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(菱湖中學(xué) 浙江湖州 313018)

復(fù)習(xí)課貴在例題的精心設(shè)計

●俞永鋒

(菱湖中學(xué) 浙江湖州 313018)

對于數(shù)學(xué)學(xué)科的高考備考復(fù)習(xí)，例題教學(xué)顯得尤為重要，因為它貫穿著整個數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，許多教學(xué)的重點、難點以及學(xué)生不太明白的知識點、易錯點等都需要通過例題教學(xué)來強調(diào)、落實.因此，如何設(shè)計復(fù)習(xí)課的例題就成了每位數(shù)學(xué)教師所關(guān)注的一項基本工作，它直接關(guān)系著整個復(fù)習(xí)的有效性.筆者結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)歷，反思復(fù)習(xí)課中例題設(shè)計需要注意的幾個問題，與同行探討，不當之處，請不吝賜教.

1 要注意針對性，體現(xiàn)“補償性”

我們知道復(fù)習(xí)課的一個主要目的是“查漏補缺”，需針對性地對學(xué)生較薄弱的概念性、知識性和方法性模塊進行“補償性”教學(xué)，以鞏固“雙基”，提高教學(xué)的有效性.因此在復(fù)習(xí)課例題的設(shè)計上要注意針對性.

案例1筆者在函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的復(fù)習(xí)課上，先設(shè)置了下面2個小題.

(1)若函數(shù)f(x)=x3+x2-ax在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________;

解(1)f′(x)=3x2+2x-a≥0在區(qū)間[2,4]上恒成立，則

f′(x)min=f′(4)=16-a≥0，

解得a≤16.經(jīng)檢驗，當a=16時也符合題意，故a≤16.

設(shè)置這2個小題的原因是，平時在批改作業(yè)與練習(xí)卷時，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對以上類型的題目在求解上有2種觀點.一種觀點認為：函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，則導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒大于(小于)0；另一種觀點認為：導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上應(yīng)大于(小于)等于0.筆者經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)其原因有新授課時對此類問題對比辨析教學(xué)的不到位,也有學(xué)生在閱讀教材時，將“導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上大于(小于)0，則函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)遞增(減)”，從而誤認為逆命題也必成立.

通過這2個小題，結(jié)合圖像，完善此類問題的求解策略及注意點，函數(shù)f(x)在區(qū)間D上遞增(減)，則f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區(qū)間D上恒成立，并需對f′(x)=0的參數(shù)值進行檢驗，即判斷此參數(shù)值是否使f′(x)在此區(qū)間上恒等于0.若是，則不符合.因為f′(x)=0恒成立，表示f(x)為常數(shù)函數(shù)，不具有嚴格的單調(diào)性；若此參數(shù)值只是使f′(x)在離散的一些點上等于0，則不影響f(x)的單調(diào)性，此參數(shù)值可取.

在復(fù)習(xí)課上，要讓學(xué)生注意概念的形成過程，對概念要從多角度、多方位、深層次地理解，掌握其各種等價的表達形式.在新授課時，概念教學(xué)一般從正面入手，這是必需的，但也容易使學(xué)生的認識帶有片面性.針對這種情形，在復(fù)習(xí)課時，教師可有意識地精心安排易錯案例，從不同角度全面透徹地理解概念.

2 要注意試題與例題的差異性，體現(xiàn)情景的“可能性”

筆者在復(fù)習(xí)課的研究活動中聽了多節(jié)單元復(fù)習(xí)課和高三復(fù)習(xí)課.在聽課中，筆者發(fā)現(xiàn)多個相同的例題在單元復(fù)習(xí)課和高三復(fù)習(xí)課中同時出現(xiàn)，還有不少例題非常熟悉，都是沒有經(jīng)過任何修改的歷年高考題、調(diào)研題或某練習(xí)題.這種純“拿來主義”的做法是否恰當?試題和例題在概念和內(nèi)涵上是否一致?對一個知識板塊的復(fù)習(xí)課，是否需要通過頻換例題才能達到鞏固的目的?這些都是平時所應(yīng)關(guān)注的.

