李微曉 ,沈云中 ,李博峰

(1.同濟(jì)大學(xué) 測量與國土信息工程系, 上海200092;2.淮海工學(xué)院 測繪工程學(xué)院, 江蘇連云港222001;3.現(xiàn)代工程測量國家測繪局重點實驗室, 上海200092)

運用全球定位系統(tǒng)(GPS)技術(shù)建立控制網(wǎng)涉及到三維坐標(biāo)變換模型.三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換通常采用7 個轉(zhuǎn)換參數(shù), 即3 個平移參數(shù)、3 個旋轉(zhuǎn)參數(shù)和1 個尺度參數(shù).根據(jù)旋轉(zhuǎn)與尺度參數(shù)參考點的不同定義,三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型可分為:Bursa-Wolf 模型(簡稱Bursa 模型)、Molodensky 模型及武測模型等[1].然而,利用最小二乘方法求解這些模型時通常只采用1組公共點坐標(biāo)改正數(shù)向量, 而不是對2 套坐標(biāo)的公共點誤差分別引入改正數(shù)進(jìn)行解算,因此, 求得的改正數(shù)向量不能用于對任何一套坐標(biāo)進(jìn)行誤差改正,以免引起公共點與待轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)之間的縫隙, 除非對待轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)的誤差也作相應(yīng)的改正.事實上,若能同時考慮2 套坐標(biāo)的誤差, 在求解轉(zhuǎn)換參數(shù)時,求得2 套坐標(biāo)的改正數(shù)并進(jìn)行改正, 并用最小二乘配置法(least-squares collocation,LSC)推估待轉(zhuǎn)換點的坐標(biāo)改正數(shù)并進(jìn)行改正, 有望提高轉(zhuǎn)換坐標(biāo)的精度.LSC 由K rarup 于1969 年在研究重力異常時提出[2] .1973 年奧地利的Moritz 進(jìn)行了深入研究, 提出帶系統(tǒng)參數(shù)的LSC[3].從20 世紀(jì)80 年代以來,我國學(xué)者對該理論進(jìn)行了廣泛深入的研究.周江文提出了LSC 模型的兩步解法[4];楊元喜等討論了基于方差分量估計的自適應(yīng)LSC 模型,并將其應(yīng)用于高程系統(tǒng)轉(zhuǎn)換和地理信息系統(tǒng)(GIS)誤差糾正[5];李博峰指出LSC 模型的理論基礎(chǔ)是極大驗后估計,實質(zhì)是采用觀測值對隨機參數(shù)先驗信息的改造,其改造程度由觀測值的方差和觀測值與參數(shù)的相關(guān)程度共同決定[6].

本文以Bursa 模型為例研究顧及2 套坐標(biāo)誤差的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換, 用2 套坐標(biāo)改正數(shù)的加權(quán)平方和最小為準(zhǔn)則導(dǎo)出了轉(zhuǎn)換參數(shù)的計算公式;并根據(jù)公共點的坐標(biāo)改正數(shù)以及公共點與轉(zhuǎn)換點的協(xié)方差陣,推估轉(zhuǎn)換點的坐標(biāo)改正數(shù)并對其改正, 從而求得近似無縫的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果.采用模擬數(shù)據(jù)分析了新方法的有效性, 與直接將非公共點轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)系的傳統(tǒng)方法相比, 新方法能有效地提高坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度.

1 七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

Bursa-Wolf 模型以坐標(biāo)原點為旋轉(zhuǎn)和尺度的參考點,對應(yīng)的7 個參數(shù)轉(zhuǎn)換模型為

式中:dx,dy,dz為3 個平移參數(shù);εx,εy,εz為3 個旋轉(zhuǎn)參數(shù);Δu為尺度參數(shù);下標(biāo)Ⅰ與Ⅱ表示2 套坐標(biāo)系;i表示第i個公共點.假設(shè)n個公共點在2 套坐標(biāo)系下對應(yīng)的協(xié)方差陣分別為Σ11,Ⅰ和Σ11,Ⅱ, 傳統(tǒng)的求解方法只考慮公共點在第1 套坐標(biāo)系下的誤差,對應(yīng)的轉(zhuǎn)換參數(shù)的最小二乘解為

2 顧及2 套坐標(biāo)誤差的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

觀測向量L 等于第2 套坐標(biāo)系公共點的坐標(biāo)向量LⅡ與對應(yīng)第1 套坐標(biāo)系坐標(biāo)向量LⅠ之差,即

采用最小二乘求解,同時考慮觀測向量L 中公共點在2 套坐標(biāo)系下的誤差.令vⅡ, vⅠ分別為LⅡ,LⅠ的改正數(shù)向量,有

誤差方程式可表示為

顯然, 觀測向量LⅡ與LⅠ相互獨立, 以2 套公共點坐標(biāo)改正數(shù)的加權(quán)平方和最小為準(zhǔn)則

根據(jù)拉格朗日條件極值原理,構(gòu)造極值函數(shù)

