彭家寅

(1.四川省高等學校 數(shù)值仿真重點實驗室， 四川 內(nèi)江 641112；2.內(nèi)江師范學院 數(shù)學與信息科學學院, 四川 內(nèi)江 641112)

直覺模糊BCK-代數(shù)

彭家寅1,2

(1.四川省高等學校 數(shù)值仿真重點實驗室， 四川 內(nèi)江 641112；2.內(nèi)江師范學院 數(shù)學與信息科學學院, 四川 內(nèi)江 641112)

系統(tǒng)研究了作為Zadeh模糊理論重要擴展的Atanassov直覺模糊BCK-代數(shù). 首先,引入直覺模糊BCK-代數(shù)和它的水平代數(shù)的概念,討論了它們相關(guān)性質(zhì).其次,研究了直覺模糊BCK-代數(shù)的同態(tài)與同構(gòu)像和逆像的性質(zhì),獲得了直覺模糊BCK-代數(shù)的同態(tài)像和逆像仍為直覺模糊BCK-代數(shù).最后,給出了直覺模糊集上的直覺模糊關(guān)系、強直覺模糊關(guān)系的概念,對直覺模糊集的笛卡兒積進行了定義,揭示了直覺模糊BCK-代數(shù)與其積代數(shù)間的若干關(guān)系.

直覺模糊集; 直覺模糊BCK-代數(shù); 水平代數(shù); 直覺模糊關(guān)系; 笛卡兒積

0 引言

1986年保加利亞學者K.Atanassov[1]提出了直覺模糊集的概念,推廣并發(fā)展了L.A. Zadeh提出的模糊集概念.這種模糊集被提出之后,引起許多學者的濃厚興趣,人們針對這一基本理論,做了大量有意義的工作．文[2]給出了直覺模糊集的擴張原理,并討論了直覺模糊集的并、交等擴張運算;文[3]引入了直覺模糊集的<λ1,λ2>-截集的概念,建立了一系列分解定理、表現(xiàn)定理與擴張原理;K.Atanassov和G.Gargov[4]提出了直覺模糊邏輯的理論框架;H.Bustince和P.Burillo[5]提出直覺模糊關(guān)系和模糊鞅的理論;D.Coker[6]引入了直覺模糊拓撲空間的定義;文[7-9]則側(cè)重于代數(shù)方面研究,引入了直覺模糊群、直覺模糊環(huán)和直覺模糊域等概念,并在同態(tài)與同構(gòu)意義下,研究了它們的像和原像的結(jié)構(gòu)特征問題.1966年Y.Imai和K.Iseki[10]提出了BCK-代數(shù)的概念,O.G.Xi[11]應用了L.A. Zadeh提出的模糊集概念研究了模糊BCK-代數(shù).本文在考察Atanassov直覺模糊集與Zadeh模糊集之間關(guān)系的基礎(chǔ)上,引入直覺模糊BCK-代數(shù)和它的水平代數(shù)的概念,研究它們的相關(guān)關(guān)系和運算性質(zhì),討論了在同態(tài)與同構(gòu)意義下,直覺模糊BCK-代數(shù)的像和逆像的性質(zhì),給出了直覺模糊集的笛卡兒積概念,并把它歸結(jié)到直覺模糊關(guān)系上來刻畫直覺模糊BCK-代數(shù)與其積代數(shù)間性質(zhì).

1 預備知識

定義1.1[1]設(shè)X是一個非空經(jīng)典集合,稱形如

A={|0≤μA(x)+νA(x)≤1,x∈X}

的三重組為X上的一個直覺模糊集,其中μA:X→[0,1]和νA:X→[0,1]均為X上的普通模糊集,這里μA(x)和νA(x)分別表示X上元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度.

為了方便,以下我們將直覺模糊集A滿足的條件“0≤μA(x)+νA(x)≤1”省略,并簡記為A={|x∈X}.此外,我們用IFS[X]表示X上的所有直覺模糊集的全體構(gòu)成的集合.

定義1.2[1]設(shè)X是一個非空經(jīng)典集合,A,B∈IFS[X]且具有形式

A={|x∈X},B={|x∈X}.

