楊小遠(yuǎn), 李尚志, 孫玉泉, 薛玉梅, 楊卓琴, 楊義川

(北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室,北京 100191)

《工科數(shù)學(xué)分析》開放式教學(xué)探討

楊小遠(yuǎn), 李尚志, 孫玉泉, 薛玉梅, 楊卓琴, 楊義川

(北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室,北京 100191)

全面介紹了北京航空航天大學(xué)《工科數(shù)學(xué)分析》課程開放式教學(xué)的探索和實踐.

課程建設(shè);開放式教學(xué);開放式作業(yè)

1 大學(xué)一年級學(xué)生面臨的問題

對于剛剛走進大學(xué)的中學(xué)生來講,大學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)該說是真正意義上學(xué)習(xí)的開始.中學(xué)期間數(shù)學(xué)的內(nèi)容和知識面都是很淺的,但是由于高考競爭的殘酷,中學(xué)期間的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是大量的題海訓(xùn)練.在這個過程中,老師教會學(xué)生各種各樣解題技巧,然后學(xué)生在進行類似問題題海訓(xùn)練,導(dǎo)致學(xué)生思維方式不開闊,喜歡套路子想問題,許多數(shù)學(xué)問題求解不是學(xué)生自己體悟出來,更多是教出來.每個中學(xué)生的背后都有一個強大的“團隊”,這個團隊有各科老師事無巨細(xì)的教學(xué),各種家教等等,因此導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)依賴性過強,自主性學(xué)習(xí)習(xí)慣沒有養(yǎng)成,缺乏獨立思考問題和對未知問題的探索能力.面臨這些大學(xué)生,高等教育面臨兩個基本任務(wù).一是從依賴性的學(xué)習(xí)方式到自主性學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變,二是從中學(xué)以做題為主的思維方式到形成開放思維方式的轉(zhuǎn)變.《工科數(shù)學(xué)分析》實際上是從中學(xué)到大學(xué)轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式和思維方式承上啟下的一門課程,因此就目前面臨的問題,我們就《工科數(shù)學(xué)分析》課程的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式進行深層次的探討和實踐.

2 關(guān)于《工科數(shù)學(xué)分析》課程開放式教學(xué)的探索

我們授課學(xué)生的群體是工科專業(yè)的學(xué)生,如何加深數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容,一直是我們面臨的主要問題.對工科的學(xué)生來講,他們更關(guān)心“數(shù)學(xué)有什么用,它能幫助我們解決什么問題”.因此在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式上應(yīng)該與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)系的學(xué)生有所區(qū)別.在工程應(yīng)用領(lǐng)域真正需要用到的具體數(shù)學(xué)分支,具體的數(shù)學(xué)定理、公式和結(jié)論,其實并不很多,學(xué)校里學(xué)過的數(shù)學(xué)知識很多都似乎沒有派上什么用處,但所受的數(shù)學(xué)訓(xùn)練,所領(lǐng)會的數(shù)學(xué)思想和精神,卻無時無刻不在發(fā)揮著積極的作用,成為取得研究成功的最重要因素.數(shù)學(xué)是一門高度抽象的學(xué)科,但是它不是人類精神純粹自由創(chuàng)造和想像,而是源于自然和工程問題.如果將教學(xué)僅僅看成是一般數(shù)學(xué)知識的傳授,那么即使講授再多的定理和公式,可能仍免不了淪為一堆僵死的教條,難以發(fā)揮作用,而掌握了數(shù)學(xué)的思想方法和精神實質(zhì),就可以由不多的幾個公式演繹出千變?nèi)f化的生動結(jié)論,顯示出無窮無盡的威力.因此僅僅將數(shù)學(xué)作為知識來學(xué)習(xí),而忽略了數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的背景就失去了開設(shè)數(shù)學(xué)課程的意義.在教學(xué)過程中除了教授經(jīng)典課程內(nèi)容以外,進行開放式教學(xué)的探索,增強數(shù)學(xué)應(yīng)用背景的講授,拓寬學(xué)生的知識面,了解數(shù)學(xué)學(xué)科在科學(xué)研究領(lǐng)域的重要性,為學(xué)生打開數(shù)學(xué)與應(yīng)用的窗口.在整個課程的講授過程中作了系列開放式講座,我們以下面10個專題為例進行說明.這里詳細(xì)介紹第一個專題講座,其余概括性的介紹.這些講座的主要特點都是以問題驅(qū)動的研究性教學(xué).

i)Taylor公式與科學(xué)計算

Taylor公式是微積分的經(jīng)典內(nèi)容,為此我們?yōu)閷W(xué)生開設(shè)了《Taylor公式與科學(xué)計算》專題講座.通過Taylor公式在導(dǎo)數(shù)數(shù)值計算的簡單應(yīng)用,闡述了Taylor公式科學(xué)計算中的應(yīng)用.首先通過一個算例介紹計算機實現(xiàn)導(dǎo)數(shù)計算存在的問題.以問題驅(qū)動的教學(xué),會激發(fā)學(xué)生對未知問題的探索能力和興趣.

