褚永輝 王大軼 黃翔宇

（1北京控制工程研究所，北京100190）（2空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190）

1 引言

脈沖星自主導(dǎo)航是近年來國內(nèi)外廣泛研究的熱點(diǎn)［1］。根據(jù)信號輻射頻段和能譜的不同，脈沖星分為不同的類型。其中，X射線脈沖星具有穩(wěn)定的周期，且信號利于輕小型敏感器檢測，因此，X射線脈沖星成為脈沖星導(dǎo)航的首選觀測對象［2］。由于觀測手段的限制，目前，特征參數(shù)準(zhǔn)確、能夠提供導(dǎo)航信息的X射線脈沖星并不多。如何在為數(shù)不多的脈沖星中根據(jù)探測任務(wù)的需要選取最優(yōu)的導(dǎo)航脈沖星成為一個(gè)關(guān)鍵問題。

在X射線脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)中，基本觀測量是脈沖到達(dá)時(shí)間（Time of Arrival，TOA），航天器通過同一脈沖到達(dá)航天器和太陽系質(zhì)心（Solar System Barycenter，SSB）的時(shí)間之差（Time Difference of Arrival，TDOA）來確定軌道。根據(jù)誤差協(xié)方差分析方法，影響導(dǎo)航誤差的因素有導(dǎo)航目標(biāo)空間幾何位置分布和測量誤差。TDOA轉(zhuǎn)換成距離就是探測器的位置矢量在脈沖星方向上的投影，與脈沖星和航天器的位置關(guān)系密切相關(guān)，因此脈沖星的空間分布勢必會影響導(dǎo)航誤差。同時(shí)，脈沖星導(dǎo)航的間接觀測量是通過測量脈沖輪廓和標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓對比獲得的，測量脈沖輪廓又是通過對光子的時(shí)間序列經(jīng)過歷元折疊得到，因此光子的測量誤差直接影響測量脈沖輪廓的精度，所以導(dǎo)航觀測量的獲取還與光子測量誤差直接相關(guān)。

目前，對于脈沖星導(dǎo)航的研究主要集中在導(dǎo)航原理方面［2-3］，而對導(dǎo)航脈沖星組合優(yōu)選問題的研究較少。文獻(xiàn)［4］利用誤差協(xié)方差評價(jià)脈沖星絕對和相對定位精度，并假設(shè)各脈沖星測量噪聲相同，而在實(shí)際觀測中這一假設(shè)很難成立。文獻(xiàn)［5］初步研究了脈沖星的選取，但僅考察了噪聲的影響，對脈沖星空間分布的影響并沒有說明。

本文研究了X射線脈沖星導(dǎo)航中導(dǎo)航脈沖星的優(yōu)選問題，結(jié)合誤差協(xié)方差法，提出了導(dǎo)航脈沖星組合優(yōu)選方法。首先介紹了X射線脈沖星導(dǎo)航原理和測量噪聲特性，分析指出影響測量噪聲的主要因素是敏感器有效面積和觀測時(shí)間。然后在誤差協(xié)方差分析的基礎(chǔ)上，提出了脈沖星組合優(yōu)選方法：當(dāng)假設(shè)脈沖星測量噪聲相同時(shí)，給出了只與空間位置分布有關(guān)的位置精度因子（Positioning Dilution of Precision，PDOP）優(yōu)選指標(biāo)；對脈沖星測量噪聲存在差異的情況，綜合考慮了噪聲差異和空間分布的影響，給出了脈沖星優(yōu)選指標(biāo)（Pulsars Selet Criteria，PSC）。最后以深空探測火星環(huán)繞段為背景，仿真驗(yàn)證了優(yōu)選方法的有效性。

2 X射線脈沖星的測量噪聲特性

基于X射線脈沖星的導(dǎo)航原理是通過測量X射線脈沖星信號到達(dá)探測器和到達(dá)太陽系質(zhì)心的時(shí)間之差來確定探測器相對于SSB的位置。脈沖星導(dǎo)航的基本觀測量是脈沖光子TOA，該信號通過安裝在航天器上的X射線敏感器測量得到。

考慮到相對論效應(yīng)的影響和采用X射線敏感器測量TOA的局限性，TOA觀測量可通過如下簡化的時(shí)間轉(zhuǎn)換方程［5］描述：

式中tsc表示光子到達(dá)航天器的時(shí)間；tb表示同一脈沖光子到達(dá)SSB的時(shí)間；n表示SSB指向脈沖星的單位矢量，稱為視線矢量；rs表示航天器相對于SSB的位置；c表示光速；D0表示脈沖星到SSB的距離；b為SSB相對于太陽質(zhì)心的位置矢量；μs為太陽引力常數(shù)；δt表示星鐘漂移產(chǎn)生的偏差；vt表示測量噪聲。本文暫不考慮星鐘偏差影響。