規(guī)定序及運算如下:

1)A?B當且僅當μA(x)≤μB(x)且νA(x)≥νB(x),?x∈X;

2)A=B當且僅當μA(x)=μB(x)且νA(x)=νB(x),?x∈X;

3)Ac={|x∈X};

4)A∩B={|x∈X};

5)A∪B={|x∈X};

6)A={|x∈X};

其中Aj={|x∈X}∈IFS[X],j=1,2,…且J為指標集.

Ff(A){〈y,Ff(μA)(y),(νA)(y)〉|y∈Y},

定義1.4[3]設(shè)A∈IFS[X],λ1,λ2∈[0,1]且λ1+λ2≤1,稱集合

A〈λ1,λ2〉={x∈X|μA(x)≥λ1,νA(x)≤λ2},A〈λ1,λ2〉·={x∈X|μA(x)>λ1,νA(x)<λ2},

A〈λ1·,λ2〉={x∈X|μA(x)>λ1,νA(x)≤λ2},A〈λ1,λ2·〉={x∈X|μA(x)≥λ1,νA(x)<λ2}

分別為A的〈λ1,λ2〉-截集、〈λ1,λ2〉·-截集、〈λ1·,λ2〉-截集和〈λ1,λ2·〉-截集.

定義1.5[10]稱一個(2,0)型代數(shù)(X;*,0)為BCK-代數(shù),如果對任意x,y,z∈X,有

(i) ((x*y)*(x*z))*(z*y)=0,

(ii) (x*(x*y))*y=0,

(iii)x*x=0,

(iv) 0*x=0,

(v)x*y=y*x=0?x=y.

在任何一個BCK-代數(shù)X中,下列性質(zhì)成立:

1) (x*y)*z=(x*z)*y,

2)x*0=x.

BCK-代數(shù)X的一個非空子集S叫做X的一個子代數(shù),如果任意x,y∈S,都有x*y∈S.

2 直覺模糊BCK-代數(shù)

定義2.1 設(shè)A={|x∈X}∈IFS[X],如果對任意x,y∈X,有μA(x*y)≥μA(x)∧μA(y)且νA(x*y)≤νA(x)∨νA(y),則稱A為X的一個直覺模糊BCK-代數(shù),簡稱X的直覺模糊代數(shù).

定理2.1 設(shè)A為BCK-代數(shù)X的任一直覺模糊代數(shù),則對任意x∈X,有μA(0)≥μA(x)且νA(0)≤νA(x).

證明因為X為一個BCK-代數(shù),所以對任意x∈X有x*x=0,于是

μA(0)=μA(x*x)≥μA(x)∧μA(x)=μA(x),

νA(0)=νA(x*x)≤νA(x)∨νA(x)=νA(x).

定理2.2 設(shè)A為BCK-代數(shù)X的任一直覺模糊集合,A為X的直覺模糊代數(shù)的充分必要條件是對任意λ1,λ2∈[0,1],A〈λ1,λ2〉為X的子代數(shù)或空集.

證明必要性: 設(shè)x,y∈A〈λ1,λ2〉,則μA(x)≥λ1,μA(y)≥λ1,νA(x)≤λ2,νA(y)≤λ2.因A為X的直覺模糊代數(shù),所以μA(x*y)≥μA(x)∧μA(y)≥λ1且νA(x*y)≤νA(x)∨νA(y)≤λ2,于是x*y∈A〈λ1,λ2〉,故A〈λ1,λ2〉為X的子代數(shù).

1) 當μA(x0*y0)<λ1,μA(x0)>λ1且μA(y0)>λ1時,令λ=νA(x0)∨νA(y0),則νA(x0)≤λ且νA(x0)≤λ.因A為直覺模糊集,則λ1+λ≤μA(x0)+νA(x0)≤1或λ1+λ≤μA(y0)+νA(y0)≤1.于是x0,y0∈A〈λ1,λ〉,但x0*y0?A〈λ1,λ〉,這與A〈λ1,λ〉為X的子代數(shù)矛盾.