試題與例題之間存在著功能差異.試題體現(xiàn)的是考查功能，是抽查.因此，作為試題不可能也不必要做到面面俱到，它往往側(cè)重于對某一知識、某一技能或某一思想方法的考查，帶有一定的“片面性”.而復(fù)習(xí)課中的例題承載的是復(fù)習(xí)與鞏固、查漏與補缺的功能，并需具有一定的預(yù)見性，體現(xiàn)“高效性”、“低碳性”與“完整性”.

案例2若對任意的x∈[1,3],使得x2+(1-a)x-a+2≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].

此題有2種基本求解策略：主元法即分類討論法和參變分離法.

其實，我們只需簡單地對區(qū)間稍加改變，就會收到意想不到的效果.

改編若對任意的x∈[-2,0]，使不等式x2+(1-a)x-a+2≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為[-4,2].

如上改編后，不僅完善了參變分離法的可能情景，使解法更具有一般性.并且在完成解題教學(xué)后，可及時對最后結(jié)果取“交集”和“并集”的不同展開探討.

方法2在參變分離時，以x+1是否為0、是否正負對區(qū)間[-2,0]分3個部分求解，每一種情形只在所討論的區(qū)間上原不等式恒成立，只有在完成三步的討論后，原不等式才滿足在整個區(qū)間[-2,0]上恒成立，是分步思想，最終結(jié)果取“交”集.

通過此例，不僅使學(xué)生鞏固了2種基本的求解策略，而且很好地滲透了分類與分步的數(shù)學(xué)思想.

復(fù)習(xí)課安排的例題既要體現(xiàn)解題方法的訓(xùn)練和解題技能的培養(yǎng)，又要揭示例題的解題規(guī)律和體現(xiàn)例題的思想方法.不僅要注意到對知識點的覆蓋面，又要能通過訓(xùn)練讓學(xué)生掌握規(guī)律，形成解題模式，達到“以一當十”的目的.

3 要注意典型性、普遍適用性，體現(xiàn)“通性通法”

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“一個專心的認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域”.“一題多解”就是從不同的視角、不同的方位審視并分析同一問題中的數(shù)量、位置關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過程.通過探求同一問題的不同解法，可以引出相關(guān)的多個知識點和解題方案，有助于培養(yǎng)學(xué)生的洞察力和思維的變通性、獨創(chuàng)性，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維意識.

復(fù)習(xí)課例題的設(shè)計，要體現(xiàn)背景的典型性和解題策略的普遍適用性;要具有通性，避免思維限制.

但是，在直線與圓的位置關(guān)系復(fù)習(xí)課中，如果不講幾何法和代數(shù)法，筆者認為喪失了教學(xué)的重點與本意，是“撿了芝麻丟了西瓜”.

改編已知直線l過點(0，2)，且與圓：x2+y2=4相交于點A，B，O為坐標原點，求△OAB面積S的最大值，并求出此時直線l的斜率.

在復(fù)習(xí)課例題教學(xué)中，教師對例題必須精挑細選，使方法具有普遍性和多樣性，以最少的選題保證教學(xué)的有效性與高效性.

4 既要使學(xué)生形成“思維定勢”，又要突破“定勢思維”

在高三的例題復(fù)習(xí)中，我們希望學(xué)生能形成解題模式，因此特別重視思維定勢的形成，忽視了定勢思維形成后的突破.思維定勢的形成，使思考者在思考同類或相似問題時，能省去許多摸索、試探的步驟.這樣既可以縮短思考時間，減少精力耗費;又可以提高思考的質(zhì)量和成功率.但定勢思維的形成卻又導(dǎo)致了思維的呆滯化，解題缺乏靈活性.因為無論對于新問題，還是對于所熟悉的問題尋求新的解決方案，一般都需要在探索、嘗試的基礎(chǔ)上，先提出多種思路，再篩選出最佳方案，從而實現(xiàn)思維的創(chuàng)新.復(fù)習(xí)課例題的設(shè)計既要使學(xué)生形成“思維定勢”，又要突破“定勢思維”.