式中:K為聯(lián)系數(shù)向量, ξ為7 參數(shù)向量, 分別對殘差向量vⅠ, vⅡ和7 參數(shù)向量ξ求一階導(dǎo)數(shù), 并令其為零, 得

由式(8)中前2 式得

兩式相減, 得

顧及式(4)和式(5), 則

將式(11)代入式(8)中第3 式, 得

因此, 考慮二套坐標(biāo)誤差,對應(yīng)的轉(zhuǎn)換參數(shù)的最小二乘解ξ^N為

求得轉(zhuǎn)換參數(shù)后, 由式(10)計算K,再代入式(9)計算觀測值改正數(shù).

3 轉(zhuǎn)換點的坐標(biāo)改正數(shù)算法

4 算例與分析

4.1 算例設(shè)計和協(xié)方差的構(gòu)造

算例旨在驗證本文坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法能否提高坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度.在經(jīng)度110°～130°、緯度20°～40°范圍內(nèi)設(shè)計2 個方案.方案1 :每隔4°取一個點, 共6 ×6 個點,見圖1a ;方案2 :每隔2°取一個點, 共11 ×11 個點,見圖1b .

圖1 選點方案Fig .1 Point distribution in different control networks

根據(jù)圖1 中各點的經(jīng)緯度,設(shè)其大地高為0 m ,采用WGS84 橢球參數(shù)計算每個點的空間三維坐標(biāo)作為近似坐標(biāo).

在2 種方案中, 第1 套坐標(biāo)系中的所有點的協(xié)方差陣根據(jù)三維空間距離觀測值的間接平差計算得到,測距精度模擬為10-2+10-8D,D是2 點之間的三維空間距離, 以米為單位.列出點位坐標(biāo)的估值與觀測值L 的改正數(shù)v 之間的函數(shù)關(guān)系為

其中,B 為誤差方程的系數(shù)陣.則X 的估值協(xié)因數(shù)陣為

其中,Nbb=BTPB ,P 為權(quán)陣.協(xié)方差陣為

第2 套坐標(biāo)系中全部點的協(xié)方差陣用GPS 網(wǎng)平差的方式計算.首先根據(jù)模擬點坐標(biāo)計算出任意2點的基線, 給基線模擬標(biāo)準(zhǔn)差為10-2+10-8D的正態(tài)分布隨機誤差, 然后列誤差方程式并附加全部點坐標(biāo)改正數(shù)平方和最小為約束條件, 以位于選點范圍中部的公共點為基準(zhǔn)點進(jìn)行平差計算, 其中, 3 個基線分量的權(quán)取P x=(Δx)2/D2,P y=(Δy)2/D2,P z=(Δz)2/D2.

4 .2 解算與分析

方案1 :根據(jù)4 .1 所述, 對圖1a 中的所有36 個點分別按照距離觀測和按GPS 網(wǎng)平差觀測進(jìn)行,對應(yīng)得到全部點在第1 套和第2 套坐標(biāo)系下的協(xié)方差陣.平差后考慮網(wǎng)中與外圍點相聯(lián)的觀測數(shù)較少,點位誤差遠(yuǎn)大于內(nèi)部點位誤差, 如果對全部點位誤差統(tǒng)計, 則統(tǒng)計結(jié)果不能客觀反映內(nèi)部點位精度,故僅取16 個中間點比較,其中5 個是公共點、11 個是轉(zhuǎn)換點.將5 個公共點按式(13)計算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)后,按式(9)計算第1 套坐標(biāo)系和第2 套坐標(biāo)系中公共點的坐標(biāo)改正數(shù)vⅠ, vⅡ,再分別用式(14)和(15)計算第1 套坐標(biāo)系和第2 套坐標(biāo)系中11 個轉(zhuǎn)換點的坐標(biāo)改正數(shù)v2Ⅰ, v2Ⅱ, 并改正這些轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)(記改正后的第1 套和第2 套轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)分別為～X2,Ⅰ和～X2,Ⅱ);然后用轉(zhuǎn)換參數(shù)ξ轉(zhuǎn)換改正后的第1 套轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)～X2,Ⅰ(記為～X2,Ⅱ),并與改正后的第2 套轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)～X2,Ⅱ比較,按式(19)計算11 個轉(zhuǎn)換點的坐標(biāo)精度

以及按(20)計算轉(zhuǎn)換的點位精度

該過程稱為LSC 法.傳統(tǒng)方法直接用式(1)計算轉(zhuǎn)換參數(shù)ξ^L并轉(zhuǎn)換11 個轉(zhuǎn)換點, 并與X2,Ⅱ比較按式(19)和式(20)計算轉(zhuǎn)換精度, 該過程稱為LS 法.為了在統(tǒng)計意義上評價LSC 方法的優(yōu)越性,按4 .1 中的協(xié)方差模擬過程計算1 000 次,并按式(20)分別計算LSC 和LS 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換點位精度,如圖2 所示.顯然,LSC 的精度比LS 高.類似于方案1 的實驗過程, 對方案2 作1 000 次計算,結(jié)果如圖3 所示.

