建各種類型的幾何體模型,從制作過程中認(rèn)識(shí)相同類型的幾何體，讓學(xué)生體會(huì)“有6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)”的“幾何體”并不一定是長(zhǎng)(正)方體，還可能是一般棱柱或是平行六面體等等．然后,再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次地觀察、比較、交流，引導(dǎo)學(xué)生思考空間幾何體的分類方法，分別指出柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，逐步歸納并形成各種幾何體的結(jié)構(gòu)概念框架．這樣以已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，展示知識(shí)的形成過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者的參與及對(duì)學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)，不但能激發(fā)學(xué)生探求的興趣，而且還能使他們從被動(dòng)學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃?dòng)吸收，增強(qiáng)了學(xué)生吸納應(yīng)用知識(shí)的靈活性.

需要指出的是，在“認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)”這一節(jié)中,教材還設(shè)置了“觀察”、“思考”、“探究”等欄目，教師都應(yīng)充分利用．同時(shí),還應(yīng)借助圖片、幻燈、計(jì)算機(jī)等多媒體向?qū)W生展示更多的具有典型幾何結(jié)構(gòu)特征的空間物體，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感.

2 在探究點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系時(shí)加強(qiáng)手工實(shí)驗(yàn)操作

為了讓學(xué)生對(duì)點(diǎn)、線、面的關(guān)系獲得清晰的直觀印象，傳統(tǒng)教學(xué)往往采用演示法.這在一些定理的闡述上顯得尤為明顯．盡管有的借助了現(xiàn)代化的教學(xué)手段——多媒體演示，有的還借助于一大堆教具，但這些“演示”，學(xué)生只能看，不能動(dòng)手操作，直觀形象仍停留在形式上，點(diǎn)、線、面之間關(guān)系的難點(diǎn)仍未有效化解,學(xué)生的主體作用仍未突出，至于自主探究、開展合作學(xué)習(xí)、發(fā)展學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)就更不用說了.

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動(dòng)是數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)．一堂課是否成功，其中一個(gè)指標(biāo)就是:學(xué)生有沒有主動(dòng)的高水平的思維活動(dòng).筆者認(rèn)為自主實(shí)踐活動(dòng)應(yīng)該成為課堂教學(xué)的主旋律.

案例1直線與平面垂直的判定定理

課本在研究直線與平面垂直的判定定理之前，設(shè)置了一個(gè)探究過程(以下摘自教科書):

如圖2，請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，我們一起來做一個(gè)試驗(yàn)：

過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸)．

(1)折痕AD與桌面垂直嗎？

(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面α垂直？

圖2

圖3

圖4

可以說老教材在探究線面垂直判定定理時(shí)，采用的是發(fā)現(xiàn)式教學(xué),教科書給出的“圖形”往往是“標(biāo)準(zhǔn)”的(如圖3).新課程提倡的是放手讓學(xué)生去做，去試驗(yàn)，學(xué)生通過自己動(dòng)手操作，親手“演示”，多角度、多側(cè)面、全方位的觀察、體驗(yàn)和歸納，合情推理出線面垂直這一判定定理．也正因?yàn)榉攀肿寣W(xué)生翻折，只要能使翻折后的折痕所在直線與桌面所在的平面垂直就行，于是給學(xué)生的探究創(chuàng)設(shè)了廣闊的空間，學(xué)生的探究欲望強(qiáng)烈.

當(dāng)然,對(duì)于較復(fù)雜的圖形可通過多媒體的動(dòng)畫演示、旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生觀察到它們的位置關(guān)系，但應(yīng)注意多媒體只能是教學(xué)的輔助手段，千萬不可為了多媒體而多媒體.

3 在具體的演繹推理中加強(qiáng)手工實(shí)驗(yàn)操作

波利亞認(rèn)為，“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，它是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，但也是別的什么東西.由歐幾里德方法提出來的數(shù)學(xué)看來像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)”．?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)教育既要重視數(shù)學(xué)內(nèi)容形式化、抽象化的一面，又要重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中具體化、經(jīng)驗(yàn)化的一面，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)．

“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”是此次高中數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)基本理念．但形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一，學(xué)會(huì)形式化的表達(dá)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)基本要求．所謂形式化的表達(dá)無非就是演繹推理的具體體現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生遇到一個(gè)立體幾何問題時(shí)，會(huì)對(duì)其圖形的空間構(gòu)成一時(shí)無法在大腦中呈現(xiàn)，此時(shí)通過手工實(shí)驗(yàn)是解決問題的一種有效手段.

案例22009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題.

如圖5，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足．設(shè)AK=t，則t的取值范圍是________．

圖5

此題以折疊為大背景，但命題者將固定的折疊模式改成了動(dòng)態(tài)(即折痕AF的變化)的折疊．事實(shí)上，學(xué)生只要將自己的草稿紙折疊一下(現(xiàn)場(chǎng)確實(shí)也有學(xué)生這么做)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)此題是將立體幾何的三角關(guān)系(cosα·cosβ=cosγ)中的3個(gè)角處在“反置”的背景下.

總之，在實(shí)施立體幾何教學(xué)過程中，需要學(xué)生手工實(shí)驗(yàn)操作，教學(xué)時(shí)機(jī)比比皆是，譬如研究幾何體的表面積、截面等等.教材的編寫本身基于培養(yǎng)學(xué)生的自主設(shè)計(jì)、自主探索、自主歸納和總結(jié)，立足于培養(yǎng)學(xué)生的思維和能力．誠(chéng)然，制作模型與實(shí)驗(yàn)操作過程需要花費(fèi)一定的教學(xué)時(shí)間，有時(shí)甚至?xí)绊懸惶谜n的教學(xué)任務(wù)，但這都只是暫時(shí)的.只要教師立足學(xué)生的發(fā)展，在課堂上作適時(shí)、必要的引導(dǎo)，再以多媒體輔助，這樣會(huì)使教學(xué)內(nèi)容更充實(shí)、更形象，必定會(huì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率．另一方面，給學(xué)生手工實(shí)驗(yàn)操作的機(jī)會(huì)，它不僅能喚醒學(xué)生的主觀能動(dòng)性，使學(xué)生的情感得以交流，個(gè)性得到張揚(yáng)，而且也使學(xué)生的主體地位得以實(shí)現(xiàn)．

教師教得輕松活潑，學(xué)生學(xué)得扎扎實(shí)實(shí)，這不就是新課程所倡導(dǎo)的嗎？動(dòng)手學(xué)幾何，何樂而不為呢？

[1] 徐利治.徐利治談數(shù)學(xué)方法論[M].大連:大連理工大學(xué)出版社，2008.

[2] 波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維新方法[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?，2007.