定勢思維因為{an}為等差數(shù)列，所以

則

3c=2(c2+c)，

解得

突破1因為{an}為等差數(shù)列，所以

2a2=a1+a3，

即

化簡得

2c2-c=0，

解得

由以上案例，我們看到復(fù)習(xí)課中不僅要培養(yǎng)學(xué)生的定勢思維，更重要的是定勢思維形成后的突破.在例題教學(xué)中，教師要時常設(shè)置一些發(fā)散性的問題，使學(xué)生產(chǎn)生或提出盡可能多、盡可能新、盡可能獨創(chuàng)的想法，使學(xué)生原來形成的定勢思維得到突破，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

5 要注意回歸教材，又高于教材，體現(xiàn)“導(dǎo)向性”、“可探究性”

《考試說明》強調(diào)對基礎(chǔ)知識的考查，注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，從學(xué)科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，使對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查達到必要的深度.高考試題中易、中、難題的比例一般都控制在3∶5∶2左右.復(fù)習(xí)課例題的選擇回歸教材為的是落實“三基”，體現(xiàn)基礎(chǔ)性；高于教材為的是選拔人才，體現(xiàn)能力性.我們知道，高考試題雖不直接取材于課本，但考查的知識卻大多來自課本或間接涉及課本習(xí)題或改編自課本例習(xí)題或這些問題的結(jié)論或推廣，因此以課本例習(xí)題為素材，感知問題的發(fā)生、發(fā)展過程，明晰問題的來龍去脈，尋求問題的解決辦法，探求結(jié)論推廣的可能性，揭示問題的本質(zhì)特征，對于學(xué)生和教師而言都是非常有必要的.

案例6過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的一條直線與此拋物線交于2個不同的點A,B，且2個交點的縱坐標分別為yA,yB，求證：yAyB=-p2.

圖1

探究4(改焦點準線為極點極線)設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0)，極點P(t,0)，極線l:x=-t，點C為此拋物線上的任意一點，過點P的直線交拋物線于點B,C，直線AC,BC分別交極線l于點M,N，則點M,N的縱坐標之積為定值-2pt(如圖1).

(1)求E的方程；

(2)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由.

(2010年四川省數(shù)學(xué)高考文科試題)

性質(zhì)設(shè)圓錐曲線E的一個焦點為F，相應(yīng)的準線為l，C為曲線E上的任意一點，過點F且斜率不為0的直線與曲線E交于點A，B，直線AC，BC分別交準線l于點M，N，則以MN為直徑的圓過焦點F.

從課后的談話中筆者了解到，學(xué)生對于探究性問題的教學(xué)普遍持歡迎態(tài)度.因為這類問題活躍了他們的思維，并且這種由易到難、由簡單到復(fù)雜的階梯式設(shè)計符合學(xué)生的認識規(guī)律和心理特征，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.對于此問題串，筆者選擇以拋物線為載體，原因在于新課標中對橢圓和雙曲線的第二定義(涉及準線問題)不作考查要求，故改為拋物線.而我們知道橢圓、雙曲線和拋物線同為圓錐曲線，在許多性質(zhì)上都具有共性，這為我們的探究和改編提供了可能.通過以上案例，不難發(fā)現(xiàn)，高考試題往往源于教材，又高于教材，往往針對固有的結(jié)論或它的推廣進行變式考查.這就要求教師“能立足教材，并以教材為起點，更好地開發(fā)教材的功能，創(chuàng)造性地開展教學(xué)”，教師不僅是課程的實施者，而且也是課程的研究、建設(shè)和資源開發(fā)的重要力量.

例題教學(xué)是復(fù)習(xí)課的主旋律，如何設(shè)計例題，從而達到“解一題，通一類”是我們不懈努力的目標.以上，筆者從自身的教學(xué)經(jīng)歷對復(fù)習(xí)課例題的設(shè)計需要注意的地方做了幾點反思，希望與同行探討，共同研究復(fù)習(xí)課例題的設(shè)計問題，使數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)更加高效.