●(玉門市第一中學 甘肅玉門 735211)

面對困惑探究本源

●謝鵬作(玉門市第一中學 甘肅玉門 735211)

剛學習完概率,筆者找了一道2010年廣東省數(shù)學高考理科試題第17題作為章末復習用,然而在課堂練習時運用各種解法都遭遇了尷尬.面對困惑,筆者認為有進一步研究的價值,現(xiàn)將課堂實錄供述如下,以饗讀者.

題目某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本,稱出它們的質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495],(495,500],…,(510,515],由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖1所示．

圖1

(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求質(zhì)量超過505 g的產(chǎn)品數(shù)量；

(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件,設Y為質(zhì)量超過505 g的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列；

(3)從流水線上任取5件產(chǎn)品,求恰有2件產(chǎn)品的質(zhì)量超過505 g的概率．

以下是學生的解法,分別寫到黑板上.

解(1)質(zhì)量超過505 g的產(chǎn)品數(shù)量為12件(過程略).

表1 Y的分布列

方法2Y的分布列如表2所示：

表2 Y的分布列

方法3超過505 g的產(chǎn)品數(shù)量Y可能的取值有0,1,2，其中

所以Y的分布列如表3所示：

表3 Y的分布列

因為第(2)小題的3種方法不同,所以沒有讓學生寫出第(3)小題.在大家的相互討論下,否定了方法1,多數(shù)學生肯定了方法2和方法3.此時有學生發(fā)表看法，方法2和方法3分布列中對應的概率不相等，說明方法2有誤,但不知誤在何處?頓時,教室一片寂靜,陷入困惑之中.

方法2錯在哪兒呢?(過了2分鐘)有個小組的學生顯得很自信，認為是將頻率看成概率時產(chǎn)生的誤差.如當Y=0時,方法2中P(Y=0)=0.72=0.49(0.7只是頻率而不是概率),方法3中

是頻率惹的禍?誤差還是錯誤?錯誤的本源在哪?隨著問題的提出，學生爭先恐后地探索著……(2分鐘后)見學生沒有動靜,教師開始點撥.

P(Y=0)=0.72中的第1個0.7指的是從40件樣品中抽取1件不超過505 g的概率(學生齊答,看來0.7就是概率),此時剩39件樣品,不超過505 g的有27件,從中抽取1件不超過505 g的概率為第2個0.7嗎?此時,學生恍然大悟,原來錯誤地將不放回抽樣看成放回抽樣!

很快,學生得到了方法2的更正與第(3)小題的解答.

方法2的更正

Y的分布列略.

(3)該問題從流水線上抽取,因此超過505 g的產(chǎn)品數(shù)ξ～B(5，0.3),故

若從樣本中抽取,則

這2種結(jié)果明顯不同,而將從樣本中抽取看成有放回抽樣,則

因此,從流水線上抽取,雖然不放回抽樣,但因流水線產(chǎn)品數(shù)量大可視為無限容量的總體.

反思與感悟通過問題的解答,筆者發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生錯誤的原因是對以下概念存在混淆.

(1)古典概型與獨立重復試驗.

古典概型具有2個特點:①實驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個;②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.對于古典概型,任何事件的概率為

獨立重復試驗是在相同條件下重復做n次試驗,關(guān)鍵字是“獨立”、“重復”，即:①每次試驗中,事件發(fā)生的概率是相同的;②每次試驗中的事件是相互獨立的;③每次試驗只有2種結(jié)果:要么發(fā)生,要么不發(fā)生.

(2)放回抽樣與不放回抽樣.

由古典概型得出超幾何分布,由獨立重復試驗得出二項分布,這2個分布的區(qū)別是:在產(chǎn)品抽樣檢驗中,如果采用不放回抽樣,則次品數(shù)服從超幾何分布;如果采用有放回抽樣,則次品數(shù)服從二項分布.二項分布的隨機變量是n次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù).

在實際問題中,區(qū)分古典概型與獨立重復試驗的關(guān)鍵是不放回還是有放回.不放回符合古典概型,隨機變量服從超幾何分布;有放回符合獨立重復試驗,隨機變量服從二項分布.當產(chǎn)品數(shù)量很大而抽取的數(shù)不太大時,不放回抽樣可以認為是有放回抽樣,超幾何分布近似于二項分布,此時2種公式等價.

在解題時,我們需要區(qū)別字眼,區(qū)分概念,從源頭思起,考慮路徑,選擇方法.解題是高中數(shù)學的核心,“解題教學正是達到教學目的的最好手段”(張乃達先生語).因此我們不僅要重視解題,更要教會學生如何解題.特別是當問題產(chǎn)生錯解而面對困惑時,飲水思源,探究本質(zhì),正如英國心理學家貝思布里說過“差錯人皆有之,而作為教師,對學生的錯誤不加利用則是不能原諒”.

[1] 張月媚.一樣的Eξ不一樣的是對與錯——古典概型與獨立重復試驗混淆、困惑、探究[J].福建中學數(shù)學,2010(11):18-21 .