2) 當νA(x0*y0)>λ2,νA(x0)<λ2且νA(y0)<λ2時,令λ=μA(x0)∧μA(y0)∧(1-λ2),則μA(x0)≥λ,μA(y0)≥λ且λ+λ2≤1.從而x0,y0∈A〈λ,λ2〉,但x0*y0?A〈λ,λ2〉,

這與A〈λ,λ2〉為X的子代數(shù)矛盾.這樣就證明了充分性.

定理2.3 設(shè)A為BCK-代數(shù)X的任一直覺模糊代數(shù),則對任意x∈X,有

證明因為x*0=x,則對任意x∈X有

同理可證明余下部分.

命題2.4 設(shè)A為BCK-代數(shù)X的任一直覺模糊代數(shù),x1,x2,…,xn是X的任意n個元.如果在集合{x1,x2,…,xn}中至少有一個元xk等于x1,則對任意x∈X有

μA((…((x1*x2)*x3)…)*xn)≥μA(x),νA((…((x1*x2)*x3)…)*xn)≤νA(x).

證明對任意x,y,z∈X,有(x*y)*z=(x*z)*y,因此我們總可把xk交換到x2的位置上.應用x1*x1=0,0*xi=xi有

同理證明第二個關(guān)系式.

定義2.2 設(shè)A為BCK-代數(shù)X的任一直覺模糊代數(shù),子代數(shù)A〈λ1,λ2〉,λ1,λ2∈[0,1],叫做A的水平代數(shù).

定理2.5 BCK-代數(shù)X的任何子代數(shù)都可作為X的某些直覺模糊代數(shù)的一個水平代數(shù).

證明設(shè)S是BCK-代數(shù)X的任何一個子代數(shù),定義X上的三重組集A={〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈X}如下:

其中t和t′是(0,0.5)中的兩個固定的數(shù)且t+t′<1.顯然,0≤μA(x)+νA(x)≤1,因此A是X上的直覺模糊集且A〈t,t′〉=S.我們可以斷定A是X上的一個直覺模糊代數(shù).事實上,對任意x,y∈X,若x,y∈S,則x*y∈S,于是μA(x*y)=t=μA(x)∧μA(y),νA(x*y)=t′=νA(x)∨νA(y).若x?S或y?S,則μA(x)∧μA(y)=0≤μA(x*y),νA(x*y)≤1=νA(x)∨νA(y).總之,對任意x,y∈X,有μA(x*y)≥μA(x)∧μA(y)且νA(x*y)≤νA(x)∨νA(y).

定理2.6 設(shè)A為BCK-代數(shù)X的任一直覺模糊代數(shù),則A的兩個水平代數(shù)A〈λ1,λ2〉,A〈t1,t2〉(λ1t2)相等的充分必要條件是不存在x∈X使得λ1<μA(x)

證明對于λ1t2,假設(shè)A〈λ1,λ2〉=A〈t1,t2〉且存在x∈X使得λ1<μA(x)t2,所以A〈t1,t2〉?A〈λ1,λ2〉.若x∈A〈λ1,λ2〉,則λ1<μA(x)且νA(x)<λ2.因為μA(x)不在λ1與t1之間且νA(x)也不在t2與λ2之間,所以t1≤μA(x)且νA(x)≤t2,故x∈A〈t1,t2〉,從而A〈λ1,λ2〉?A〈t1,t2〉.

注： 如果X是有限BCK-代數(shù),則X的子代數(shù)的個數(shù)也是有限的,而BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù)A的水平代數(shù)形式上是無限的.因為水平代數(shù)也是X的子代數(shù),所以BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù)A的所有水平代數(shù)并不是互不相同的.作為定理2.6的結(jié)果,有限BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù)A的水平代數(shù)形成一個鏈.因為μA(0)≥μA(x)且νA(0)≤νA(x),記λ0=μA(0),t0=νA(0),所以有如下鏈:

A〈λ0,t0〉?A〈λ1,t1〉?…?A〈λm,tn〉=X,

這里λ0>λ1>…>λm,t0

定理2.7 設(shè)A和B均為BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù), 則A∩B是BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù).

