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(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育科學(xué)與數(shù)學(xué)奧林匹克研究所 天津 300387)

角元塞瓦定理的應(yīng)用

●李建泉

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育科學(xué)與數(shù)學(xué)奧林匹克研究所 天津 300387)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，平面幾何是訓(xùn)練學(xué)生思維能力的重要環(huán)節(jié).競(jìng)賽中與此相關(guān)的知識(shí)對(duì)于參加自主招生考試的學(xué)生來(lái)說(shuō)幫助很大.下面通過(guò)塞瓦定理及相關(guān)的一些例子加以說(shuō)明.

塞瓦定理P是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，直線PA,PB,PC與直線BC,CA,AB分別交于點(diǎn)D,E,F，則

塞瓦定理還有一個(gè)三角形式的表述.

角元塞瓦定理P是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，直線PA,PB,PC與直線BC,CA,AB分別交于點(diǎn)D,E,F，則

角元塞瓦定理的逆定理若點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是直線BC，CA，AB上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足

則AD，BE，CF三線交于一點(diǎn).

下面只給出當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)塞瓦定理的證明，其他情形的證明類(lèi)似.

在△PAB中，由正弦定理可得

即

PA·sin∠BAD=PB·sin∠ABE.

同理可得

PB·sin∠CBE=PC·sin∠BCF;

PC·sin∠ACF=PA·sin∠CAD.

將這3個(gè)等式相乘，可得

sin∠BAD· sin∠CBE·sin∠ACF=

sin∠ABE·sin∠BCF·sin∠CAD，

即

下面給出幾個(gè)應(yīng)用角元塞瓦定理的例子.

例1已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足

∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO，

求證：△ABC的3條邊長(zhǎng)成等比數(shù)列.

(2011年北京大學(xué)保送生考試試題)

分析條件中明顯有AO，BO，CO三線交于一點(diǎn)O的條件，但沒(méi)有給出這3條線與對(duì)邊的交點(diǎn)，且還給出了與角度有關(guān)的條件，應(yīng)用角元塞瓦定理，再結(jié)合分析的方法，可以作為一條尋求解決問(wèn)題的途徑.

圖1

證明如圖1所示，設(shè)∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=α,∠ABO=β，∠BCO=γ，則4α+β+γ=π.由角元賽瓦定理可得

即

sin2α=sinβsinγ.

下面證明BC2=AB·AC.因?yàn)?/p>

BC2=AB·AC

? sin22α=sin(α+β)sin(α+γ)

? 1+cos(β+γ)=cos(β-γ)+cos2α

? 1+cosβcosγ-sinβsinγ=cosβcosγ+sinβsinγ+

1-2sin2α

? sin2α=sinβsinγ.

注三角形內(nèi)滿(mǎn)足∠BAO=∠CBO=∠ACO的點(diǎn)O,稱(chēng)為△ABC的布洛卡點(diǎn).

例2P為銳角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，直線la和PA關(guān)于∠A的角平分線對(duì)稱(chēng)，直線lb和PB關(guān)于∠B的角平分線對(duì)稱(chēng)，直線lc和PC關(guān)于∠C的角平分線對(duì)稱(chēng).

(1)證明:la,lb,lc三線交于一點(diǎn)Q；

(2)若點(diǎn)P在3條邊BC，CA，AB上的投影分別為D，E，F(xiàn)，證明:點(diǎn)P為△DEF的重心的充要條件是Q為△ABC的重心.

分析在第(1)小題中，條件給出的是AP，BP，CP三線交于一點(diǎn)P，仍然沒(méi)有給出這3條直線與對(duì)邊的交點(diǎn)，但是給出的對(duì)稱(chēng)的條件與角度有關(guān).應(yīng)該利用角元塞瓦定理將條件轉(zhuǎn)化為等式，結(jié)合角元塞瓦定理的逆定理，將要證明的la,lb,lc三線交于一點(diǎn)也轉(zhuǎn)化為證明一個(gè)等式，從而使條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái).在第(2)小題中，多個(gè)側(cè)面的問(wèn)題往往可以通過(guò)一個(gè)側(cè)面突破，從而全面解決問(wèn)題.

需要說(shuō)明的是，通過(guò)AP,BP,CP的延長(zhǎng)線與對(duì)邊的交點(diǎn)也可以證明這個(gè)結(jié)論.實(shí)際上,很多結(jié)論都是等價(jià)的，證法也很多，這里只是通過(guò)條件和結(jié)論之間的關(guān)系來(lái)尋求一條解決問(wèn)題的途徑.

