孫 偉，孫 楓

（1遼寧工程技術(shù)大學(xué)測(cè)繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧阜新 123000；2哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，哈爾濱150001）

0 引言

長(zhǎng)時(shí)間工作的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)，慣性測(cè)量元件的常值偏差將引起隨時(shí)間積累的定位誤差，它是影響慣性導(dǎo)航系統(tǒng)性能的重要因素[1－2]，將慣性測(cè)量單元（inertial measurement unit，IMU）進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)以調(diào)制慣性器件常值偏差是實(shí)現(xiàn)高精度慣性導(dǎo)航的有效方法之一[3－5]，但是IMU的連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)激發(fā)出新的誤差因素[6]，引起系統(tǒng)定位誤差。因此，文中針對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與當(dāng)?shù)卮咕€偏離及尺寸效應(yīng)這兩個(gè)誤差因素對(duì)旋轉(zhuǎn)捷聯(lián)系統(tǒng)導(dǎo)航精度的影響進(jìn)行分析與仿真。

1 IMU單軸旋轉(zhuǎn)捷聯(lián)系統(tǒng)誤差抑制原理

捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)單軸旋轉(zhuǎn)自動(dòng)補(bǔ)償方法[7－9]是將安裝有慣性器件的IMU相對(duì)載體坐標(biāo)系（b坐標(biāo)系，oxbybzb）旋轉(zhuǎn)，使慣性器件的偏差沿著載體坐標(biāo)系呈周期性變化。設(shè)oxsyszs為IMU坐標(biāo)系，s坐標(biāo)系是隨著IMU位置改變而改變的一個(gè)時(shí)變坐標(biāo)系。

設(shè)初始時(shí)刻IMU坐標(biāo)系與載體坐標(biāo)系重合，然后s系以角速度ω繞ozb軸旋轉(zhuǎn)。采用地理坐標(biāo)系作為導(dǎo)航坐標(biāo)系。圖1是以IMU單軸旋轉(zhuǎn)為例說(shuō)明自動(dòng)補(bǔ)償原理。

在t時(shí)刻，載體坐標(biāo)系和IMU坐標(biāo)系的夾角為ωt，兩個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系用方向余弦表示[10]：

圖1 IMU坐標(biāo)系與載體坐標(biāo)系的相對(duì)位置關(guān)系

慣性器件的輸出誤差中一般包括常值偏差和隨機(jī)偏差，常值偏差可以通過(guò)標(biāo)定的方法進(jìn)行補(bǔ)償，但是這種常值偏差也呈現(xiàn)出變化的趨勢(shì)，主要體現(xiàn)在逐次啟動(dòng)誤差和逐日變化的誤差，因此通過(guò)標(biāo)定的方法不能將慣性器件的常值偏差進(jìn)行完全的補(bǔ)償。假設(shè)標(biāo)定結(jié)束后陀螺儀和加速度計(jì)的誤差模型為[11]：

式中：ε′、?′分別表示陀螺儀和加速度計(jì)剩余常值誤差；ε″、?″分別表示陀螺儀和加速度計(jì)與系統(tǒng)工作時(shí)間相關(guān)的誤差系數(shù)。

根據(jù)IMU旋轉(zhuǎn)過(guò)程中s坐標(biāo)系與b坐標(biāo)系的相對(duì)位置關(guān)系，得到載體系下慣性器件偏差的調(diào)制形式：

由式（3）和式（4）可以看出，水平方向上慣性器件的剩余常值偏差被調(diào)制成周期變化的量，在一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)周期內(nèi)經(jīng)過(guò)積分后為零，與時(shí)間有關(guān)的項(xiàng)經(jīng)過(guò)積累后為常值，因此ozb軸引起的誤差將隨時(shí)間積累。除了慣性器件自身的誤差因素外，旋轉(zhuǎn)捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與當(dāng)?shù)卮咕€偏離及尺寸效應(yīng)誤差是影響導(dǎo)航精度的主要因素，下文圍繞這兩種誤差對(duì)導(dǎo)航精度的影響機(jī)理進(jìn)行分析。

