劉俊豪, 張 皓, 陳啟軍

(同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院, 上海201804)

在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中,傳感器采集到的信號和控制器產(chǎn)生的信號都需要通過網(wǎng)絡(luò)傳輸.對于連續(xù)被控對象,信號傳輸前必須進(jìn)行采樣、量化、編碼,從而不可避免地帶來量化誤差;同時(shí), 網(wǎng)絡(luò)中的丟包、時(shí)延、亂序、誤碼等因素也會(huì)對系統(tǒng)性能產(chǎn)生影響, 對這些網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)特有的性能的研究成為一個(gè)新的熱點(diǎn)研究方向[1-6].

目前,針對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)量化的研究主要分為3種:一種是早期針對實(shí)際中使用的量化器進(jìn)行的一些初步的研究.文獻(xiàn)[7] 將量化誤差分解為不同的部分,并詳細(xì)分析了量化誤差對信號的影響.文獻(xiàn)[8] 通過調(diào)節(jié)控制律巧妙地消除了量化誤差的影響,從而實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的鎮(zhèn)定.文獻(xiàn)[9] 討論了在量化誤差影響下的非線性系統(tǒng)的有界性問題.文獻(xiàn)[10] 考慮量化誤差的影響,設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)收斂在一定范圍內(nèi).然而,這些文獻(xiàn)都沒有考慮網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的時(shí)延、丟包等因素.另一種研究方法是文獻(xiàn)[11-12] 提出的將量化誤差轉(zhuǎn)換為與系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān)的不確定性來處理的方法.通過這種轉(zhuǎn)換,可以將量化誤差問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的魯棒控制問題, 從而實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的鎮(zhèn)定、觀測及性能優(yōu)化等.然而,這種轉(zhuǎn)換需要量化器在平衡點(diǎn)處無限細(xì)化,從而在平衡點(diǎn)附近有無限級別, 這種量化器會(huì)產(chǎn)生無限長的編碼, 這在實(shí)際使用時(shí)無法實(shí)現(xiàn).還有一種方法是Daniel Liberzon 等[13]、翟貴生等[14]提出的區(qū)域量化方法, 該方法將被量化信號分為若干個(gè)區(qū)域,通過不斷調(diào)節(jié)一個(gè)比例參數(shù)來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定.為了有效地解碼, 這種方法要求該比例參數(shù)能夠及時(shí)、精確地從編碼端發(fā)送到解碼端,而實(shí)際網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)無法實(shí)現(xiàn)這點(diǎn)(因?yàn)楸壤齾?shù)傳輸前必須進(jìn)行量化,必定會(huì)產(chǎn)生量化誤差;同時(shí)網(wǎng)絡(luò)的存在會(huì)產(chǎn)生時(shí)延、丟包等影響,無法實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)傳輸).

根據(jù)上面的分析可以看出, 目前針對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)量化的研究中,第1 種早期的研究方法沒有考慮網(wǎng)絡(luò)特性對系統(tǒng)的影響;另外2 種方法從理論上對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)進(jìn)行了一系列的研究, 然而無法在實(shí)際中實(shí)現(xiàn).如果同時(shí)考慮實(shí)際應(yīng)用中的量化方式以及網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的特性,對系統(tǒng)的鎮(zhèn)定將很困難,這也是目前還沒有文獻(xiàn)將這2 個(gè)方面同時(shí)考慮的一個(gè)重要原因.在實(shí)際應(yīng)用中系統(tǒng)往往允許存在一定的誤差,只要系統(tǒng)狀態(tài)能夠控制在一定的范圍內(nèi)即可,不必要漸近收斂于平衡點(diǎn).系統(tǒng)的一致有界性控制是指通過一定的控制策略將系統(tǒng)狀態(tài)控制在一個(gè)與初始時(shí)刻無關(guān)的范圍內(nèi).因此, 針對實(shí)際要求, 可以不實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定,轉(zhuǎn)而設(shè)計(jì)控制方法使網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)一致有界.這樣既滿足實(shí)際要求, 又可以使設(shè)計(jì)方法變得可行.本文實(shí)現(xiàn)了在不考慮量化條件下對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定以及考慮均勻量化情況下的一致有界性控制.通過仿真實(shí)例驗(yàn)證了所提方法的有效性,分析了量化誤差對系統(tǒng)收斂的影響.