證明設(shè)A={|x∈X},B={|x∈X},則按定義1.2,A∩B={|x∈X}.因為A和B為BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù),所以對任意x,y∈X,有μA(x*y)≥μA(x)∧μA(y)且νA(x*y)≤νA(x)∨νA(y),于是

μA∩B(x*y)=μA(x*y)∧μB(x*y)≥(μA(x)∧μA(y))∧(μB(x)∧μB(y))=

(μA(x)∧μB(x))∧(μA(y)∧μB(y))=μA∩B(x)∧μA∩B(y).

同理νA∩B(x*y)≤νA∩B(x)∨νA∩B(y).故A∩B是BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù).

定理2.9 設(shè)A為BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù),則A是BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù).

證明設(shè)A={|x∈X},則A={|x∈X},于是νA(x*y)1-μA(x*y)≤1-μA(x)∧μA(y)=(1-μA(x))∨(1-μA(y))=νA(x)∨νA(y),故A是BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù).

定理2.10 設(shè)A為BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù),則A是BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù).

證明設(shè)A={|x∈X},則A={|x∈X},所以μ(x*y)1-νA(x*y)≥1-νA(x)∨νA(y)=(1-νA(x))∧(1-νA(y))=μ(x)∧μ(y),故A是BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù).

注 按直覺模糊代數(shù)定義容易知道,對BCK-代數(shù)X的任意兩個直覺模糊代數(shù)A和B,不能推出Ac和A∪B是BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù).

3 直覺模糊BCK-代數(shù)的同態(tài)和同構(gòu)像與原像

定理3.1 設(shè)X,Y均為BCK-代數(shù),f:X→Y是同態(tài)映射.若A是BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù),則Ff(A)是BCK-代數(shù)Y的直覺模糊代數(shù).

情況(ii) 若f-1(y1)≠?且f-1(y2)≠?,若

Ff(μA)(y1*y2)

(1)

或

(2)

推論3.3 設(shè)X,Y均為BCK-代數(shù),f:X→Y是同態(tài)映射.則下列結(jié)論成立:

證明由推論1、定理1和定理2易證.

推論3.4 設(shè)X,Y均為BCK-代數(shù),f:X→Y是同態(tài)映射.則下列結(jié)論成立:

1) 若A為BCK-代數(shù)X的直覺模糊代數(shù),則Ff(A)和Ff(A)均為BCK-代數(shù)Y的直覺模糊代數(shù);

證明由定理2.9、定理2.10、定理3.1和定理3.2易證.

證明 任意x∈X,令f(x)=y,因f是同構(gòu)映射,所以f-1(y)={x},于是

4 直覺模糊BCK-代數(shù)的笛卡兒積

定義4.1[12]設(shè)X和Y為非空經(jīng)典集合.定義在直積空間X×Y上的直覺模糊集稱為從X到Y(jié)之間的二元直覺模糊關(guān)系.記為

R={〈(x,y),μR(x,y),νR(x,y)〉|x∈X,y∈Y},

其中μR:X×Y→[0,1]和νR:X×Y→[0,1]滿足條件0≤μR(x,y)+νR(x,y)〉≤1對任意(x,y)∈X×Y都成立.

若X=Y,則稱從X到Y(jié)之間的二元直覺模糊關(guān)系R為X上的直覺模糊關(guān)系.

定義4.2 設(shè)R={〈(x,y),μR(x,y),νR(x,y)〉|x,y∈X}是X上的直覺模糊關(guān)系,A={|x∈X}∈IFS[X].如果?x,y∈X有μR(x,y)≤μA(x)∧μA(y)且νR(x,y)≥νA(x)∨νA(y),則稱R為A上的直覺模糊關(guān)系.

引理4.1 設(shè)A={|x∈X}和B={|x∈X}都是X上的直覺模糊集.定義A與B的笛卡兒積A×B如下:

A×B={〈(x,y),μA×B(x,y),νA×B(x,y)〉|x,y∈X},

其中μA×B(x,y)=μA(x)∧μB(y),νA×B(x,y)=νA(x)∨νB(y).則A×B為X上的直覺模糊關(guān)系.

