賈會(huì)才，劉付軍

(河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系，河南 鄭州 451191)

(1)c=0.任何一個(gè)等距浸入到En+1中的En的完備流形Mn都是通過一平面曲線建立的n維柱面，即Mn=En-1×C,其中C是正交于En-1的平面上一條曲線.這是Hartman和Nirenberg中的結(jié)果[1]，n=2的情形見Massey[2].

定理1 上述浸入的Gauss曲率K是常數(shù)的充分必要條件為

其中,0

定理2 設(shè)M2={(cosht)b(s)+(sinht)Z(s)，s，t∈R},則M2是等距浸入f∶H2→H3的像，且f的主曲率為:

1 一類常Gauss曲率曲面

由映射F我們可知

Fθ=(-rsinθ，rcosθ，0，0).

因此,映射F定義了一個(gè)從R2到H3(-1)的等距浸入，其誘導(dǎo)度量為:

下面我們來看F的單位法向量ξ.

設(shè)ξ=(A,B,C,D),顯然

<ξ,Fr>=0=<ξ,Fθ>=<ξ,F>=0.

由<ξ,Fr>=0知

由<ξ,Fθ>=0知

A(-rsinθ)+B(rcosθ)=0;

由<ξ,F>=0知

又因?yàn)棣问菃挝环ㄏ蛄?，?/p>

A2+B2+C2-D2=1.

聯(lián)立以上4個(gè)式子，解之得:

則所求的單位法向量ξ為:

由兩個(gè)切向量Fr,Fθ我們可知:

Fθθ=(-rcosθ,-rsinθ,0,0),

Frθ=(-sinθ,-cosθ,0,0)=Fθr.

則:

h12==0=h21.

則浸入F的主曲率為：

且其Gauss曲率為

由Gauss方程R1212=-1+K可知

又因?yàn)镵是常數(shù)，兩邊積分得

因?yàn)樯鲜綄θ我獾膔都成立，且式子右邊恒大于0，故K<0，c>0.

所以

其中，0

注記：上述浸入的主曲率是有界的.

2 一類無界主曲率曲面

(s，t)∈R2→x(s，t)∈H2(c),

其中，x(x，t)=(cosht)a(s)+(sinht)Y(s)，容易證明這個(gè)映射是從R2到H2(c)的微分同胚,所以我們給出了H2(c)上的一個(gè)整體坐標(biāo)系(s，t).

xt(xs)=-xs.

由于xs,xt可交換，我們也有

xs(xt)=-xs.

假設(shè)第二基本形式A滿足

其中，λ=λ(s，t)是一個(gè)合適的函數(shù).Codazzi方程應(yīng)該被滿足：

xs(A(xt))=xt(A(xs)).

即

所以，λ(s，t)與s無關(guān)，且

解之得

所以主曲率為:

由H3中曲面的基本定理可知，存在一個(gè)從H2(c)到H3(-1)的等距浸入，且以k1,k2為其主曲率，顯然兩個(gè)主曲率均為無界的.

且

定理2得證.

3 結(jié)語

以上是本文尋找的雙曲空間中主曲率有界和無界的顯示的例子，這些結(jié)論為今后這方面的研究提供了一個(gè)很好的現(xiàn)實(shí)依據(jù).

參考文獻(xiàn)：

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