2 轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與當(dāng)?shù)卮咕€偏離

以單軸旋轉(zhuǎn)為例，分析轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸與當(dāng)?shù)卮咕€存在夾角時(shí)對(duì)導(dǎo)航精度的影響。轉(zhuǎn)臺(tái)傾斜角的大小及傾斜角的方向具有任意性，為便于分析及不失一般性，假定α為轉(zhuǎn)臺(tái)平面與載體平面的夾角，β為平臺(tái)傾斜取向與地理東向的夾角，得到旋轉(zhuǎn)過(guò)程中s坐標(biāo)系相對(duì)b系的位置關(guān)系，如圖2所示。

根據(jù)圖2描述的b系相對(duì)s系的位置關(guān)系，可以得到兩個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系用方向余弦Tsb表示：

圖2 IMU旋轉(zhuǎn)過(guò)程中s系與b系的相對(duì)位置

由于轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)軸與地垂線不重合，在IMU的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，3個(gè)陀螺儀均敏感到地球自轉(zhuǎn)角速度在s坐標(biāo)系上的分量；水平加速度計(jì)敏感到重力加速度在s坐標(biāo)系水平方向上的分量：

如圖2所示，s坐標(biāo)系到b坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程：

其中，兩坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系可以用如下轉(zhuǎn)換矩陣表示：

將式（8）和式（9）分別代入式（10），經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到陀螺儀和加速度計(jì)的輸出在載體系下的表示形式：

由式（12）可以看出，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與當(dāng)?shù)卮咕€偏離導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)角速度和方位陀螺漂移在水平方向上產(chǎn)生常值分量，水平方向上的陀螺儀敏感此分量。捷聯(lián)矩陣Tnb的微分方程及Tnb與陀螺儀輸出的函數(shù)關(guān)系分別如下：

通過(guò)對(duì)式（12）分析可得，在平臺(tái)傾斜取向一定的條件下，臺(tái)面傾角α越大，旋轉(zhuǎn)角速度的水平分量越大，系統(tǒng)積累的誤差就越大。加速度計(jì)的偏差在水平方向上產(chǎn)生投影，使水平方向上的均值不為零，即轉(zhuǎn)動(dòng)后加速度計(jì)的水平常值漂移得到部分調(diào)制。為了定性分析轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與當(dāng)?shù)卮咕€偏離時(shí)引起的系統(tǒng)誤差，忽略由于陀螺儀輸出的變化導(dǎo)致捷聯(lián)矩陣更新時(shí)產(chǎn)生的變化，即假定＝I。則經(jīng)過(guò)時(shí)間t′，IMU旋轉(zhuǎn)過(guò)程中加速度計(jì)的輸出經(jīng)過(guò)積分得到水平速度誤差為：

V0表示載體理想狀態(tài)下的水平速度，其值為零。在水平通道內(nèi)：

由式（17）可以看出，與時(shí)間有關(guān)的三角函數(shù)項(xiàng)經(jīng)過(guò)一個(gè)周期的積分后為零，但是反映在速度上，引起速度的周期性波動(dòng)，周期為IMU的旋轉(zhuǎn)周期；由于旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸與地垂線偏離，方位陀螺儀漂移在水平方向上產(chǎn)生分量，導(dǎo)致速度誤差表現(xiàn)為隨時(shí)間持續(xù)增長(zhǎng)。

3 尺寸效應(yīng)誤差

當(dāng)加速度計(jì)偏離理想位置和IMU處于轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，離心加速度和切向加速度的存在引起加速度計(jì)的測(cè)量誤差。加速度計(jì)輸出誤差的表達(dá)式為[12]：

式中第一項(xiàng)表示切向加速度的影響，第二項(xiàng)表示向心加速度的影響。

由于IMU安裝在載體上，假設(shè)IMU坐標(biāo)系和b坐標(biāo)系具有同一個(gè)水平面，此時(shí)不用考慮IMU方位軸上加速度計(jì)的尺寸效應(yīng)。將兩個(gè)水平加速度計(jì)構(gòu)成一個(gè)測(cè)量組件，可得到慣性測(cè)量組件的尺寸效應(yīng)誤差為：