1 系統(tǒng)描述

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)主要包括被控對象、傳感器、采樣器、量化器、編碼器、解碼器、控制器以及執(zhí)行器,網(wǎng)絡(luò)中存在時(shí)延、丟包、亂序等特性.傳感器從被控對象采集到信號經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)娇刂破?控制器根據(jù)從傳感器得到的信號確定控制策略,再經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)綀?zhí)行器, 從而實(shí)行對被控對象的控制.

假設(shè):①傳感器為時(shí)間驅(qū)動(dòng), 控制器、執(zhí)行器為事件驅(qū)動(dòng);②控制回路時(shí)延(把丟包歸入時(shí)延中)為短時(shí)延,即控制回路總時(shí)延小于1 個(gè)采樣周期.

對于線性連續(xù)被控對象, 忽略量化的影響, 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型建立為

式中:x(t)為被控對象狀態(tài),x(t)∈Rn;u(t)為控制信號,u(t)∈Rm;A ,B 為適維矩陣.

由于被控對象是連續(xù)對象, 而傳輸過程為離散過程.因此,采用離散化方法, 將模型(1)離散化為

式中:k為離散化時(shí)間變量;T為采樣周期;τ為控制回路總時(shí)延;

因此, 式(2)可表示為

控制器方程表示為

式中:K1,K2為適維的常數(shù)矩陣.

結(jié)合式(3),網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)可表示為

考慮實(shí)際中使用的均勻量化器[7-8].均勻量化器q(v)可用表示為

式中:v 為被量化的信號, v ∈Rn×1;Δ(v)為量化誤差, Δ(v)的第i維元素≤δi, δi＞0 為每一維的量化誤差上界.從而,

考慮從傳感器到控制器的量化誤差的影響, 式(4)可表示為

考慮從控制器到執(zhí)行器的量化誤差的影響, 被控對象離散化方程(2)可改寫為

結(jié)合式(7)、式(8),包含均勻量化器的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

2 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及一致有界性

根據(jù)文獻(xiàn)[15-16] 可得系統(tǒng)一致有界性定義.

定義1 若對?α＞0,存在β(k0,α)＞0,使得當(dāng)‖z(k0)‖ ≤α?xí)r, 系統(tǒng)(9)的解‖ z(k,k0,z(k0))‖ ≤β(k0,α),k＞k0,則稱系統(tǒng)(9)等度有界;若β(k0,α)與k0無關(guān),則稱系統(tǒng)(9)一致有界.

引理1[14]對于給定的對稱矩陣Y 及適維矩陣M, N, W,WTW ≤I,如 果滿足Y +MWN +NTWT·MT＜0 ,則存在一個(gè)常數(shù)ε＞0,使得

引理2 設(shè)矩陣,其中‖ · ‖為Frobenius 范數(shù).r =[r1r2 …r n]T∈Rn,s =[s1s2 …s n]T∈Rn為任意的n維向量, 滿足,則‖Mr +Ns ‖ ≤‖M+N ‖· ‖l ‖.

定理1 對于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(5), 如果存在矩陣X ＞0 及常數(shù)ε＞0 滿足

則網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定.

即

根據(jù)引理1,可得

上式等價(jià)于式(10).因此, 式(10)成立等價(jià)于V(z(k+1))-V(z(k))＜0 ,則系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定.

