周釗

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院 汽車工程系，湖北 十堰442002）

齒輪廣泛地應(yīng)用于汽車、拖拉機(jī)、工程機(jī)械等產(chǎn)業(yè)。現(xiàn)代機(jī)械設(shè)計(jì)對齒輪傳動(dòng)提出了越來越高的要求，齒輪傳遞扭矩過程中，齒輪的接觸疲勞強(qiáng)度是評價(jià)齒輪承載能力的一個(gè)重要尺度，如果齒面接觸強(qiáng)度不夠，齒面將產(chǎn)生點(diǎn)蝕、剝落、塑性變形等損傷，為了防止齒面產(chǎn)生這些損傷，必須進(jìn)行齒面的接觸強(qiáng)度計(jì)算。本文使用ANSYS Workbench有限元分析軟件，建立齒輪接觸仿真分析模型。分析計(jì)算了1對直齒輪的接觸應(yīng)力，將理論赫茲應(yīng)力結(jié)果與有限元結(jié)果比較，說明有限元法仿真齒輪類問題的精確性和可靠性。

1 齒輪三維網(wǎng)格模型

利用CATIA軟件建立1對圓柱直齒輪的幾何模型，齒輪參數(shù)如表1所示，將幾何模型保存為STP格式，將其導(dǎo)入Workbench軟件中。為使齒輪副得到較規(guī)整的網(wǎng)格，將齒輪分割成如圖1所示的若干部分。

表1 1對直齒輪幾何參數(shù)

齒輪接觸處應(yīng)力變化急劇，需要設(shè)定較密網(wǎng)格，而遠(yuǎn)離關(guān)注部位的非接觸區(qū)域，改用較大尺寸的單元作為近似寫照。基于上述認(rèn)識，再次在齒輪接觸處進(jìn)行切割，分割區(qū)域的半徑為0.47mm，該范圍包含齒輪的接觸區(qū)域，如圖2所示。

小齒輪的材料為 40 Cr，其彈性模量 E1為206GPa，泊松比μ1為 0.28；大齒輪的材料為45號鋼，其彈性模量E2為216GPa，泊松比μ2為0.3。一個(gè)優(yōu)良的有限元離散模型應(yīng)該具有足夠多的單元數(shù)目、合理的單元布局以及品質(zhì)優(yōu)良的單元形態(tài)。為建立合理的有限元模型，整個(gè)齒輪模型采用掃掠網(wǎng)格劃分方式，通過8節(jié)點(diǎn)6面體單元（SOLID185）來離散，將齒輪副結(jié)構(gòu)分為接觸區(qū)域，接觸輪齒和非接觸輪齒3個(gè)部分，采用不同的網(wǎng)格密度，其中接觸區(qū)域的網(wǎng)格最小，網(wǎng)格尺寸為0.01mm，網(wǎng)格模型如圖3～4所示。齒輪副有限元模型節(jié)點(diǎn)數(shù)170152，單元數(shù)151556。

2 形成接觸單元

接觸問題都是非線性問題，它們的求解需要占用大量的計(jì)算機(jī)資源。因此，理解問題的物理特性和為了使運(yùn)行足夠高效而花時(shí)間建立模型，這些是很重要的。接觸問題分為兩大類：剛性到柔性接觸類、柔性到柔性接觸類。本課題研究的是柔性到柔性的接觸類問題，有限元程序支持柔性對柔性的面到面接觸單元，目標(biāo)面一般是較剛表面，該表面在3維問題中用TARGE170單元來模擬，一般情況下，小齒輪表面剛度比大齒輪表面剛度大，所以此處的目標(biāo)面為小齒輪齒面。選擇大齒輪的齒面為接觸面。接觸單元采用Contact174單元，所謂的接觸對，都通過1個(gè)共同的實(shí)常數(shù)來定義。本文共形成接觸單元2058個(gè)。

本文采用增強(qiáng)拉格朗日算法計(jì)算齒輪接觸，增強(qiáng)拉格朗日算法在純罰函數(shù)的基礎(chǔ)上引入接觸力的參量，相比罰函數(shù)而言對接觸剛度的依賴不太敏感，接觸力的引入能減少滲透量，但勢必進(jìn)行更多的迭代才能得到收斂的結(jié)果。

接觸剛度的選擇是接觸問題計(jì)算的難點(diǎn)［4］，由于得到一個(gè)最佳的接觸剛度是很困難的，經(jīng)常有一些棘手的問題。利用低的參數(shù)會(huì)導(dǎo)致大的誤差，利用大的剛度值雖然會(huì)得到比較小的誤差，但會(huì)誘發(fā)有限元模型不穩(wěn)定。為確定合適的接觸剛度系數(shù)，應(yīng)該從較小值開始，不斷增大進(jìn)行多次試算，直到接觸應(yīng)力變化較小為止。不同接觸剛度的數(shù)值模擬在后文中討論。