定理4.2 設(shè)A={|x∈X}和B={|x∈X}都是BCK-代數(shù)X上的直覺模糊代數(shù),則A×B為BCK-代數(shù)X×X上的直覺模糊代數(shù).

證明對任意(x,y)∈X×X,有μA(x*y)≥μA(x)∧μA(y),νA(x*y)≤νA(x)∨νA(y),μB(x*y)≥μB(x)∧μB(y)和νB(x*y)≤νB(x)∨νB(y).于是對任意(x,y),(x′,y′)∈X×X,有

μA×B((x,y)*(x′,y′))=μA×B(x*x′,y*y′)=μA(x*x′)∧μB(y*y′)≥

(μA(x)∧μA(x′))∧(μB(y)∧μB(y′))≥(μA(x)∧μB(y))∧(μA(x′)∧μB(y′))=

μA×B(x,y)∧μA×B(x′,y′).

類似可證,νA×B((x,y)*(x′,y′))≤νA×B(x,y)∨νA×B(x′,y′).故A×B為BCK-代數(shù)X×X上的直覺模糊代數(shù).

定理4.3 設(shè)A={|x∈X}和B={|x∈X}都是BCK-代數(shù)X上的直覺模糊集,如果A×B為BCK-代數(shù)X×X上的直覺模糊代數(shù),則

1)?x∈X,有μA(0)≥μA(x)或μB(0)≥μB(x);

2)?x∈X,有νA(0)≤νA(x)或νB(0)≤νB(x);

3)?x∈X,有μB(0)≥μA(x)或μB(0)≥μB(x);

4)?x∈X,有νB(0)≤νA(x)或νB(0)≤νB(x);

5)?x∈X,有μA(0)≥μA(x)或μA(0)≥μB(x);

6)?x∈X,有νA(0)≤νA(x)或νA(0)≤νB(x);

7) 若任意x∈X,μA(0)≥μB(x)且νA(0)≤νB(x),則B是BCK-代數(shù)X上的直覺模糊代數(shù);

8) 若任意x∈X,μB(0)≥μA(x)且νB(0)≤νA(x),則A是BCK-代數(shù)X上的直覺模糊代數(shù).

證明1) 若存在x,y∈X,使得μA(0)<μA(x)且μB(0)<μB(y),于是μA×B(x,y)=μA(x)∧μB(y)>μA(0)∧μB(0)=μA×B(0,0).由定理2.1知,這與A×B為直覺模糊代數(shù)相矛盾.

3) 若存在x,y∈X使得μB(0)<μA(x)且μB(0)<μB(y),則μA×B(x,y)=μA(x)∧μB(y)>μB(0)∧μB(0)=μB(0)≥μA(0)∧μB(0)=μA×B(0,0),由定理2.1知,這與A×B為直覺模糊代數(shù)相矛盾.

4) 若存在x,y∈X使得νB(0)>νA(x)且νB(0)>νB(y),則νA×B(x,y)=νA(x)∨

νB(y)<νB(0)∨νB(0)=νB(0)≤νA(0)∨νB(0)=νA×B(0,0),由定理2.1知,這與A×B為直覺模糊代數(shù)相矛盾.

2) 5) 6)的證明分別類似1) 3) 4).

7) 對任意x∈X,μA(0)≥μB(x),由于A×B為直覺模糊代數(shù),所以μA×B((x,y)*(x′,y′))≥μA×B(x,y)∧μA×B(x′,y′),即μA×B(x*x′,y*y′)≥μA×B(x,y)∧μA×B(x′,y′),所以μA(x*x′)∧μB(y*y′)≥μA(x)∧μB(y)∧μA(x′)∧μB(y′).令x=x′=0,于是μA(0)∧μB(y*y′)≥μA(0)∧μB(y)∧μA(0)∧μB(y′),即μB(y*y′)≥μB(y)∧μB(y′).