定理2 對于考慮均勻量化器的的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng), 假設(shè)整個(gè)系統(tǒng)采用相同的量化器, 即, 令.對于系統(tǒng)模型(9), 如果存在矩陣X ＞0,Q＞0 及常數(shù)ε＞0 滿足

則網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(9)一致有界.并且,令初始時(shí)刻為k0、初始狀態(tài)為z(k0), 當(dāng)k＞k0時(shí),

式中:λmin(P), λmin(Q)表示矩陣P ,Q 的最小特征值,.利用引理2 ,得

證明:定義函數(shù)V(z(k))=zT(k)Pz(k),其中,P ＞0 .根據(jù)系統(tǒng)模型(9),使用類似定理1 的證明方法可得

如果式(12)成立,可得

根據(jù)式(13)及b＞0,可得

由于σ≥σ0,結(jié)合式(14)中關(guān)于σ0定義,得

同理遞推, 可得k＞k0時(shí),V(z(k))≤σ2.從而

對?α＞0,‖z(k0)‖ ≤α?xí)r,存在與k0 無關(guān)的

使得系統(tǒng)(9)的解‖z(k,k0,z(k0))‖ ≤β(k0,α),k＞k0,根據(jù)定義1 可知系統(tǒng)(9)一致有界, 定理得證.

從定理2 可以看出, 考慮量化影響的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)當(dāng)滿足式(12)、式(13)條件時(shí), 是一致有界的,定理2 給出了系統(tǒng)收斂的一個(gè)上界, 該上界與初始值和量化誤差有關(guān).因此, 可以根據(jù)實(shí)際要求, 設(shè)計(jì)相應(yīng)的量化級別,在確定信號的最大最小值后,便可以求出所需的量化誤差及編碼長度.在滿足實(shí)際要求的前提下, 增大量化誤差, 可以減少編碼長度, 從而減少網(wǎng)絡(luò)中傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量, 以減少網(wǎng)絡(luò)擁塞和丟包,降低網(wǎng)絡(luò)時(shí)延.

3 仿真實(shí)例

根據(jù)定理1,可得

圖1a 繪制了被控對象狀態(tài)曲線, 從中可以看出被控對象是穩(wěn)定的.

圖1 被控對象狀態(tài)曲線Fig .1 State of networked control systems

取δ=0 .01 ,根據(jù)定理2,求得

‖z(k)‖ ≤0.445 0.可以驗(yàn)證a/ λmin(P)=-0.421 8 ,式(13)成立.圖1b繪制了被控對象狀態(tài)曲線,可以看出系統(tǒng)狀態(tài)最終收斂在一定的范圍內(nèi).從定理2 可以看出,被控系統(tǒng)收斂的情況與初值和量化誤差有關(guān),圖2 繪制了δ=0 .01 和δ=0.10時(shí)被控對象狀態(tài)x1(t)的曲線,從中可以看出量化誤差越大,系統(tǒng)收斂情況越差,用同樣的方法觀察被控對象狀態(tài)x2(t),也可得到同樣的結(jié)論.

圖2 不同的量化誤差的被控對象狀態(tài)Fig.2 State of networked control systems with different quantized error

4 結(jié)論

針對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建立了模型, 在忽略量化誤差影響的情況下, 設(shè)計(jì)了使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的控制方法.在實(shí)際使用中, 考慮到量化誤差的影響, 由于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)時(shí)滯、丟包等因素的影響,系統(tǒng)的鎮(zhèn)定變得很困難, 本文根據(jù)實(shí)際使用中往往不需要系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂到平衡點(diǎn)的情況, 在考慮均勻量化器的情況下,實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)一致有界控制.得出的收斂上界與系統(tǒng)的初始狀態(tài)和量化誤差有關(guān), 可以根據(jù)實(shí)際使用要求來設(shè)計(jì)通信中的量化級別和編碼長度.通過仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性, 并從仿真圖可直觀看出量化誤差對系統(tǒng)收斂的影響.

[1] GAO H uijun, CH EN T ongw en.A new approach to quantized feedback control systems[J] .Automatica,2008, 44(2):534.