表1 導(dǎo)數(shù)計算結(jié)果

這里我們采用近的計算公式:

從表1我們發(fā)現(xiàn):當(dāng)h=0.2時計算效果最佳,h取得比0.2小時,計算的效果越來越差,學(xué)生看到這些計算實例,對計算結(jié)果感到很驚訝.這個現(xiàn)象與我們的設(shè)想有著“天壤之別”.按照導(dǎo)數(shù)的定義,h越小應(yīng)該計算精度越高.原因是用計算機表示任何數(shù)字只能是有限位,因此任何運算都會有舍入誤差,當(dāng)h取得非常小時,上述公式出現(xiàn)兩個相近數(shù)字相減,使得有效數(shù)字減少,因此導(dǎo)致表1的計算結(jié)果.面對這樣的問題,如何解決?應(yīng)用Taylor公式構(gòu)造更高精度的計算公式,也即是計算數(shù)學(xué)領(lǐng)域著名的外推算法.

由Taylor公式,可以得到如下:

可見公式(2)比(1)提高了精度.用類似的方法構(gòu)造序列:

得到更精確的導(dǎo)數(shù)計算公式.我們展示給學(xué)生一個實際算例:

例2 計算f(x)=cotx在x=0.004導(dǎo)數(shù)值,其中f′(0.004)=625.33344002.

表2 導(dǎo)數(shù)的外推計算結(jié)果

從表2可以看出h=0.0016時,用(1)計算僅有二位有效數(shù)字,經(jīng)過外推計算以后,G4有效數(shù)字達(dá)到了7位,因此大大提高了精度.學(xué)生對表2的計算結(jié)果非常感興趣,感覺到獲得了“不可思議"計算結(jié)果,體會到了數(shù)學(xué)在科學(xué)研究中的重要作用.

利用類似的思想,我們給出推廣更一般結(jié)論,李查遜外推(Richardson).Richardson外推在科學(xué)計算領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用于研究高精度的算法.掌握了外推的思想以后,學(xué)生能夠在高階導(dǎo)數(shù)以及定積分的數(shù)值計算中實現(xiàn)高精度的數(shù)值算法.通過上面的教學(xué)實踐,學(xué)生對Taylor公式有了全面深刻的認(rèn)識并能夠解決一些實際問題.通過講座學(xué)生了解科學(xué)計算中必須充分重視舍入誤差對計算結(jié)果的影響,這也是科學(xué)計算面臨的重要研究課題.以問題驅(qū)動的研究性教學(xué)增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

ii)Taylor公式進一步思考——關(guān)于分段函數(shù)的應(yīng)用

通過分析Taylor公式逼近函數(shù)的局限性,給出改進的幾種逼近的思路和思想,包括拉格朗日插值和樣條逼近等目前逼近論研究的幾個問題,這些內(nèi)容詳細(xì)推導(dǎo)可以給學(xué)生推薦相關(guān)書籍,自己進一步學(xué)習(xí).同學(xué)們認(rèn)識到分段函數(shù)不是數(shù)學(xué)家杜撰出來的,是實際問題中需要這類特殊函數(shù),實際上任何數(shù)學(xué)分支都不是人類純粹的精神想像,而是來源于實際問題.

iii)連續(xù)函數(shù)壓縮映射問題的討論

在數(shù)學(xué)分析中有一經(jīng)典習(xí)題,連續(xù)函數(shù)的壓縮映射定理.我們引深教學(xué)內(nèi)容,講了不動點理論在非線性方程求根中的應(yīng)用.我們給出許多實際的算例,讓學(xué)生分析對不同的壓縮映射函數(shù),得到不同迭代方法的收斂速度問題.學(xué)生們利用無窮小階的運算知識給出了幾種收斂速度的定義.學(xué)生不僅加深對連續(xù)函數(shù)的認(rèn)識,同時學(xué)會用無窮小階運算描述數(shù)學(xué)問題.為了進一步開拓學(xué)生的思路,讓學(xué)生有更多的想像空間,在課堂上介紹了如果不動點是一幅圖像會怎么樣?在此基礎(chǔ)上我們介紹了不動點理論在分形圖像壓縮中的應(yīng)用,闡明創(chuàng)新思想的重要性.