當(dāng)脈沖星輻射的X射線光子進(jìn)入敏感器視場時(shí)，光子計(jì)數(shù)器記錄X射線光子數(shù)量和能量，并利用星載時(shí)鐘標(biāo)記光子TOA。但是，通過單個(gè)光子TOA并不能獲取脈沖星的基本特征信息，需要將TOA轉(zhuǎn)換到太陽系質(zhì)心參考系中，經(jīng)過信號處理過程，才能得到觀測時(shí)間內(nèi)的脈沖輪廓曲線［6］，稱為測量脈沖輪廓曲線，通過該曲線才能得到所觀測量脈沖星的導(dǎo)航信息。由此可以看出，脈沖信號的測量誤差是決定導(dǎo)航性能的關(guān)鍵因素，如何提高TOA測量精度成為脈沖星導(dǎo)航的關(guān)鍵。TOA測量精度不僅與探測器本身特性有關(guān)，還與所觀測脈沖星的固有特性、探測系統(tǒng)噪聲和信號處理方法等因素有關(guān)。

當(dāng)航天器對某一脈沖星觀測時(shí)，TOA觀測量的測量噪聲方差為

式中W表示脈沖寬度；S／N表示信噪比；Fx表示光子輻射流量；FB表示背景輻射光子流量；pf表示輻射源的占空比；A表示敏感器有效觀測面積；T為觀測時(shí)間；d為脈沖寬度比。

由式（3）可以看出，增加敏感器有效觀測面積和提高觀測時(shí)間均能提高TOA測量精度。但是，延長觀測時(shí)間會增加測量延遲對觀測量的影響，加大敏感器觀測面積勢必會增加品質(zhì)，因此這兩項(xiàng)指標(biāo)均不能無限制增加。

3 最優(yōu)導(dǎo)航脈沖星組合選取方法

根據(jù)脈沖星導(dǎo)航原理可知，觀測1顆脈沖星可以確定航天器位于垂直脈沖星方向矢量的平面內(nèi)；觀測2顆脈沖星時(shí)，可以確定航天器位于垂直于兩個(gè)脈沖星方向矢量的平面交線上，只有觀測3顆以上脈沖星才能唯一確定航天器的位置。下面研究3顆以上導(dǎo)航脈沖星組合的優(yōu)選方法。

3.1 測量噪聲相同的情況

由于觀測條件的限制，某些脈沖星的特征參數(shù)仍不準(zhǔn)確。當(dāng)所觀測脈沖星的信號品質(zhì)較差且參數(shù)不準(zhǔn)確時(shí)，測量噪聲不易計(jì)算，此時(shí)則假設(shè)所觀測脈沖星測量誤差相同，即＝σ2。下面研究測量誤差相同時(shí)的優(yōu)選指標(biāo)。

假設(shè)某時(shí)刻航天器觀測到m顆脈沖星，其導(dǎo)航原理如圖1所示，PSR表示脈沖星。

以脈沖TDOA為觀測量，僅考慮一階情況，觀測方程為

圖1 m顆脈沖星導(dǎo)航原理圖Fig.1 Principle of mpulsars navigation

設(shè)狀態(tài)向量r＝［x，y，z，cδt］T，則最小二乘馬爾科夫估計(jì)誤差協(xié)方差陣為

類似GPS，定義PDOP為脈沖星優(yōu)選指標(biāo)

即

由式（7）可以看出PDOP的數(shù)學(xué)意義：左側(cè)的平方根項(xiàng)給出了脈沖星導(dǎo)航估計(jì)位置誤差的總特征，PDOP作為幾何因子，可以看作是從觀測量中的測量誤差到狀態(tài)估計(jì)誤差的線性映射，代表從測量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差σ到估計(jì)值的放大倍數(shù)。由PDOP定義可知，PDOP越小，導(dǎo)航誤差越小，因此應(yīng)該選取PDOP較小的脈沖星組合。

3.2 測量噪聲不同的情況

當(dāng)所觀測脈沖星的信號品質(zhì)較好且特性參數(shù)較準(zhǔn)確時(shí)，測量噪聲可以通過式（2）計(jì)算，觀測不同的脈沖星時(shí)測量噪聲會有差異。此時(shí)影響導(dǎo)航誤差的因素不僅僅是脈沖星空間分布，測量噪聲的差異也會對導(dǎo)航精度產(chǎn)生影響。因此，進(jìn)行導(dǎo)航脈沖星組合篩選時(shí)應(yīng)該綜合考慮測量噪聲差異和脈沖星空間位置分布對導(dǎo)航誤差的影響。下面給出優(yōu)選脈沖星組合指標(biāo)。

當(dāng)脈沖星觀測噪聲不相同時(shí)，誤差協(xié)方差陣為

當(dāng)觀測m顆脈沖星時(shí)，定義導(dǎo)航脈沖星組合優(yōu)選指標(biāo)PSC為

由定義可以看出，PSC越大，誤差協(xié)方差陣的跡越小，導(dǎo)航誤差小。PSC指標(biāo)綜合考慮了導(dǎo)航脈沖星空間分布和測量噪聲差異的影響。