又任意x∈X有νA(0)≤νB(x),注意到A×B為直覺模糊代數(shù)有

νA×B((x,y)*(x′,y′))≤νA×B(x,y)∨νA×B(x′,y′),

即νA×B(x*x′,y*y′)≤νA×B(x,y)∨νA×B(x′,y′),所以νA(x*x′)∨νB(y*y′)≤νA(x)∨νB(y)∨νA(x′)∨νB(y′).令x=x′=0,則νA(0)∨νB(y*y′)≤νA(0)∨νB(y)∨νA(0)∨νB(y′),即νB(y*y′)≤νB(y)∨νB(y′).

綜上所述,B是BCK-代數(shù)X上的直覺模糊代數(shù).

8) 類似于7)的證明可以得到結(jié)果.

定義4.3 設(shè)R={〈(x,y),μR(x,y),νR(x,y)〉|x,y∈X}是X上的直覺模糊關(guān)系,A={|x∈X}∈IFS[X].如果?x,y∈X有μR(x,y)=μA(x)∧μA(y)且νR(x,y)=νA(x)∨νA(y),則稱R為A上的強直覺模糊關(guān)系.

定理4.4 設(shè)A={|x∈X}是BCK-代數(shù)X上的直覺模糊子集,R={〈(x,y),μR(x,y),νR(x,y)〉|x,y∈X}是X上的強直覺模糊關(guān)系,則A為BCK-代數(shù)X上的直覺模糊代數(shù)當且僅當R為BCK-代數(shù)X×X上的直覺模糊代數(shù).

證明必要性:對任意(x,y),(x′,y′)∈X×X,因A為直覺模糊代數(shù),所以

μR((x,y)*(x′,y′))=μR(x*x′,y*y′)=μA(x*x′)∧μA(y*y′)≥

μA(x)∧μA(x′)∧μA(y)∧μA(y′)=

(μA(x)∧μA(y))∧(μA(x′)∧μA(y′))=μR(x,y)∧μR(x′,y′).

類似地有νR((x,y)*(x′,y′))≤νR(x,y)∨νR(x′,y′),故R為BCK-代數(shù)X×X上的直覺模糊代數(shù).

充分性: 因R為直覺模糊代數(shù),對任意(x,y),(x′,y′)∈X×X,有

μR((x,y)*(x′,y′))≥μR(x,y)∧μR(x′,y′),

即

μA(x*x′)∧μA(y*y′)≥μA(x)∧μA(x′)∧μA(y)∧μA(y′).

令y=x且x′=y′,則μA(x*x′)≥μA(x)∧μA(x′).同理可以證明,νA(x*x′)≤νA(x)∨νA(x′).故A為BCK-代數(shù)X上的直覺模糊代數(shù).

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[責任編輯：李春紅]

IntuitionisiticFuzzyBCK-algebras

PENG Jia-yin

(1.Key Laboratory of Numerical Simulation of Sichuan Provice, Neijiang Sichuan 641112, China) (2.School of Mathematics and Information Science, Neijiang Normal University, Neijiang Sichuan 641112, China)

The problems of intuitionistic fuzzy BCK-algebras on intuitionisitic fuzzy sets by Atanassov, which is a significant extension of fuzzy set theory by Zadeh, are systemically investigated. At first, the notions of intuitionistic fuzzy BCK-algebras and its level algebras are introduced, and their properties are discussed. The next, some properties of the homomorphic (isomorphic) image and inverse image of intuitionistic fuzzy BCK-algebras are studied, it is obtained that the homomorphic (isomorphic) image and inverse image of intuitionistic fuzzy BCK-algebras are still intuitionistic fuzzy BCK-algebras. Lastly, the notions of intuitionistic fuzzy relation, strongest intuitionistic fuzzy relation and Cartesian product of intuitionisitic fuzzy sets are given, some relations between intuitionistic fuzzy BCK-algebras and its product algebras are exposed.

intuitionisitic fuzzy set; intuitionistic fuzzy BCK-algebra; level algebra; intuitionistic fuzzy relation; Cartesian product

O159

A

1671-6876(2011)04-0296-08

2010-12-05

四川省科技廳重點資助項目(2006J13-035)； 四川省教育廳重點實驗室專項資助項目(2006ZD050)

彭家寅(1962-), 男, 四川資中人, 教授, 主要從事模糊數(shù)學與人工智能方面的研究.