iv)從傅里葉級數(shù)談起

傅立葉級數(shù)部分內(nèi)容學(xué)生學(xué)起來,普遍感覺計算量大,對教學(xué)內(nèi)容不感興趣,學(xué)生們對一個簡單的函數(shù)展成傅里葉級數(shù)感到“莫名奇妙”.在教學(xué)過程中作了一次專題講座,主要內(nèi)容如下：傅里葉級數(shù)提出的應(yīng)用背景即傅里葉級數(shù)的根本意義.在傅里葉級數(shù)基礎(chǔ)上,從離散到連續(xù)我們講了傅里葉變換.在此基礎(chǔ)上介紹傅里葉變換的缺點,更進一步,介紹了小波變換.在課堂上我們沒有講解具體的小波變換數(shù)學(xué)表達(dá)式,只講解小波變換基本思想和它如何克服傅里葉變換的缺點.同時以汶川地震為例介紹傅里葉變換和小波變換在航空航天遙感圖像分析與理解領(lǐng)域的應(yīng)用.當(dāng)我們從這樣一個視角介紹傅里葉級數(shù)時,學(xué)生自然對傅里葉級數(shù)產(chǎn)生了興趣.

v)極值問題中拉格朗日函數(shù)與優(yōu)化理論初步

數(shù)學(xué)分析中極值問題中一個重要的結(jié)論是拉格朗日函數(shù).在講完多元函數(shù)極值基本理論方法以后.我們給出幾個極值問題的例子.實際上這些例子最終都是求解一個非線性方程組.教材上的例題最終非線性方程組都可以求精確解.我們沒有停留在這一點上,進一步給出一個復(fù)雜問題,相應(yīng)的非線性方程組解析解求不出來,怎么辦?因此我們介紹了數(shù)值優(yōu)化理論這一計算數(shù)學(xué)重要分支.最優(yōu)化理論的基本問題就是在拉格朗日函數(shù)基礎(chǔ)上的數(shù)值求解,介紹目前研究現(xiàn)狀和面臨的挑戰(zhàn)性問題.

vi)常微分方程數(shù)值計算

數(shù)學(xué)分析課程中常微分方程內(nèi)容就幾類典型方程求解析解,內(nèi)容簡單,學(xué)生容易理解和接受.我們在課堂上主要講授了分離變量法和二階線性方程組的解法.在此基礎(chǔ)上我們介紹常微分方程的數(shù)值解法和一些基本問題,通過簡單例子介紹常微分方程面臨的一個挑戰(zhàn)課題：剛性問題的求解.

vii)場論中一些數(shù)學(xué)問題

積分學(xué)的三大定理：GREEN定理,GAUSS定理,STOKES定理,學(xué)生就其數(shù)學(xué)形式普遍理解很好,但是在物理和力學(xué)應(yīng)用背景下描述,往往很陌生.因此在教學(xué)中通過引入梯度算子,散度算子,旋度算子等和形式計算的技巧,讓學(xué)生更深刻了解利用數(shù)學(xué)工具描述工程領(lǐng)域中問題的重要性.

viii)關(guān)于可積理論的進一步思考

函數(shù)積分的理論主要是如何判斷一個函數(shù)滿足什么樣的條件是可積分的,一般的數(shù)學(xué)分析書主要講授是達(dá)布上和與下和定理,但是這個定理并沒有直觀解釋函數(shù)滿足什么條件是可積分的.我們啟發(fā)學(xué)生,連續(xù)函數(shù)可積,若有限個間斷點可積,這些都可以證明.我們留給學(xué)生一個思考題目：函數(shù)到底有“多少”個間斷點可積?學(xué)生一開始普遍認(rèn)為只有有限個能保證可積.我們啟發(fā)學(xué)生想如果間斷點是在一個收斂數(shù)列,結(jié)論是否成立?學(xué)生證明了這個結(jié)論.在這個基礎(chǔ)上我們初步介紹至多可數(shù)集合和零測集合等概念,在此基礎(chǔ)上介紹Lebesgue定理和相應(yīng)新的數(shù)學(xué)分支.很多學(xué)生對上述概念產(chǎn)生了濃厚的興趣,他們了解數(shù)學(xué)學(xué)科的博大精深.通過這樣的訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生對科學(xué)問題的探索、鉆研精神.