4 數(shù)學(xué)仿真

從脈沖星星表庫中篩選出信號品質(zhì)較好的25顆脈沖星［4］作為備選脈沖星，仿真驗(yàn)證優(yōu)選方法的有效性。備選脈沖星如表1所示。

表1 備選導(dǎo)航脈沖星Tab.1 Selected navigation pulsars

以火星環(huán)繞段為背景進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真。X射線敏感器每600s獲得一次脈沖星觀測量，當(dāng)敏感器無測量數(shù)據(jù)時(shí)導(dǎo)航濾波器僅預(yù)測。

仿真條件：

1）起始時(shí)間：2007-07-01 12∶00∶00.000，2007-07-03 12∶00∶00.000。

2）坐標(biāo)系選擇火星慣性坐標(biāo)系。

3）所用軌道參數(shù)：a＝6 794km，e＝0，i＝45°，w＝0，Ω＝0，f＝0。

4）初始位置（4 574.075，5 023.571，0）km，初始速度（-0.255，0.232，2.487）m／s。

5）初始位置誤差50km，初始速度誤差5m／s。

6）濾波模型建模誤差：Q＝diag［0 0 0 10-210-210-2］。

真實(shí)軌道由STK產(chǎn)生，考慮火星形狀、太陽輻射光壓以及太陽和火衛(wèi)星第三體攝動，濾波模型僅考慮火星引力，采用式（1）作為觀測方程。導(dǎo)航濾波算法采用擴(kuò)展卡爾曼濾波。

下面仿真驗(yàn)證觀測3顆脈沖星時(shí)優(yōu)選方法的有效性。從表1中選擇3顆導(dǎo)航脈沖星，有種組合，分別計(jì)算PDOP值，測量噪聲均方差取1 000ms。PDOP值最小的一組記為A組，最大的一組記為B組，選取結(jié)果如表2所示。

數(shù)學(xué)仿真結(jié)果如表3所示。

表2 PDOP指標(biāo)選取結(jié)果Tab.2 Result based on PDOP

表3 導(dǎo)航濾波結(jié)果比較 （A組、B組）Tab.3 Estimate result comparison

通過仿真結(jié)果可以看出，采用B組脈沖星組合仿真時(shí)導(dǎo)航誤差明顯變大。

下面給出考慮測量噪聲差異時(shí)的仿真結(jié)果。以PSC為指標(biāo)，優(yōu)選3顆脈沖星，分別計(jì)算PSC值，測量誤差用式（2）計(jì)算，這里取敏感器有效觀測面積A＝1m2，觀測時(shí)間T＝600s。PSC值最小的一組記為C組，最大的一組記為D組，選取結(jié)果如表4所示。

由PSC計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)考慮測量噪聲差異后，PSC指標(biāo)變化明顯，導(dǎo)航誤差有較大變化。數(shù)學(xué)仿真結(jié)果如表5所示。

表4 PSC指標(biāo)選取結(jié)果Tab.4 Result based on PSC

表5 導(dǎo)航濾波結(jié)果比較 （C組、D組）Tab.5 Estimate result comparison

由仿真結(jié)果可以看出，D組脈沖星組合的導(dǎo)航誤差非常大，甚至不能完成導(dǎo)航任務(wù)。

當(dāng)導(dǎo)航脈沖星數(shù)量增加到4顆時(shí)，選取最優(yōu)的脈沖星組合為（9，12，15，24），PSC＝1.87×10-6，該值比C組PSC小，即導(dǎo)航誤差比選擇3顆導(dǎo)航脈沖星時(shí)的最優(yōu)組合PSC還要小。究其原因是增加導(dǎo)航脈沖星雖然提高了幾何約束，但與此同時(shí)也增加了測量噪聲。綜上所述，在進(jìn)行導(dǎo)航脈沖星規(guī)劃選取時(shí)，如果已知觀測脈沖星測量噪聲，那么并非觀測脈沖星數(shù)量越多越好，而是應(yīng)該節(jié)約有限資源，選擇信號品質(zhì)好、空間位置分布好的少數(shù)脈沖星進(jìn)行觀測。

5 結(jié)束語

X射線脈沖星導(dǎo)航中，航天器通過觀測X射線脈沖星信號獲得觀測量TOA。導(dǎo)航脈沖星的空間分布和測量噪聲與導(dǎo)航精度直接相關(guān)。本文研究了導(dǎo)航脈沖星組合選取方法，分別在測量噪聲相同和不同的情況下定義了優(yōu)選指標(biāo)PDOP和PSC，并給出了優(yōu)選方法：當(dāng)所觀測脈沖星特征參數(shù)不準(zhǔn)確時(shí)，不考慮測量噪聲差異的影響，以PDOP為指標(biāo)，PDOP指標(biāo)越小，則脈沖星空間分布越好，導(dǎo)航誤差越?。划?dāng)脈沖星特征參數(shù)準(zhǔn)確時(shí)，綜合考慮脈沖星空間幾何分布和噪聲差異的影響，PCS指標(biāo)越大，導(dǎo)航誤差越小，此時(shí)選取的導(dǎo)航脈沖星組合為最優(yōu)。

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