李會(huì)序，王雪梅

(河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系，河南 鄭州 451191)

復(fù)數(shù)是人們在16世紀(jì)解代數(shù)方程時(shí)引入的，在17世紀(jì)和18世紀(jì)，隨著微積分的發(fā)展，人們開始研究復(fù)變數(shù)函數(shù)，特別是把實(shí)變數(shù)初等函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形，得到了一些重要結(jié)果.復(fù)變函數(shù)論是在19世紀(jì)奠定的理論基礎(chǔ),它的主要研究對象是復(fù)數(shù)域上的解析函數(shù)，通常也稱復(fù)變函數(shù)論為解析函數(shù)論[1].

在黎曼的博士論文中引入了“黎曼曲面”的概念，人們從此開始關(guān)注拓?fù)鋵W(xué)與分析學(xué)之間的關(guān)系.同時(shí)，黎曼又澄清了對解析函數(shù)所下的定義：其實(shí)部與虛部在已知界域內(nèi)滿足柯西-黎曼方程

并且進(jìn)一步滿足某些邊界與奇點(diǎn)條件.這樣,就有了解析函數(shù)的定義，復(fù)變函數(shù)論才真正建立起來.

復(fù)變函數(shù)論的核心理論是解析函數(shù)論，而判斷一個(gè)函數(shù)是否解析的一個(gè)非常重要的條件是柯西-黎曼方程，所以研究柯西-黎曼方程及其等價(jià)形式就十分必要.隨著復(fù)變函數(shù)的發(fā)展，解析函數(shù)又有了幾種等價(jià)定義，例如:

定義1[2]如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都可微，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，f(z)為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù).

定義2[2]如果函數(shù)f(z)在D內(nèi)任一點(diǎn)z0的某鄰域內(nèi)可展開成冪級數(shù)

則稱f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù).

定義3[2]函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是在區(qū)域D內(nèi)函數(shù)v(x,y)是u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).

解析函數(shù)的等價(jià)定義還有很多，這里不再一一贅述，本文主要通過柯西-黎曼方程的變形得到了一種新的解析性判定定理，并將其推廣到了多元復(fù)分析中.

1 單復(fù)變中的柯西—黎曼方程的等價(jià)命題

引理1 函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z=x+iy處解析的充分必要條件是u(x,y)及v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，且滿足柯西-黎曼方程

例1 證明f(z)=z在整個(gè)復(fù)平面上解析.

證明設(shè)z=x+iy，則f(z)=x+iy，u(x,y)=x，v(x,y)=y.

例2 判斷f(z)=|z|2在復(fù)平面上的解析性.

解設(shè)z=x+iy，則f(z)=x2+y2，u(x,y)=x2+y2，v(x,y)=0,

所以,f(z)僅在點(diǎn)z=0處滿足柯西-黎曼條件，故f(z)=|z|2僅在z=0處可導(dǎo)，但在復(fù)平面上處處不解析.

下面,我們給出一種新的復(fù)變函數(shù)解析性判定定理.

定理1 設(shè)函數(shù)f(z)在某一區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么它在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是

(1)

2 在多復(fù)變中的推廣

(2)

其中,f=u+iv，zα=xα+iyα.因此，函數(shù)在黎曼意義下在z0全純，如果它在這點(diǎn)的某一鄰域分別對每一個(gè)變量全純(當(dāng)固定其余變量時(shí)).

即若f(x，y)是實(shí)變量x，y的有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則定義

因此,柯西-黎曼方程可表示為

我們得到柯西-黎曼方程在多復(fù)變函數(shù)的推廣.

定理2 函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)是連續(xù)的，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是：

定理2的證明參照定理1的證明，證明思路相同，這是不具體闡述.用定理2來判斷一個(gè)多元復(fù)變函數(shù)是否解析，一般是大家更愿意用的.

參考文獻(xiàn)：

[1] Dirk J, Struik. A Concise History of Mathematics [M].New York:Dover Publications, 1967.

[2] 潘傳中.解析函數(shù)的幾種定義及其關(guān)系[J]. 四川文理學(xué)院學(xué)報(bào),2010,20(2):1-3.

[3] 鐘同德,黃沙.多復(fù)變函數(shù)[M].石家莊：河北教育出版社,1990：3.

[4] Henkin G M,Leiterer J.Theory of Functions on Complex Manifolds[M].Berlin: Akademie-Verlag Berlin and Birkhauser-Verlag Boston, 1984.