ix)關(guān)于柯西定理的進一步思考

數(shù)學(xué)分析課程中有數(shù)列收斂的柯西定理,函數(shù)極限存在的柯西定理,函數(shù)一致連續(xù)的柯西定理,數(shù)項級數(shù)收斂的柯西定理,函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西定理,廣義積分一致收斂的柯西定理.這些定理都是數(shù)學(xué)分析中的精彩內(nèi)容.學(xué)生學(xué)習(xí)多了容易引起概念和理解的混亂.在學(xué)期末,我們讓學(xué)生重新認(rèn)識和理解柯西定理,講解這些定理刻畫問題的共性特征,學(xué)生的思路變得清晰和自然,同時我們要求學(xué)生想一想柯西定理就在我們身邊應(yīng)用的例子.

x)數(shù)學(xué)分析中“一致"概念的直觀理解

數(shù)學(xué)分析中有一個重要的教學(xué)內(nèi)容是有限次運算法則(極限運算、連續(xù)運算、可導(dǎo)運算、可積運算,廣義積分運算)能否將有限次運算推廣到無限次運算.這些教學(xué)的內(nèi)容難點是“一致”概念,包括函數(shù)一致連續(xù),函數(shù)序列和函數(shù)項級數(shù)的一致收斂,廣義積分的一致收斂.對這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí),學(xué)生感到“頭疼”,最主要的原因是對這些概念沒有真正理解.因此在講解這些概念的同時,我們借助多媒體教學(xué)給學(xué)生大量一致連續(xù)函數(shù)和不一致連續(xù)函數(shù)的幾何圖像,使得學(xué)生從直觀上理解一致連續(xù)函數(shù)和不一致連續(xù)函數(shù)的區(qū)別.對函數(shù)序列和函數(shù)項級數(shù)的一致收斂,廣義積分的一致收斂也是同樣的處理方法,讓學(xué)生從根本上理解這些概念.在學(xué)生理解這些概念以后,在講“一致”帶給我們“好處”,也即是相應(yīng)的基本理論和結(jié)論.

xi)微積分在實際問題中綜合舉例

適當(dāng)增加了微積分在經(jīng)濟,生物,航空航天等應(yīng)用領(lǐng)域的例子.通過這些綜合應(yīng)用類型的例題,將數(shù)學(xué)建模的思想引入教學(xué)過程,讓學(xué)生體會解決一個實際問題的全過程：數(shù)學(xué)建?！蠼夥椒āY(jié)果分析全過程.讓學(xué)生感覺數(shù)學(xué)的親切,不再是象牙塔里高不可攀的陽春白雪,數(shù)學(xué)就在我們身邊.

盡管上面教學(xué)內(nèi)容占據(jù)一些學(xué)時,可以通過對經(jīng)典數(shù)學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容進行提煉,壓縮一些學(xué)時,同時由于采用多媒體教學(xué),因此開放式教學(xué)內(nèi)容完全可以實現(xiàn).

3 關(guān)于《工科數(shù)學(xué)分析》課程開放式作業(yè)的探索

數(shù)學(xué)是一門推理和思考型的學(xué)科.數(shù)學(xué)最富有吸引力也是最本質(zhì)的就是她的思想.在教學(xué)過程中學(xué)習(xí)新的概念和知識時,要強調(diào)這些知識來源和數(shù)學(xué)家如何思考和解決問題,引導(dǎo)學(xué)生與數(shù)學(xué)大師思想對話.但是數(shù)學(xué)思想是不可能像填鴨那樣灌輸給學(xué)生.能否較好把數(shù)學(xué)思想介紹給學(xué)生,要求是雙向的.既要求老師善于講,也要求學(xué)生有興趣,肯思考.著名科學(xué)家牛頓在被問到是什么使得他發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律時,其回答非常簡單：“By thinking on it continually”.幾乎所有的偉大發(fā)現(xiàn)都?xì)w功于不斷的思考.愛因斯坦說過：“Imagination is more important than knowledge”.數(shù)學(xué)家韋爾斯(Andrew Wiles)十年磨一劍攻克費爾馬大定理,就是從小就迷上了這個世界難題.物理學(xué)家弗里希(Frisch)“科學(xué)家必定有孩童般的好奇心,一個成功的科學(xué)家,必須保持這種孩提時的天性”.一些重要的數(shù)學(xué)理論和方法,在一開始往往是混亂粗糙、難以理解甚至不可思議的,經(jīng)過許多乃至幾代數(shù)學(xué)家的努力,有時甚至經(jīng)過長期的激烈論爭,才逐步去粗取精、去偽存真,最終才出現(xiàn)了現(xiàn)在為大家公認(rèn)的系統(tǒng)的理論.數(shù)學(xué)教育要創(chuàng)造一種環(huán)境,使同學(xué)身臨其境地介入數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造過程,鼓勵并推動學(xué)生解決一些理論或?qū)嶋H的問題.這些問題沒有現(xiàn)成的答案,沒有固定的方法,沒有指定的參考書,甚至也沒有成型的數(shù)學(xué)問題.主要靠學(xué)生獨立思考、反復(fù)鉆研并相互切磋,去形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題,進而分析問題的特點,尋求解決問題的方法.總之,讓學(xué)生親口嘗一嘗梨子的滋味,親身去體驗一下數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程對培養(yǎng)學(xué)生獨立思考問題的能力是非常重要的.