證明(1)設(shè)∠PAB=α，∠PBC=β，∠PCA=γ,la,lb,lc分別與BC,CA,AB交于點(diǎn)L,M,N，則

∠LAC=α,∠MBA=β，∠NCB=γ.

因?yàn)镻A，PB，PC三線交于一點(diǎn)，所以由角元塞瓦定理得

由角元塞瓦定理的逆定理，得la,lb,lc三線交于一點(diǎn)Q.

圖2

(2)如圖2,因?yàn)锳,E,P,F四點(diǎn)共圓，所以∠PEF=α,∠PFE=∠A-α.設(shè)直線DP與EF交于點(diǎn)K，由B，D，P，F(xiàn)和C，D，P，E四點(diǎn)共圓，可得∠FPK=∠B,∠EPK=∠C.在△PFK和△PEK中,由正弦定理可得

在△ABL和△ACL中,由正弦定理可得

于是

FK=EK,

即

從而

BL=CL.

同理可得,直線EP平分DF的充要條件是CM=AM，直線FP平分DE的充要條件是AN=BN，即點(diǎn)P為△DEF的重心的充要條件是Q為△ABC的重心.

注直線AP,la稱(chēng)為∠A的等角線，P,Q稱(chēng)為△ABC的等角共軛點(diǎn).

例3已知△ABC的內(nèi)切圓⊙I分別與3條邊BC,CA,AB切于點(diǎn)A1,B1,C1，l為過(guò)點(diǎn)I的任意一條直線，A′,B′,C′分別是A1,B1,C1關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，證明:AA′,BB′,CC′三線交于一點(diǎn)[1].

(2009年保加利亞數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

分析對(duì)稱(chēng)的條件中既有角相等，也有邊相等，由對(duì)稱(chēng)軸過(guò)⊙I的圓心以及弧相等，結(jié)合切線的條件，可以得到一些非對(duì)稱(chēng)的角度的相等.相似和全等是處理線段和角度關(guān)系常用的手段，但是如果在尋求解題途徑中無(wú)法找到相似和全等，那么常用的方法是運(yùn)用正弦定理.在處理比例式時(shí)，利用面積有時(shí)也能起到同樣的作用.

圖3

因?yàn)?/p>

且

所以

BB′sin∠A1BB′，

即

AA′sin∠CAA′=BB′sin∠CBB′.

同理可得

BB′sin∠ABB′=CC′sin∠ACC′,

CC′sin∠BCC′=AA′sin∠BAA′.

將上面3個(gè)式子相乘，可得

sin∠CAA′sin∠ABB′sin∠BCC′=

sin∠CBB′sin∠ACC′sin∠BAA′，

即

由角元塞瓦定理的逆定理,可得AA′,BB′,CC′三線交于一點(diǎn).

例4設(shè)Γ(I)是以△ABC的內(nèi)心I為圓心的一個(gè)圓，由點(diǎn)I向邊BC,CA,AB引垂線，分別與Γ(I)交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，證明:AD，BE，CF三線交于一點(diǎn)[2].

分析與例3類(lèi)似，可以采用類(lèi)似的方法，也可以利用對(duì)稱(chēng)得到的點(diǎn)到直線的距離相等來(lái)直接計(jì)算相關(guān)角的正弦.

證明設(shè)∠CAD=α1，∠BAD=α2,∠ABE=β1,∠CBE=β2，∠BCF=γ1,∠ACF=γ2,d(X,YZ)表示點(diǎn)X到直線YZ的距離.因?yàn)镈,E關(guān)于∠BCA的角平分線CI對(duì)稱(chēng)，所以

d(D,CA)=d(E,BC).

同理可得

d(E,AB)=d(F,CA)，d(F,BC)=d(D,AB).

所以

圖4

由角元塞瓦定理的逆定理,可得AD，BE，CF三線交于一點(diǎn).

利用角元賽瓦定理的例子很多，這里只就幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明利用我們掌握的知識(shí)，挖掘條件與結(jié)論之間的關(guān)系，以達(dá)到最終解決問(wèn)題的目的.

[1] 2009保加利亞數(shù)學(xué)奧林匹克.國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽題及精解[J],李炘譯.中等數(shù)學(xué),2010(增刊):40-41.

[2] 2003年IMO中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)教練組.走向IMO數(shù)學(xué)奧林匹克試題集錦(2003)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2003.