錢媛媛，李永祥

（西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

二階非線性積-微分方程邊值問題正解的存在性與多解性

錢媛媛，李永祥

（西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

對非線性二階積-微分方程邊值問題正解的存在性進行了研究，利用錐壓縮與錐拉伸不動點定理獲得該問題正解的存在性和多個正解的存在性.

積-微分方程；正解；凸錐；錐映射不動點定理

近年來，積-微分方程邊值問題的研究日益增多，文獻［1-3］中對邊界條件為u（0）＝u（1）＝0的二階積-微分方程作了研究，獲得了至少存在1個正解的結(jié)論.本文用Krasnoselskii錐映射不動點定理討論二階積-微分方程兩點邊值問題

的正解的存在性和多解性.其中f（t，u，v）∶［0，1］×［0，∞）×［0，∞）→ ［0，∞）連續(xù)，S為Fredholm積分算子

其核K（t，s）∶［0，1］×［0，1］→ ［0，∞）連續(xù).

稱u為方程（1）的正解是指u∈C2［0，1］，滿足方程（1）且當t∈ （0，1）時u（t）＞0.

一端簡單支撐另一端滑動的彎曲彈性梁的平衡狀態(tài)可用四階兩點邊值問題

來描述，見文獻［1-2］.若v＝-u″，設(shè)G（t，s）為線性二階邊值問題

取K（t，s）＝G（t，s），則u（t）＝ （Sv）（t），因此方程（3）可化歸為方程（1）的形式，其中f（t，u，v）＝g（t，v，-u）.因此方程（1）是比方程（3）更廣泛的一類模型，把方程（1）的結(jié)果應(yīng)用于方程（3），獲得新的正解的存在性結(jié)果.

1 預(yù)備知識

易驗證Q∶P0→P0為全連續(xù)算子.按Green函數(shù)G（t，s）的性質(zhì)，u為方程（1）的解的充要條件為u是Q的不動點.

所以Qu∈P，因此Q（P）?P.

因為P?P0，按Q∶P0→P0的全連續(xù)性知Q∶P→P全連續(xù).

2 主要結(jié)果及其證明

則積-微分方程邊值問題（1）至少存在1個正解.

證明設(shè)0＜r＜R＜ ∞，令Ω1＝ ｛u∈C［0，1］∶‖u‖ ＜r｝，Ω2＝ ｛u∈C［0，1］∶‖u‖ ＜R｝.分2種情形驗證當r充分小，R充分大時，定理1之條件1）或2）成立.

條件1）成立的情形.

因此定理3中的條件分別對應(yīng)定理2中的條件.由定理2知，方程（1）存在正解v∈C2［0，1］.令u＝Su，按Green函數(shù)G（t，s）的性質(zhì)，u″＝-v，于是帶入方程（1）知，u∈C4［0，1］為方程（3）的解，且為正解.

推論2 設(shè)g（t，u，v）∶［0，1］×［0，∞）×（-∞，0］→ ［0，∞）連續(xù)，若下列條件之一成立

則四階邊值問題（3）至少存在1個正解.

下面，討論積-微分方程邊值問題（1）多個正解的存在性.

定理4 設(shè)f∶［0，1］×［0，∞）×［0，∞）→ ［0，∞）連續(xù)，若下列條件之一成立

2）設(shè)0＜r＜ρ＜R，Ωi（i＝1，2，3）如定理2與定理4的證明1）中所定義，則按定理2的證明，當r充分小，R充分大時，分別使式（10）與式（9）成立.再證

對 ?u∈P∩?Ω3.因為 ‖u‖ ＝ρ，u∈P，按P的定義，對 ?s∈ ［0，1］，有0≤u（s）≤ ‖u‖ ＝ρ.因此按式（13）知，

則積-微分方程邊值問題（1）至少存在2個正解.

［1］GUPTA C P.Existence and uniquencess theorems for a bending of an elastic beam equation［J］.Appl Anal，1988，26：289-304.

［2］GUPTA C P.Existence and uniquencess results for a bending of an elastic beam equation at resonance［J］.J Math Anal Appl，1988，135：208-225.

［3］李永祥，晏銳.二階非線性積分-微分方程邊值問題的正解［J］.蘭州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2002，38（4）：1-6.

［4］李永祥.四階邊值問題正解的存在性與多解性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2003，26（1）：109-116.

［5］郭大均.非線性泛函分析［M］.濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001.

Existence and Multiplicity of Positive Solutions for Nonlinear
Second Order Boundary Value Problems for Integro-differential Equations

QIAN Yuan-yuan，LI Yong-xiang（College of Mathematics and Information Science，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

The existence of positive solution for second order boundary value problems of integro-differentail equations is discussed.We obtain the existence and multiplicity results of positive solutions by employing the fixed-point theorem of cone expansion or compression type.

integro-differential equation；positive solution；convex cone；fixed point theorem in cones

O 175.7

A

1000-1565（2011）05-0456-06

2010-01-27

甘肅省自然科學(xué)基金資助項目（0710RJZA103）；西北師范大學(xué)科技創(chuàng)新項目（NWNU-KJCXGC-3-47）

錢媛媛（1988-），女，甘肅兩當人，西北師范大學(xué)在讀碩士研究生，主要從事非線性泛函分析研究.

E-mail：qianye200567＠126.com

李永祥（1963-），男，甘肅秦安人，西北師范大學(xué)教授，博士，主要從事非線性泛函分析研究.

E-mail：liyx＠nwnu.edu.cn

王蘭英）