在教學(xué)過程中,我們陸續(xù)給學(xué)生留一些開放式的作業(yè)如下：

1)歐拉常數(shù)是有理數(shù)或是無理數(shù)?(公開問題);

2)討論一個有序代數(shù)結(jié)構(gòu)完備性,阿基米德性,稠密性,加法交換律,加法結(jié)合律,乘法交換律,乘法結(jié)合律之間的關(guān)系;

3)結(jié)合實數(shù)完備性定理說明對極限定義及實數(shù)連續(xù)性的理解;

4)舉新例說明數(shù)列及數(shù)列極限的應(yīng)用;

5)壓縮映射原理的進一步思考和應(yīng)用;

6)利用Taylor定理討論二階導(dǎo)數(shù)的外推計算;建立π的快速收斂算法;

7)研究克服Taylor定理局部逼近更好的多項式逼近方法;

8)研究更精確的正項級數(shù)收斂判別方法;

9)關(guān)于Canchy定理的進一步思考,舉例Canchy定理就在我們身邊的例子;

10)若干微積分在經(jīng)濟、生物、天文等應(yīng)用領(lǐng)域中的綜合應(yīng)用例題建模求解;

11)對教材中某些感興趣的定理、習(xí)題的多種解法和更一般結(jié)論的探討.

4 教學(xué)方法探討

數(shù)學(xué)分析內(nèi)容龐大,因此在教學(xué)過程中不要追求事無巨細(xì)和面面俱到,需要我們精講核心和本質(zhì)的內(nèi)容.如果覺得教學(xué)內(nèi)容個個重要,不分輕主次,反而使得學(xué)生不得要領(lǐng).因此在教學(xué)過程中我們要注意許多共性的問題,提煉精華,這樣才能使得學(xué)生學(xué)得精通.同時在教學(xué)過程中,注意給學(xué)生留出思考的空間,啟發(fā)學(xué)生,促成養(yǎng)成思考的習(xí)慣.如果每堂課程80%的講授內(nèi)容,要留出20%的內(nèi)容自學(xué)和思考.讓學(xué)生隨著課堂內(nèi)容,與老師的教授同步進行思考,只有這樣,才能培養(yǎng)學(xué)生不墨守成規(guī),富于開拓精神,為學(xué)生創(chuàng)造一個有利于思考的環(huán)境.

5 結(jié)束語

本文全面介紹了我?！豆た茢?shù)學(xué)分析》課程開放式教學(xué)的探索和實踐.鑒于文章的篇幅有限,沒有附學(xué)生開放式作業(yè).我們將在有關(guān)期刊陸續(xù)展示學(xué)生的開放式作業(yè).在教學(xué)實踐過程中,學(xué)生獨立思考能力和推理能力正在逐步形成,學(xué)生的潛力是巨大的,通過高質(zhì)量的本科教學(xué),他們完全可以承擔(dān)國家未來科技重任.

Opening Teaching and Practice for Mathematical Analysis

YA N G Xiao-yuan, L I S hang-zhi, SUN Yu-quan, XU E Yu-mei, YA N G Zhuo-qin, YA N G Yi-chuan
(School of Mathematics and System Sciences,Beihang University Xueyuan Road 37,Haidian District,Beijing 100191,China)

This paper fully introductions opening teaching and practice of mathematical analysis of engineering course of the Beijing University.

courses construction;open teaching;open problem

O13;G420

C

1672-1454(2011)03-0001-06

2009-12-17

北京市精品課程建設(shè)項目(430341);校重點教改項目《工科數(shù)學(xué)分析開放式教學(xué)研究與實踐》