王曉佳

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230009)

一類(lèi)復(fù)雜時(shí)滯系統(tǒng)的λ實(shí)用穩(wěn)定性

王曉佳

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230009)

主要研究了一類(lèi)具有多時(shí)滯的復(fù)雜微分系統(tǒng)的λ實(shí)用穩(wěn)定性問(wèn)題,通過(guò)對(duì)Lyapunov函數(shù)方法以及比較原理的運(yùn)用,建立一般形式的實(shí)用穩(wěn)定性直接判據(jù).在此基礎(chǔ)上給出討論這類(lèi)多時(shí)滯復(fù)雜微分系統(tǒng)實(shí)用穩(wěn)定性的新方法.

泛函微分方程;λ實(shí)用穩(wěn)定性;時(shí)滯

1 引 言

隨著科技發(fā)展和人們對(duì)諸如控制系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、航空系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)等領(lǐng)域的研究,人們遇到了大量的時(shí)滯現(xiàn)象.在涉及到線性過(guò)程的許多應(yīng)用中,都存在有滯后現(xiàn)象,即事物的發(fā)展趨勢(shì)不僅依賴(lài)于當(dāng)前的狀態(tài),而且還依賴(lài)于事物的過(guò)去歷史.在數(shù)學(xué)上描述這類(lèi)運(yùn)動(dòng)要用時(shí)滯泛函微分方程(簡(jiǎn)稱(chēng)時(shí)滯系統(tǒng)[1]).由于它本質(zhì)上是無(wú)限維的,這樣就給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究帶來(lái)許多困難.

對(duì)滯后系統(tǒng),研究歷史雖已有三十年,但穩(wěn)定性、穩(wěn)定性理論仍處于初創(chuàng)階段,特別是對(duì)于這種類(lèi)型系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性,據(jù)作者所知,研究結(jié)果[4-5]并不是很多,而對(duì)于這類(lèi)系統(tǒng)的λ實(shí)用穩(wěn)定性,研究幾乎處于空白.在本文中,我們運(yùn)用研究運(yùn)動(dòng)的實(shí)用穩(wěn)定性的創(chuàng)新方法,來(lái)建立時(shí)滯系統(tǒng)的實(shí)用λ穩(wěn)定性的充分條件.

考慮下面這個(gè)多時(shí)滯微分系統(tǒng)

本文約定,?x,y∈Rn,x≤y的充分必要條件為xi≤yi(i=1,2,…,n).下面我們先介紹一些預(yù)備知識(shí),然后給出判定此類(lèi)復(fù)雜時(shí)滯系統(tǒng)(1)的λ實(shí)用穩(wěn)定性的結(jié)論.

2 預(yù)備知識(shí)

定義1 稱(chēng)系統(tǒng)(1)是實(shí)用λ穩(wěn)定的,如果對(duì)于任何初始函數(shù)φ(θ)∈S0(t),τ＊≤θ≤0,存在λ＞0使當(dāng)0＜λ＜λ0時(shí),對(duì)所有的?t0∈T0滿(mǎn)足x(t0,φ,λ)(t)∈intS(t).

假設(shè)對(duì)于系統(tǒng)(1)存在極限

且為關(guān)于x∈D1,y∈D2的一致極限.

在區(qū)域T0×D1×D2,D1?Rn,D2?Rn內(nèi),向量函數(shù)由關(guān)系式

確定,其中ˉfi有零均值.

考慮對(duì)應(yīng)于方程組(1)的均值方程組

對(duì)(4)考慮具有連續(xù)且可微的分量的向量函數(shù)V∶Rm→Rm+與函數(shù)?！蔆1(R+,Rm),Γ有可微的分量,同時(shí)有

下面,將在對(duì)均值方程組(4)的解的性質(zhì)的某些假設(shè)條件下,建立方程(1)的實(shí)用λ穩(wěn)定的條件.由文獻(xiàn)[4],[5]不難得到:

引理1 假設(shè)在方程組(1)中的函數(shù)fi(t,u,v)(i=1,…,n)在區(qū)域Q={(t,u,v)∶t∈R+,u∈D1, v∈D2}內(nèi)有定義且連續(xù),同時(shí)假設(shè)在這個(gè)區(qū)域內(nèi)成立:

(Ⅰ)存在函數(shù)M(t)與常數(shù)M0,使得在任何有限區(qū)間[t1,t2]?T0上滿(mǎn)足

(Ⅱ)存在函數(shù)H1(t),H2(t),常數(shù)h1,h2與K類(lèi)函數(shù)ψ1,ψ2使得

對(duì)任何x1,x2∈D1,y∈D2與[t1,t2]?T0成立;

對(duì)任何y1,y2∈D2,x∈D1與[t1,t2]?T0成立;

(Ⅳ)x1∈D1,y∈D2一致存在極限式(3),且向量函數(shù)?fi(x,y)滿(mǎn)足關(guān)于x1∈D1的具有常數(shù)N的李普希茲條件,

則對(duì)于任何η≥0,L≥0,能找出一個(gè)λ0,使當(dāng)0＜λ＜λ0,在區(qū)間0≤t≤Lλ-1上滿(mǎn)足不等式

3 主要結(jié)果

與不等式組(5)一起來(lái)考慮比較方程組

對(duì)系統(tǒng)(1),利用引理(1)的估計(jì)式與比較原理,可得出系統(tǒng)(1)的實(shí)用λ穩(wěn)定性的充分條件.

定理1 對(duì)系統(tǒng)(1),假設(shè)

(Ⅰ′)滿(mǎn)足引理1的條件(Ⅰ),(Ⅱ);

(Ⅱ′)存在向量函數(shù):V:Rn→R與函數(shù)?！蔆(R,Rm)滿(mǎn)足不等式(5);

(Ⅲ′)存在可積函數(shù)Γ1(t),Γ2(t),常數(shù)z1,z2與K類(lèi)函數(shù)ψ1,ψ2使得

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Theλ-Practical Stability for aclass of Complex Delay Systems

WA N G Xiao-jia
(Hefei University of Technology,Hefei 230009,China)

This paper is devoted to the investigation forλ-Practical Stability for aclass of systems with multiple delays.By using Lyapunov functions and comparison principle,we will get some criteria for delay systems.

functional differential equations;λ-Practical Stability;delay

O175

A

1672-1454(2011)03-0093-05

2008-09-05

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(70631003)