如圖3，對(duì)于每個(gè)加速度計(jì)的位置矢量rp能分解為兩個(gè)分量r和dp，r是IMU坐標(biāo)系上的加速度計(jì)組件中心p的位置矢量；dp是加速度計(jì)ax相對(duì)于IMU坐標(biāo)原點(diǎn)的位置矢量，因此有：

圖3 尺寸效應(yīng)幾何分析圖

式（21）代入式（20）：

式（22）中第一項(xiàng)是由于r不等于零引起的，稱為“慣性測(cè)量組件的安裝偏差尺寸效應(yīng)”用?m表示；第二項(xiàng)是由于dp不等于零引起的，稱為“加速度計(jì)的尺寸效應(yīng)”用?e表示。其中慣性測(cè)量組件的安裝偏差可以通過(guò)在線標(biāo)定補(bǔ)償，文中主要討論IMU連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中加速度計(jì)尺寸效應(yīng)產(chǎn)生的影響，假定水平方向上的加速度計(jì)到IMU坐標(biāo)原點(diǎn)的距離均為dp，則加速度計(jì)的輸出表示為：

IMU轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)角速度的不平穩(wěn)導(dǎo)致水平加速度計(jì)輸出是一個(gè)帶有隨機(jī)振蕩的量。為便于分析問(wèn)題，假設(shè)載體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，有Tnb＝I得到導(dǎo)航系下加速度值為：

水平加速度計(jì)偏差在一個(gè)完整的周期內(nèi)完全得到調(diào)制，與旋轉(zhuǎn)角速度有關(guān)的項(xiàng)由于伴隨有隨機(jī)量導(dǎo)致一個(gè)周期內(nèi)不能完全得到調(diào)制，因此旋轉(zhuǎn)角速度在水平方向上產(chǎn)生了不對(duì)稱的常值，通過(guò)對(duì)加速度的積分得到載體速度誤差和位置誤差。

4 仿真分析

為驗(yàn)證轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與當(dāng)?shù)卮咕€偏離及尺寸效應(yīng)誤差對(duì)旋轉(zhuǎn)捷聯(lián)系統(tǒng)導(dǎo)航精度的影響，利用VC＋＋開(kāi)發(fā)工具構(gòu)建這兩種條件下的捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)模擬器及解算過(guò)程，根據(jù)仿真結(jié)果驗(yàn)證上述兩種誤差因素對(duì)系統(tǒng)導(dǎo)航精度的影響。

4.1 轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與當(dāng)?shù)卮咕€偏離仿真

仿真條件：靜基座導(dǎo)航，初始地理位置為北緯45.7796°、東經(jīng)126.6705°，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與當(dāng)?shù)卮咕€夾角為0.001°，為了問(wèn)題分析的簡(jiǎn)單化，傾斜角取向?yàn)檠貙?dǎo)航坐標(biāo)系東西向。IMU旋轉(zhuǎn)角速度為6°／s，加速度零位誤差10－4g，暫不考慮陀螺漂移和其它誤差因數(shù)，仿真時(shí)間24h。

圖4 IMU旋轉(zhuǎn)過(guò)程中不同條件下系統(tǒng)水平速度誤差曲線

下面對(duì)圖4進(jìn)行分析。理論上講，根據(jù)式（17），當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)傾角取向沿導(dǎo)航系東西方向，由傾角取向定義得β＝0°，在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)方位陀螺漂移得到積累，引起北向速度產(chǎn)生常值誤差；加速度計(jì)零位偏差在一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)周期內(nèi)得到調(diào)制，但是引起速度誤差的周期振蕩。仿真結(jié)果驗(yàn)證了這一點(diǎn)：無(wú)加速度計(jì)零位偏差時(shí)，臺(tái)體傾斜導(dǎo)致水平速度產(chǎn)生舒勒周期和傅科周期振蕩；在轉(zhuǎn)臺(tái)平面傾斜的條件下，無(wú)加速度零位偏差導(dǎo)致系統(tǒng)中不產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)周期，有加速度零位偏差導(dǎo)致舒勒周期中存在旋轉(zhuǎn)周期。