圖2 6×6 網(wǎng)中LSC 法與直接轉(zhuǎn)換的誤差比較Fig .2 Comparison of errors between LSC method and the direct conversion method for a 6×6 grid

圖3 11×11 網(wǎng)LSC 法與直接轉(zhuǎn)換的誤差比較Fig .3 Comparison of errors between the LSC method and thedirect conversion method for a 11×11 grid

對2 種方案的1 000 次試驗坐標(biāo)轉(zhuǎn)換點位精度和3 個坐標(biāo)分量精度統(tǒng)計如表1 所示.表2 給出了精度提高百分比.結(jié)果表明:同一范圍方案1 選36個點,方案2 選121 個點,當(dāng)控制點不變, 其余點的點位間距越小, 點與點之間坐標(biāo)相關(guān)性越大, 考慮坐標(biāo)改正的LSC 方法較LS 方法能有效提高坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度.

表1 2 種方案的轉(zhuǎn)換精度比較Tab.1 Comparison of conversion accuracy in the two schemes cm

表2 LSC 相對于LS 的精度提高率Tab.2 Rate of increased relativeaccuracy of LSC to LS

5 結(jié)論

研究了顧及2 套坐標(biāo)誤差的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型,以2 套坐標(biāo)改正數(shù)的加權(quán)平方和最小為準(zhǔn)則導(dǎo)出了轉(zhuǎn)換參數(shù)的計算公式;用推估方法根據(jù)公共點與轉(zhuǎn)換點的協(xié)方差陣計算轉(zhuǎn)換點的坐標(biāo)改正數(shù)并對其改正,求得了無縫的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果.得到結(jié)論:

(1)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的2 期坐標(biāo)通常來自不同測量手段,若已知其協(xié)方差陣, 用LSC 法先對轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)修正再進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換能有效提高轉(zhuǎn)換精度.

(2)當(dāng)點的坐標(biāo)之間相關(guān)性較大, 直接將轉(zhuǎn)換點的坐標(biāo)換算成新坐標(biāo)會產(chǎn)生較大的誤差, 采用LSC 法改正,能很好地解決殘差問題.

(3)采用本文模型求解轉(zhuǎn)換參數(shù)并用LSC 對轉(zhuǎn)換點改正, 能實現(xiàn)整體、無縫的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果.

[1] 劉大杰, 施一民, 過靜珺.全球定位系統(tǒng)(GPS)的原理與數(shù)據(jù)處理[M] .上海:同濟(jì)大學(xué)出版社, 1996.LI U Dajie,SH I Yimin, GUO Jingjun.The theory and data processing of global position system (GPS)[M] .Shanghai :Tongji University Press, 1996.

[2] Krarup T .Acontribution to the mathematical foundation of phy sical geodesy [R] . C openhagen : Danish Geodetic Institude,1969.

[3] Mo ritz H .Least squares collocation[M] .Munich:Deutsche Geodaetische Kommission(DGK), 1973.

[4] 周江文.擬合推估新解——兩步解法[J] .測繪學(xué)報, 2002, 31(2):189.ZHO U Jiangw en.Atwo-step solution of collocation[J] .Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2002, 31(2):189.

[5] 楊元喜, 張菊清, 張亮.基于方差分量估計的擬合推估及其在GIS 誤差糾正的應(yīng)用[J] .測繪學(xué)報, 2008, 37(1):152.YANG Yuanxi, ZH ANG Juqing,ZHANG Liang .Estimation based collocation and its in GIS error variance fitting component application[J] .Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2008, 37(1):152.

[6] 李博峰.混合整數(shù)GNSS 隨機模型及函數(shù)模型參數(shù)估計理論與方法[D] .上海:同濟(jì)大學(xué), 2010.LI Bofeng .Theory and method of parameter estimation for GNSS stochastic and function models[D] .Shanghai:Tongji University,2010.

[7] Schaffrin B .T LS-collocation:The total least-squares approach to EIV-models with prior information [C/ CD] ∥18th International Workshop on Matrices and Statistics.Smolenice Castle :Institute of Measurement Science, 2009.