3 邊界條件及仿真結(jié)果

3.1 邊界條件

小齒輪受到的驅(qū)動(dòng)扭矩T為20000N·mm，約束小齒輪內(nèi)圈所有節(jié)點(diǎn)徑向和軸向的自由度。此外對大齒輪內(nèi)圈所有節(jié)點(diǎn)施加全約束。加載后模型，如圖5所示。

3.2 仿真結(jié)果

接觸問題是非線性行為，ANSYS Workbench采用牛頓—拉普森算法進(jìn)行計(jì)算，取接觸剛度系數(shù)為1，摩擦系數(shù)為0，計(jì)算后接觸應(yīng)力圖如圖6所示，最大接觸壓力602.5MPa，發(fā)生在初始接觸點(diǎn)處，沿齒寬方向不變，沿接觸齒面方向逐漸遞減。MISES應(yīng)力圖如圖7所示，最大MISES應(yīng)力為375.8MPa，發(fā)生在齒輪端面接觸點(diǎn)處，最大切應(yīng)力圖如圖8所示，最大切應(yīng)力的最大值為208 MPa，發(fā)生在初始接觸點(diǎn)的下方，并沒有發(fā)生在接觸表面上。這是與接觸力學(xué)的理論計(jì)算相符的。齒輪的周向變形云圖如圖9所示，最大值為0.0281 mm。

4 齒輪接觸傳統(tǒng)理論計(jì)算

漸開線齒輪齒面為形狀較為復(fù)雜的曲面。然而由于接觸區(qū)寬度遠(yuǎn)小于齒面在接觸點(diǎn)的曲率半徑，因而可對嚙合齒面做適當(dāng)簡化［1］。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)運(yùn)轉(zhuǎn)條件相同時(shí)，齒輪間的接觸狀態(tài)可用1對圓柱體來模擬，1對齒輪之間的嚙合可轉(zhuǎn)換為2個(gè)圓柱體沿其母線的接觸，兩圓柱體的半徑分別與嚙合點(diǎn)大小齒輪的齒面曲率半徑相等?；谏鲜稣J(rèn)識，齒輪接觸的接觸應(yīng)力可近似用2個(gè)圓柱體接觸壓力公式計(jì)算［2］，即

式中：ZE為彈性影響系數(shù)，

E1，E2和 μ1， μ2分別為直齒輪副的彈性模量和泊松比，ZH為區(qū)域系數(shù)，

α為壓力角；b為齒寬；T為小齒輪所受扭矩；d1為小齒輪分度圓直徑；K為載荷系數(shù)，為使理論解與有限元解對比，而齒輪副模型屬靜力分析，故載荷系數(shù)取1；u為大小齒輪齒數(shù)比。

將本文各物理量數(shù)據(jù)代入式（1），計(jì)算得直齒輪副的最大接觸應(yīng)力為736.8 MPa，最大切應(yīng)力表達(dá)式為max為0.3σH，最大切應(yīng)力的理論解為221MPa。最大接觸應(yīng)力和最大切應(yīng)力的理論解與有限元解誤差很大。一般來說，小的接觸剛度會(huì)導(dǎo)致大的穿透深度，會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。增大接觸剛度來抵抗穿透，使有限元仿真結(jié)果更可靠。

5 不同接觸剛度的有限元分析結(jié)果

接觸分析中，接觸剛度的確定是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，尤其法向接觸剛度因子對計(jì)算的結(jié)果影響很大［3］。一般來講，首先預(yù)估低的接觸剛度，并檢查穿透，然后隨著增大接觸剛度接觸穿透不斷減小，接觸計(jì)算結(jié)果也就愈精確，直至接觸結(jié)果變化不大為止。表2為不同法向接觸剛度因子的有限元計(jì)算結(jié)果。由表2可知，接觸剛度增大，最大接觸應(yīng)力和最大切應(yīng)力在不斷增大。當(dāng)接觸剛度系數(shù)大于20時(shí)，計(jì)算時(shí)間和迭代次數(shù)明顯增加。本文取接觸剛度系數(shù)為20時(shí)為理想的接觸剛度。最大接觸應(yīng)力和最大切應(yīng)力的有限元解與理論解的計(jì)算誤差分別為2.9%和1.7%。

表2 不同接觸剛度的有限元分析結(jié)果

6 結(jié) 論

接觸剛度的確定是接觸分析的重點(diǎn)和難點(diǎn)，可采用數(shù)值遞推法確定合適的接觸剛度。

創(chuàng)建精細(xì)的齒輪接觸有限元模型，檢測誤差并不斷修正有限元模型，能使齒輪接觸問題的有限元解更可靠，比傳統(tǒng)赫茲理論近似計(jì)算更精確。

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