圖5 IMU旋轉(zhuǎn)過(guò)程中不同條件下系統(tǒng)位置誤差曲線

旋轉(zhuǎn)角速度在導(dǎo)航坐標(biāo)系oxb軸上的投影被東向陀螺感知，這一分量引起常值經(jīng)度誤差，如圖5所示。為了直觀反映出載體在不同誤差條件下的定位精度，根據(jù)定位誤差計(jì)算公式（25）計(jì)算出不同時(shí)刻系統(tǒng)的位置誤差，如圖6所示。

式中：R 表示地球半徑；L 表 示當(dāng)?shù)鼐暥?；λ表示?dāng)?shù)亟?jīng)度。經(jīng)對(duì)比發(fā)現(xiàn)：同轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與當(dāng)?shù)卮咕€重合時(shí)相比，偏離時(shí)會(huì)引起定位誤差，達(dá)到0.12nmile以上；在轉(zhuǎn)軸與地垂線偏離的條件下，通過(guò)對(duì)比定位誤差可以看出：與沒(méi)有加速度計(jì)偏差時(shí)的定位誤差相比，有加速度計(jì)偏差時(shí)產(chǎn)生的定位誤差多出0.02nmile，驗(yàn)證了式（14）的正確性。

圖6 IMU旋轉(zhuǎn)過(guò)程中不同條件下系統(tǒng)定位誤差曲線

4.2 尺寸效應(yīng)誤差仿真

仿真條件：IMU轉(zhuǎn)動(dòng)角速度6°／s，轉(zhuǎn)速誤差為10－5，加速度計(jì)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為0.1m，初始位置同4.1，不考慮任何其它誤差因素。

圖7 有無(wú)尺寸效應(yīng)時(shí)載體姿態(tài)誤差曲線

圖8 有無(wú)尺寸效應(yīng)時(shí)載體定位誤差曲線

IMU轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，尺寸效應(yīng)引起的向心加速度參與慣導(dǎo)解算導(dǎo)致水平姿態(tài)角產(chǎn)生常值偏差，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的不平穩(wěn)同時(shí)引起陀螺儀的輸出是非對(duì)稱的，在一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)周期不能將其完全調(diào)制，導(dǎo)致姿態(tài)誤差加劇；轉(zhuǎn)速的不平穩(wěn)同時(shí)引起加速度計(jì)的輸出在導(dǎo)航系上的分量不能得到完全調(diào)制，如式（20），激發(fā)出導(dǎo)航系統(tǒng)的位置誤差。如圖8所示，24h的仿真過(guò)程中最大可以達(dá)到0.06nmile，大于無(wú)尺寸效應(yīng)時(shí)的導(dǎo)航誤差。

5 結(jié)論

文中概述了旋轉(zhuǎn)捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差抑制機(jī)理，分別針對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與當(dāng)?shù)卮咕€偏離、尺寸效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)導(dǎo)航精度的影響進(jìn)行了理論推導(dǎo)、分析與仿真。通過(guò)對(duì)比仿真結(jié)果可以看出當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與當(dāng)?shù)卮咕€偏離時(shí)產(chǎn)生了0.14nmile的定位誤差，遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)軸與地垂線重合時(shí)的位置誤差；雖然尺寸效應(yīng)引起的定位誤差遠(yuǎn)小于轉(zhuǎn)軸與地垂線偏離所引起的定位誤差，但是轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的不平穩(wěn)仍然會(huì)激發(fā)出0.06nmile的位置誤差。目前旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)處于實(shí)驗(yàn)室階段，如何設(shè)計(jì)合理的誤差補(bǔ)償措施是本實(shí)驗(yàn)室下一步的主要工作。

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