[2] 李靜, 史建國, 左斌.具有參數(shù)不確定性的長時(shí)延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)研究[J] .系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào), 2009, 21(12):3684.LI Jing,SH I Jianguo,ZUO Bin.Research on networked control system s with long time delay and parameter uncertainties[J] .Journal of Sy stem Simulation, 2009, 21(12):3684.

[3] 于之訓(xùn), 陳輝堂, 王月娟.基于H∞和μ綜合的閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)[J] .同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2001, 19(2):307.YU Zhixun, CHEN Huitang, WANG Yuejuan.Design of closed loop network control system based on H∞and μsynthesis[J] .Journal of T ongji University:Natural Science, 2001, 19(2):307.

[4] 邱占芝, 張慶靈, 楊春雨.基于廣義系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的分析與建模[J] .東北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2005, 26(5):409.QIU Zhanzhi, ZHANG Qingling, YANG Chunyu.Analysis and modeling of networked control systems based on descriptor system [J] .Journal of Northeastern University:Natural Science, 2005, 26(5):409.

[5] 馬衛(wèi)國, 邵誠.網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定性研究[J] .自動(dòng)化學(xué)報(bào).2007, 33(8):878.MA Weiguo, SHAO Cheng.Stochastic stability for networked control systems[J] .Acta Automtica Sinica, 2007, 33(8):878.

[6] 鄧瑋璍, 費(fèi)敏銳.非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的T-S 模糊H∞控制與數(shù)值仿真[J] .系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào), 2010, 22(7):1651.DENG Weihua, FEI Minrui.T-S fuzzy H∞control and numerical simulation of nonlinear networked control systems[J] .Journal of System Simulation, 2010, 22(7):1651.

[7] WONG Pingwah.Quantization noise, fixed-point multiplicative round off noise, and dithering [J] .IEEE Transaction on Acoustics Speech, and Signal Proceessing, 1990, 38(2):286.

[8] Poogyeon Park, Yun Jongchoi, Sung Wookyun.Eliminating effect of input quantisation in linear systems[J] .Electronics Letters, 2008, 44(7):456.

[9] Hou Ling, Anthony N Michel, Ye Hui.Some qualitative properties of sampled-data control systems [J] .IEEE Transactions on Automatic Control, 1997, 42(12):1721.

[10] YU Hongwang, WANG Zhiming, DAI Haohui. Floatingquantization effects on sampled-data nonlinear control systems[C] ∥8th International Conference on Control, Automation,Robotics and V ision. Kunming: Nanyang Technological University, 2004:1669-1673.

[11] FU Minyue, XIE Lihua.T he sector bound approach to quantized feedback control[J] .IEEE Transactions on Automatic Control,2005, 50(11):1698.

[12] Elia Nicola, Mitter Sanjoy K.Stabilization of linear systems with limited information[J] .IEEE Transactions on Automatic Control, 2001, 46(9):1384.

[13] Daniel Liberzon, Dragan Nesic.Input-to-state stabilization of linear systems with quantized state measurements[J] .IEEE Transactions on Automatic Control, 2007, 52(2):767.

[14] 陳寧, 翟貴生, 桂衛(wèi)華, 等.不確定關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)分散H∞量化控制[J] .控制與決策, 2010, 25(1):59.CHEN Ning, ZHAI Guisheng, GUI Weihua, et al.Decentralized H∞quantized control for uncertain interconnected networked systems[J] .Control and Decision, 2010, 25(1):59.

[15] 廖曉昕.穩(wěn)定性的理論、方法和應(yīng)用[M] .武昌:華中科技大學(xué)出版社, 1999.LIAO Xiaoxin.T heory methods and application of stability[M] .Wuchang:Huazhong University of Science and Technology Press, 1999.

[16] 龔文振, 梁家榮.離散微分代數(shù)系統(tǒng)的有界性及周期解的存在性[J] .桂林工學(xué)院學(xué)報(bào), 2005, 25(2):259.GONG Wenzhen, LIANG Jiarong.Boundary and existence of periodic solution to discrete differential algebraic systems[J] .Journal of Guilin University of Technology, 2005, 25(2):259.